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Traitement du Signal Hugues BENOIT-CATTIN
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Plan

• 1. Les transformées du Traitement du Signal
  Fourier, Laplace, Z (1h),TD
• 2. La chaîne de traitement numérique
  échantillonnage, quantification, restitution
  (2h), TP
• 3. Introduction aux signaux aléatoires (4h), TD
• 4. Filtrage numérique (5h),TD,TP
• 5. Filtrage adaptatif (2h), TP
• 6. Architecture des DSP (2h), TP
• 7. Traitement de la parole et du son (8h), TD TP

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1. Les transformées du TS

• Transformée de Fourier
• Définition
• Échantillonnage et périodisation
• Signaux de durée limitée et signaux périodiques
• Signaux échantillonnés de durée limitée
• Signaux discrets
• Transformée de Laplace
• Définition
• Relation avec la transformée de Fourier
• Transformée en Z
• Définition
• Relation avec la transformée de Fourier
• Relation avec la transformée de Laplace

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1.1 Transformée de Fourier (1811)

• Définition

• Quelques propriétés
• Linéarité
• X(f) ? module X(f), phase ArgX(f)
• x(t) réel ? ReX(f) paire, ImX(f) impaire,
  module pair, phase impaire
• x(t) réel pair ? X(f) réel pair
• x(t) réel impair ? X(f) imaginaire impair
• x(t)y(t) ? X(f).Y(f) et x(t).y(t) ? X(f)Y(f)

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• Quelques relations
• x(t)d(t-t0) x(t-t0) ? X(f) exp(-2jp f t0)
• x(t) exp(2 j p t f0) ? X(f-f0)
• x(t) ? X(-f)
• x(at) ? a-1 X(f/a)
• dnx(t)/dtn ? (2 j p f )n X(f)
• Signaux importants
• d(t) ? 1
• 1(t) ? ½ d(f) 1/(2 j p f )
• cos(2pf0t) ? d(f-f0) d(ff0)/2 et
  sin(2pf0t) ? d(f-f0) -d(ff0)/2j
• Sd(tnT) ? Fe Sd(fkFe) avec Fe1/T
• Rect(t) ? 2a.Sinc(pfa)

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• Échantillonnage et périodisation

• Échantillonnage idéal...
• ...Transformée de Fourier...
• ? ... périodisation en fréquence.

Échantillonnage temporel ltgt périodisation en
fréquence Échantillonnage en fréquence ltgt
périodisation temporelle
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• Signaux de durée finie et signaux périodiques

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• Signaux échantillonnés de durée finie

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• Transformée de Fourier des signaux discrets

• Signal discret xk
• Transformée de Fourier discrète, périodique
• Fréquence définie sur la période principale de 0
  à 1 ou de -½ à ½
• Fréquence déchantillonnage réelle Fe1/Te
• Fréquence définie de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2
• Mêmes propriétés que la transformée de Fourier
  des signaux continus

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1.2 Transformée de Laplace (1820)
Introduite pour palier aux limitations de la
transformée de Fourier

• Définition

en posant
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• Systèmes différentiels et Laplace

Pour les systèmes continus linéaires invariant de
réponse impulsionnelle h(t)
Causal N ? M
zéros

• Fonction de transfert

pôles
Système stable ? h(t)1lt ? ? Re(pi) lt 0
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• Relations entre Laplace et Fourier

• H(f) H(s) évaluée sur l'axe imaginaire du plan
  de Laplace
• Exemple h(t)exp(-at) 1(t)

un pôle en s-a v le vecteur du plan complexe
reliant les point s et -a
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1.3 Transformée en Z

• Définition

Somme de série... donc problèmes de convergence !

• Quelques propriétés
• Linéarité
• Décalage temporel
• Convolution
• Multiplication par série exponentielle

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• Systèmes différentiels et TZ

Causal N ? M

• Fonction de transfert

H(z)TZ(h(t))
Système stable ? pilt 1
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• Relations entre TZ et Fourier

z exp(j2pf) ? on restreint z au cercle unité
On retrouve la transformée de Fourier discrète du
signal xk, et sa périodicité
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• Relations entre Laplace et TZ

Transformée de Laplace de xkT, signal
échantillonné
X(z) avec zexp(sT)
En posant s r jw r j2pf on obtient z
exp(rT)exp(j2pfT) c.à.d une périodicite de 1/T
dans le plan des Z
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(No Transcript)
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• Interprétation géométrique de la TZ

Périodicité de X(f)
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2. Chaîne de traitement numérique du signal

• Chaîne de traitement numérique
• Échantillonnage
• Échantillonnage idéal Th. de Shannon
• Filtre anti-repliement
• Échantillonnage réel
• Quantification
• Pas, niveaux, erreur et bruit
• Quantification scalaire uniforme linéaire
• Quantification scalaire non uniforme, loi de
  compression
• Restitution
• Restitution idéale
• Restitution réelle

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2.1 Chaîne de traitement numérique du signal

• Avantages des systèmes numériques
• Faibles tolérances des composants
• Sensibilité réduite, Précision contrôlée
• Reproductibilité, pas de réglage
• Souplesse, nombre dopérations illimité
• Systèmes non réalisables en analogique
• Inconvénients
• Inconvénients des systèmes numériques
• Source dénergie nécessaire
• Limitations en haute fréquence
• CAN/CNA
• Bande passante nécessaire importante

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(No Transcript)
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• Filtre analogique anti-repliement
• Eliminer les hautes fréquences
• (Echantillonneur-bloqueur)
• Maintien du signal à lentrée du convertisseur
• Convertisseur analogique numérique (CAN)
• Convertir en binaire lamplitude des échantillons
• Système numérique de traitement
• Calcul sur la suite de valeurs binaires
• Convertisseur numérique analogique (CNA)
• Transformer une suite de valeurs binaires en un
  signal analogique
• (Filtre de restitution)
• Eliminer les fréquences indésirables à la sortie
  du CNA

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2.2 Echantillonnage

• Problème

• Mesurer la température mais ... pour quelle
  application ?
• Bande passante limitée de la chaîne de mesure
  analogique.
• Combien de mesures par jour ? 1 ou ... 10100
  (ou plus !)
• Comment ne pas perdre ou déformer linformation
  utile

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• Echantillonnage idéal

Périodisation en fréquence
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• Echantillonnage idéal Théorème de Shannon

• Si Fe gt 2 Fmax alors les spectres périodisés ne
  se recouvrent pas
• Reconstitution du signal analogique de départ
  théoriquement possible

• Si Fe lt 2 Fmax il y a recouvrement de spectre
• On ne peut pas reconstituer le signal analogique
  de départ et linformation est déformée

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• Filtre anti-repliement

• Pour éviter le repliement de spectre on élimine
  les fréquences contenues dans le signal
  analogique supérieures à Fe /2
• On utilise un filtre passe-bas analogique dit
  filtre anti-repliement
• Le filtre anti-repliement définit Fmax !

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• Illustration stromboscope

Fréquence déchantillonnage Fe f0e
Fréquence apparente e
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• Échantillonnage réel

• Fréquences résiduelles au delà de Fe / 2
• Filtre anti-repliement non idéal
• Filtre anti-repliement impossible (CCD)
• Bruit de la partie analogique de la chaîne
  dacquisition
• Effet de léchantillonneur-bloqueur
• Échantillonnage des signaux de fréquence proche
  de Fe/2

Fe gt (2k) Fmax
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2.3 Quantification
Réduction d un espace de valeurs Espace infini
de valeurs ? Espace fini de valeurs ?
niveaux de quantification Écart entre 2 niveaux
consécutifs ? pas (plage) de quantification
(D)
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• Erreur (ou bruit) de quantification

xe(t) signal échantillonné non quantifié xq(t)
signal échantillonné quantifié
Le rapport signal sur bruit de quantification
PS puissance du signal m(t) PB puissance du
bruit de quantification
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• Types de quantification

• Quantification scalaire échantillon par
  échantillon
• Quantification vectorielle groupe
  d échantillons (vecteur)
• Quantification uniforme plage constante
• Quantification non uniforme
• Quantification optimale Erreur minimale
  (plageniveaux adaptés)

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• Quantification scalaire uniforme linéaire

• Plage de quantification D cte
• Niveau de quantification milieu des plages
• Nombre de niveaux Nnq dyn/D
• Erreur de quantification - D /2 ? e(t) lt D /2

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La puissance moyenne du bruit de quantification
peut sécrire
où f(?) désigne la densité de probabilité de ?,
supposée constante
La puissance moyenne du signal dépend de sa
densité probabilité. Si elle est de type
gaussienne avec mmax3?
Nnq2N
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• Bruit de quantification du CAN

• Plage dentrée du CAN P
• Nombre de bits en sortie N
• Pas de quantification D P/2N

Pour P 8 sx (1 ech / 15000 gt 4, sx) on a
Pour un RSB denviron 90 dB (qualité audio) il
faut au moins N16 bits.
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• Quantification scalaire non uniforme

? dépend de lamplitude du signal Erreur de
quantification non constante
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• Loi de compression

Pré-traitement des valeurs et conservation d un
quantificateur simple
Les faibles amplitudes sont  amplifiées  ou
 favorisées  par rapport aux fortes valeurs
Loi de compression logarithmique
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• Loi de compression logarithmique A, m

Soit m(t) le signal à compresser et mc(t) le
signal compressé
Les valeurs de A 87.6 et ? 255 sont
normalisées. (RS/N)q est de lordre de 35 dB
pour un niveau dentrée maximal de 40 dB
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• Compression logarithmique par segment

Lobtention de caractéristiques analogiques de
compression et dexpansion réciproques est
impossible ? Approximation par segments
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• Modulation d impulsions codées (MIC, PCM)

A chaque valeur échantillonnée et quantifiée mot
de n bits -code-
Remarque le codage toujours de longueur fixe à
la numérisation Le codage de source est un
traitement numérique, bien qu une loi de
compression ait pour conséquence de réduire la
redondance !!
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Exemple La téléphonie
Fe8 kHz D 8 864 kbit/s
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2.4 Restitution

• Restitution idéale, interpolateur idéal

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• Interprétation temporelle

• Filtrage passe-bas

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• Interpolateur idéal de Shannon

Linterpolateur de Shannon est irréalisable car
il correspond à un filtre non causal
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• Restitution réelle (CNA), interpolateur d ordre N

• Cas N0

• Conséquences spectrale

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• Conséquences spectrale, interpolateur ordre 0

Filtre de restitution (analogique, passe-bas)