introduction aux mod

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introduction aux modèles cosmologiques

• M. Lachièze-Rey
• Centre dEtudes de Saclay,
• FRANCE

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Cosmologie
La cosmologie concerne les propriétés globales du
monde. Lunivers possède des propriétés
globales. ? La cosmologie scientifique
existe. Cosmologie relativiste selon la
théorie de la relativité générale Univers
espace-temps contenu énergétique Fondements
Principes Principe cosmologique  Lespace est
homogène et isotrope Simplicité La gravitation
gouverne la cosmologie Théories   La gravitation
est décrite par la relativité générale Toute
la physique connue Observations très nombreuses
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Relativité générale
Le Cadre pour la physique pas espace temps,
mais espace-temps courbe Métrique g ? courbure
(tenseur de Riemann R) Le tenseur de Riemann
représente la gravitation. Les équations
dEinstein permettent de calculer R à partir -
du contenu énergétique (tenseur
dénergie-impulsion T) - et de la constante
cosmologique L. En général très
compliquées Simplifiées par les symétries
(symétrie sphérique, cosmologie) Matière et
lumière suivent les géodésiques de
lespace-temps. Le but de la cosmologie
relativiste est de trouver une bonne
description de lespace-temps, par exemple par sa
métrique.
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Principe cosmologique
Lespace les sections spatiales de
lespace-temps sont à symétrie maximale
(homogènes et isotropes) ? 1) lespace-temps
est simple espace temps Mais les propriétés
de lespace varient dans le temps
(expansion). 2) description simple du contenu
énergétique Quantités moyennes seulement
(densité dénergie r, pression p)
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Le principe cosmologique suffit à déterminer une
forme pour la métrique ds2 dt2 -a(t) 2
ds2, - où ds2 est la métrique dun espace à
symétrie maximale R3 (k0), S3 (k1) ou H3
(k-1) . forme de Robertson - Walker. Dans
des  bonnes  coordonnées (ceci est
indépendant de la théorie de gravitation). Donc
ces modèles sont déterminés par la fonction a(t)
et la constante k. a(t) est le facteur d échelle
toute longueur cosmique varie
proportionnellement à a k est le paramètre de
courbure.
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Temps conforme
ds2 dt2 -a(t) 2 ds2 On peut toujours
effectuer un changement de variable t --gt
h défini par dh dt /a(t). La métrique
sécrit ds2 a(th) 2 dh2 -a(t) 2 ds2 - Elle
est  conformément plate  - h est le temps
conforme (sans signification physique).
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Sections spatiales symétriques
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Modèles de Friedmann - Lemaître
La relativité générale permet de calculer la
courbure de lespace-temps à partir du tenseur
dénergie-impulsion et de L, par les équations
dEinstein. Avec le pc, la courbure se réduit
à a(t) et k Les équations dEinstein se
réduisent aux équations de Friedmann. La
matière est décrite par sa densité moyenne et
sa pression moyenne.
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Modèles de big bang
ceux pour lesquels le facteur d échelle
s annule pour une valeur de t finie a(ti) 0.
(en fait, cette cosmologie ne tient pas compte
des effets quantiques qui pourraient empêcher
une telle singularité. Il vaut mieux remplacer
la condition par a(ti) Lplanck
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(No Transcript)
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Aujourd hui
Le taux présent dexpansion H(t0 ) est la
constante de Hubble H0 Une distance D varie
proportionnellement à a, V D (a/a) D. On
note (a/a) 0 H0. De l équation de Friedmann
on déduit (H0) 2 k / (a0)2 (8 pG) r0 / 3 L
/3
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Un modèle simple
On suppose L k 0. Pas de constante
cosmologique, Sections spatiales euclidiennes Ce
modèle est appelé Einstein - de Sitter Ceci
implique r0 3 (H0) 2 / (8 pG) rcritique Cest
la définition de la densité critique rcritique,
qui sera utilisé comme unité cosmologique de
densité d énergie. Pour toute forme dénergie r,
on posera W r/ rcritique. Par exemple,
Wmatière rmatière / rcritique ATTENTION W
nest pas une quantité constante ! Dans les
années 1970-1980, ceci était considéré comme le
meilleur modèle pour décrire notre univers (cdm).
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Pour une notation harmonieuse, on écrit aussi L
/ 3 (H0) 2  l WL On a donc, de manière
générale, 1 k / (H0 a0)2 Wcontenu WL Un
univers à sections spatiales euclidiennes vérifie
donc Wcontenu WL 0.
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Contenu
On distingue plusieurs formes dénergie dans
lunivers qui peuvent être source de
gravitation Matière (baryonique ou non
baryonique) p0 Rayonnement (électromagnétique
ou gravitationnel, neutrinos sils nont pas de
masse) p - r Énergie  exotique  r gt 0
(pourquoi ?), p lt 0. En particulier  énergie du
vide  p - r. Toutes ces formes d énergie se
diluent avec l expansion Matière r a
a-3 Rayonnement r a a-4 Énergie du vide
r a Ct Rem. on peut formellement écrire la
contribution de la constante cosmologique sous
la forme rL L /8pG, pL - rL. Doù la
confusion.
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Loi d expansion
Elle est exprimée par la fonction a(t). Sa
première dérivée (logarithmique) est le taux
dexpansion H(t), aujourdhui la constante de
Hubble HO. Sa seconde dérivée est exprimée par
le paramètre de décélération q - a a /
(a)2. Son signe indique accélération ou
décélération de l expansion. Aujourdhui, 2qO
W -2 WL Les observations donnent HO. Les
différents tests cosmologiques fournissent le
plus souvent des combinaisons de k et qO .
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Espace-temps de Minkowski
Une solution formelle de la relativité
générale. Non physique car pas de contenu, pas
dexpansion. Métrique ds2 dt2 - ds2 ds2
dx2 dy2 dz2 dr2 r2 (dq2 sin2 q
df2) Géodésiques radiales r A t B Matière
(lignes de temps) A gt 0 Lumière A 1 NB. Par
un changement de variable tt cosh a, rt sinh
a, la même métrique sécrit ds2 dt 2 - t2
da2 sinh2 a (dq2 sin2 q df2) Décrit un
univers en expansion, à sections spatiales
hyperboliques --gt Attention ! (Mizony)
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Espace-temps complètement symétriques
Il en existe trois seulement Minkowski, de
Sitter et anti-de Sitter. de Sitter expansion,
sections spatiales S3 (3-sphère). Peut-être vu
comme un hyperboloïde à 4D dans un espace plat à
5D La solution des équation de Friedmann avec L
gt 0 anti-de Sitter lignes de temps fermées
(!), sections spatiales H3 (espace
hyperbolique). Peut-être vu comme un hyperboloïde
à 4D dans un espace plat à 5D
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de Sitter
Métrique canonique ds2 dt2 - cosh2(t/L) ds
2 Où L 1/L2 Où ds2 est la métrique de la
3-sphère S3 de rayon L. Cest une forme RW
facteur dexpansion a(t) cosh(t/L)  expansion
accélérée bonne approximation de notre
univers aujourdhui (la meilleure?)  inflation  
symétrie maximale --gt le vide géométrique ? Le
même espace-temps (en fait différentes parties)
sont décrites par des formes différentes de la
métrique --gt
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Changements de variables 1) sinh(t/L)
sinh(T/L) cosh (a) cosh(t/L) sin (r)
sinh(T/L) sinh (a) cosh(t/L) cos (r)
cosh(T/L) Donne ds2 dT2 -
sinh2(t/L) ds-2 Où ds-2 est la métrique de
lespace hyperbolique H3 de rayon L. 2)
sinh(t/L) sinh(v/L) r2 ev/L /2 L2 cosh(t/L)
sin (r) r ev/L / L cosh(t/L) cos (r)
cosh(v/L) - r2 ev/L /2 L2 Donne ds2
dv2 - e2v/L ds02 Où ds02 est la métrique de
lespace Euclidien R3. 3) ds2 (1-L R2/3) dt2 -
(1-L R2/3)-1 dR2 - R2 dw2 (forme statique).
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Forme sans dimension des équation de Friedmann
Les équation de Friedmann impliquent 2 q0
Wmatière 2 Wrayonnement - 2 WL Wmatière
Wrayonnement WL -1 k / (H02 a02) -
Wcourbure On peut les écrire sous une forme sans
dimension En posant x a/a0
1/(1z) (x)2F-2(x), Avec F(x) Wmat /x Wray
/x2 x2 WL Wcourbure Où x est la seule
quantité à varier
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Âge de l univers Par définition, cest le temps
écoulé depuis le moment où a(t) sest annulé tU
H0-1 ?01 dx (Wmat /x Wray /x2 x2 WL
Wcourbure)-1/2