Performance des algorithmes

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Performance des algorithmes à véracité garantie
pour l'ordonnancement de tâches individualistes

• F. Pascual - LIG
• En collaboration avec
• G. Christodoulou, L. Gourvès, E. Koutsoupias
• E. Angel, E. Bampis, A. Tchetgnia

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Ordonnancement PCmax

• m machines identiques
• n tâches
• toute tâche i a une longueur li

M1
M1
M2
M2
Objectif minimiser le makespan (la plus grande
date de fin)
3
Algorithmes dapproximation

• SPT (Shortest Processing Time first)
• 2-1/m approché
• LPT (Largest Processing Time first)
• 4/3-1/(3m) approché
• Schéma dapproximation

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Ordonnancement de tâches individualistes

• Chaque tâche i est contrôlée par un agent qui
  seul connaît li (tâche agent)
• Les tâches communiquent leur longueur à un
  protocole qui doit les ordonnancer de sorte à
  minimiser le makespan

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Stratégies des agents

• Lalgorithme dordonnancement est connu.
• Le but de chaque tâche est de minimiser sa date
  de fin dexécution.
• Chaque tâche i déclare une valeur bi représentant
  sa longueur.
• Hyp bi li (exécution incomplète si biltli)

li
6
Un exemple

• Le protocole utilise lalgorithme LPT
• 3 tâches de longueurs 2,1,1, 2 machines

La tâche rouge a intérêt à mentir sur sa longueur
afin de minimiser sa date de fin dexécution.
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Algorithmes à véracité garantie

• Algorithme à véracité garantie algorithme
  avec lequel les tâches ne peuvent pas diminuer
  leur date de fin en mentant sur leur longueur.

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Retour sur lexemple

• Le protocole utilise lalgorithme SPT

Cest un algorithme déterministe, à véracité
garantie et 2-1/m approché. Christodoulou et al.
ICALP04
9
Objectif

• Borner la performance dun protocole (algorithme)
  à véracité garantie dans divers contextes
• Déterministe ou randomisé
• Modèle dexécution fort ou souple
• Pas de paiements

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Modèles dexécution

• Modèle fort
• Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son
  résultat li unités de temps après le début de son
  exécution.
• Modèle souple
• Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son
  résultat bi unités de temps après le début de son
  exécution.

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Bornes pour un système centralisé
Déterministe Déterministe Randomisé Randomisé
LB UB LB UB
Fort 2-1/m 2-(5/31/(3m))/(m1)
Souple
Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP
2004 Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006
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Bornes pour un système centralisé
Déterministe Déterministe Randomisé Randomisé
LB UB LB UB
Fort ? 2-1/m 2-(5/31/(3m))/(m1)
Souple
Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP
2004 Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006
13
Modèle fort, algorithme déterministe, borne
inférieure (1/2)
Hyp Algorithme déterministe et de rapport
dapproximation lt 2-1/m .

• m machines
• m(m-1)1 tâches de longueur 1

Au moins une tâche t se termine à la date m.
14
Modèle fort, algorithme déterministe, borne
inférieure (2/2)

• la tâche t déclare 1

fin(t) 3

• La tâche t a intérêt à déclarer m plutôt que 1

Ordonnancement optimal
Ordonnancement (2-1/m-e)-approché
Makespan lt (2-1/m) OPT 5
OPT 3
début(t) lt 2, fin(t) lt 3
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Bornes pour un système centralisé
Déterministe Déterministe Randomisé Randomisé
LB UB LB UB
Fort 21/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-(5/31/(3m))/(m1)
Souple
Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP
2004 Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006
16
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Déterministe Randomisé Randomisé
LB UB LB UB
Fort 21/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-(5/31/(3m))/(m1)
Souple ?
Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP
2004 Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006
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Un algorithme déterministe pour le modèle souple

• Idée bénéficier de lavantage de LPT (son
  rapport dapprox) mais pas de son inconvénient
  (les tâches mentent pour être exécutées en
  premier)
• Construire un ordonnancement LPT puis lexécuter
  en sens opposé, i.e. du makespan (Cmax) à la date
  0

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LPT mirror
Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se
termine à la date Cmax - d(t) dans LPT mirror.
Si t déclare une valeur plus grande que sa
longueur réelle alors Cmax ne peut quaugmenter
tandis que d(t) ne peut que diminuer. LPT mirror
est à véracité garantie et 4/3 1/(3m) approché.
19
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Déterministe Randomisé Randomisé
LB UB LB UB
Fort 21/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-(5/31/(3m))/(m1)
Souple m2 ?1.1 m3 7/6 4/3-1/(3m)
Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP
2004 Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006
20
Block un algorithme randomisé pour le modèle
souple

• Ordonnancer les tâches de façon optimale.
  Makespan OPT Sommes des longueurs sur Mi Li.
  
• Ajouter une tâche fictive de longueur OPT-Li
  sur Mi.
• Sur chaque machine, ordonnancer les tâches dans
  un ordre aléatoire.

9
9
M1
10
3
5
M2
9
2
4
3
M3
21
Block un algorithme randomisé pour le modèle
souple

• Lemme Soit un ensemble de tâches à ordonnancer
  selon un ordre aléatoire. E fin de i
  li ½ (? lj) ½ ((? lj) li)
• Block est à véracité garantie.
• - i déclare li Makespan OPTli.
• E fin de i ½ (OPTli li)
• - i déclare bigtli Makespan OPTbi OPTli.
• E fin de i ½ (OPTbi bi)

i ? j
22
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Déterministe Randomisé Randomisé
LB UB LB UB
Fort 21/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-(5/31/(3m))/(m1)
Souple m2 ?1.1 m3 7/6 4/3-1/(3m) 1 1
Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP
2004 Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006
23
Système distribué

• Les tâches décident sur quelle machine elles vont
  être exécutées.
• La stratégie de la tâche i est (bi,mi)
• Chaque machine j a un algorithme local
  dordonnancement. Cet algorithme ne dépend que
  des tâches ayant choisi j mécanisme de
  coordination Christodoulou et al. ICALP04

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Prix de lanarchie

• Équilibre de Nash Situation dans laquelle
  aucune tâche ne peut se terminer plus tôt en
  changeant unilatéralement de stratégie.
• Prix de lAnarchie max MakÉq. Nash / MakOPT

Objectif borner le prix de lanarchie pour les
mécanismes de coordination à véracité garantie.
25
Bornes pour un système distribué
Déterministe Déterministe Randomisé Randomisé
LB UB LB UB
Fort 21/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-1/m
Souple ? 2-1/m 2-1/m
26
Modèle souple, mécanisme de coordination
déterministe, borne inf
M1
M1
M2
M2
M1
M1
M2
M2
? lt (2e)/2 et ? 2/(1e) ? ? (1v17)/4
gt 1.28
27
Bornes pour un système distribué
Déterministe Déterministe Randomisé Randomisé
LB UB LB UB
Fort 21/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-1/m
Souple (1v17)/4 gt 1.28 2-1/m 1(v13-3)/4gt1.15 2-1/m
28
Perspectives

• Réduire les écarts entre bornes sup et inf
• Mécanismes de coordination avec véracité garantie
• Agents contrôlant plusieurs tâches
• Machines avec vitesses

29
(No Transcript)
30
Modèle fort, algorithme randomisé, borne
inférieure
Hyp Existence dun algorithme à véracité
garantie, randomisé et de rapport dapproximation
3/2 - 1/(2m) - e

• m machines identiques
• xm(m-1)m tâches de longueur 1 (x entier)

Existence dune tâche t telle que EC(t)
(x(m-1))/2 1
31
Modèle fort, algorithme randomisé, borne
inférieure

• Si xgt1/(2em)-1/(2em²)-1/m alors la tâche t peut
  déclarer xm1 plutôt que 1 et diminuer
  lespérance de sa date de fin

EC(t) xm EC(t) (3/2 - 1/2m - e)OPT
EC(t) xm (3/2 - 1/2m - e)(xm 1)
EC(t) lt (x(m-1))/2 1
32
Modèle souple, algorithme déterministe, borne
inférieure (1)

• Hyp algorithme à véracité garantie de rapport
  dapproximation 11/10 e
• 2 machines et 5 tâches de longueurs 5,4,3,3,3

33
Modèle souple, algorithme déterministe, borne
inférieure (2)
34
Modèle souple, algorithme déterministe, borne
inférieure (3)
35
Modèle fort, algorithme déterministe, borne
inférieure
C(t) m - 1 C(t) (2-1/m-e)OPT C(t)
m 1 2m 1 - em C(t)
(1-e)m lt m