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A-IV Le Potentiel Électrique Scalaire
A-IV.1 Définition - Propriétés
La troisième notion de notre cours
délectrostatique, après celle de force de
Coulomb et celle de champ électrique, est la
notion de potentiel électrostatique scalaire. Son
introduction utilise la notion de travail dune
force. Soit un point M dun parcours où se
trouve une charge soumise à un champ
qui occasionne une force de Coulomb à
laquelle un observateur oppose une force
pour maintenir léquilibre. On appelle
différence de potentiel le
travail de la force entre A et B
divisé par

• Remarques
• Il faut que le déplacement de la charge entre A
  et B se fasse sans accélération. On dit que le
  déplacement est quasi-statique avec comme
  condition en chaque position
• Le travail est donné
  par lexpression

Lunité de potentiel est le Volt
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Potentiel électrique en un point M Considérons
lexpérience précédente qui conduit lobservateur
du point A rejeté à très grande distance des
sources du champ au point M. Si le potentiel
est pris égal à zéro alors le
potentiel au point M devient
Lorigine de ce potentiel est dans les charges
électriques sources du champ . Calculons
explicitement ce potentiel pour le champ créé par
une charge ponctuelle. Pour un parcours
rectiligne radial Le potentiel créé par une
charge ponctuelle à la distance r peut alors
sécrire
Le sens de est arbitraire
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• Propriétés du potentiel créé par un charge
  ponctuelle
• Cest un grandeur scalaire, algébrique.
• Le signe du potentiel est celui de la charge q.
• Il est en intensité inversement proportionnel à
  la distance de la charge qui le crée.
• Il est directement proportionnel à la valeur de
  la charge.
• Ne dépendant que du module r il est constant à
  distance constante de la charge.
• Nous montrerons dans les compléments que le
  chemin suivi pour arriver au point M ninflue pas
  sur la valeur du potentiel en ce point.
• Une autre manière dexprimer ce résultat la
  différence de potentiel entre deux points ne
  dépend pas du trajet suivi pour la calculer.
• La définition même du potentiel à partir du
  travail, processus continu, implique que le
  potentiel est une fonction continue des positions
  dans lespace.

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A-IV.2 Relation Champ - Potentiel
Reprenons les deux relations de définition du
champ et du potentiel ,créés par une charge
ponctuelle De manière purement formelle nous
avons E notant la valeur algébrique du champ le
signe lui étant conféré par celui de q. Cette
relation à une dimension se généralise-t-elle à
trois dimensions? Pour le montrer il faut
introduire un nouvel opérateur vectoriel
sappliquant à une fonction scalaire à trois
variables despace f(x,y,z) et que lon
appelle Noté simplement Par définition en
coordonnées cartésiennes
La notation signifie une
dérivation partielle par rapport à la variable
notée, ici x. Exemple si
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Considérons la fonction Il vient facilement
avec Soit la relation locale cherchée entre le
champ et le potentiel électriques
A-IV.3 Différence de potentiel
La relation locale entre le champ et le potentiel
électriques produit également une relation
globale. Calculons ce que lon appelle la
circulation du vecteur champ électrique
entre les points A et B dune courbe quelconque,
en utilisant la relation locale entre le champ et
le potentiel
Il a été fait usage de la relation On peut la
déduire de variation totale de la fonction
V(x,y,z) lorsque les trois variables varient.
Avec
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• Remarques concernant les relations champ
  potentiel
• Le fait que localement
• et globalement
• implique que le champ soit orienté vers les
  potentiels décroissants.
• Circulation du champ électrique sur une courbe
  fermée. Partant du point A et retour au point A
  il vient
• La fonction potentiel étant définie continue elle
  reprend la même valeur après un tour complet.
  Doù la propriété importante du champ électrique
• la circulation du champ électrique sur une courbe
  fermée est nulle

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A-IV.3 Surfaces équipotentielles
Surface équipotentielle
Le potentiel est une fonction scalaire de points
Un domaine où V(x,y,z) Ct doit permettre de
trouver une autre fonction
qui explicite la coordonnée z en fonction de x et
y. Cette dernière fonction représente une
surface, relation entre x , y et z sur laquelle V
Ct. De telles surfaces sont dites
équipotentielles. Les domaines équipotentiels ne
se limitent pas à des surfaces, ils peuvent
sétendre à des volumes (voir la leçon sur les
conducteurs) à léquilibre où tout le volume du
conducteur est au même potentiel (volume
isopotentiel).
z
M
y
O
x
Direction des lignes de champ par rapport aux
surfaces équipotentielles. Soient deux points A
et B quelconques, distincts, sur une surface
équipotentielle . La circulation du champ
électrique entre A et B sur un parcours
appartenant à la surface est nulle
Suite
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Pour que cette expression soit nulle pour tout
point A et B de la surface équipotentielle il
faut que Comme le vecteur infinitésimal
appartient à la surface on déduit la propriété
importante Les lignes de champ sont orthogonales
aux surfaces équipotentielles.
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Electrostatic Potential Map H2O
Negatively charged region (red)
Oxygen (red)
Hydrogen (white)
H2O (no net charge)
Positively charged region (blue)
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Electrostatic Potential Map H3O
Less positive (green)
Oxygen (red)
Hydrogen (white)
H3O (1 charge)
More positive (blue)
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H3O and waterHow do they interact?
Most positive charge
Most negative charge
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Electrostatic Potential MapH3O 3 H2O
Green signifies reduced positive charge compared
with H3O alone.
H3O surrounded by three water molecules still
1 charge
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(No Transcript)
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A-IV.4 Potentiel créé par plusieurs charges
ponctuelles
Distribution discrète de charges La définition
même du potentiel dans ses relations à la force
électrique permet dappliquer le principe de
superposition et de déduire le potentiel total
par simple sommation, ici plus simple que pour le
champ car nous avons affaire à une somme de
scalaires et non plus de vecteurs.
Pour deux charges
Pour une distribution discrète de N charges
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A-IV.5 Compléments
a- Calcul du potentiel pour un trajet quelconque
Pour un parcours quelconque lexpression du
travail est au départ la même Il faut alors
estimer lexpression générale Soit en
coordonnées cartésiennes et Il vient
Avec Le travail peut alors sécrire
Soit pour le potentiel
Lexpression est la même que celle trouvée pour
le parcours linéaire radial. Ce qui montre en
toute généralité que la différence de potentiel
entre deux points ne dépend pas du chemin suivi.
Cest la moindre des choses si on veut que le
potentiel en un point ait un sens physique.
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b- Potentiel créé par une distribution de charges
Les calculs du potentiel électrique en un point M
sont valables que le point M soit situé hors ou
dans le domaine de la distribution de charges.
Au même titre que pour le champ électrique
donnons les expressions du potentiel électrique
scalaire produit par une distribution de charges
dans les trois cas de dimensionnalités.
Le potentiel de la charge totale du domaine 3D
est donné au point M par
Le potentiel de la charge totale du domaine 2D
est donné au point M par
Le potentiel de la charge totale du domaine 1D
est donné au point M par
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c- Propriétés locales du potentiel électrique
Deux relations impliquant le champ électrique
nous permettent de déduire une propriété locale
du potentiel électrique. Nous avons établi une
relation locale entre le champ électrique et la
densité de charges De même quune relation
directe entre le potentiel et le champ
électrique En combinant les deux
relations Lopérateur divergence du gradient
nest autre que le laplacien noté ?. On en déduit
léquation de Poisson reliant le potentiel et la
densité locale de charges En un point dépourvu
de charge cette équation se réduit à léquation
de Laplace
La forme explicite du laplacien dune fonction
scalaire V(x,y,z) est dans la version cartésienne
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A-IV.6 Exercice à faire
N1- Potentiel dune sphère chargée en volume
Soit une sphère de rayon R portant une charge
uniformément répartie dans tout son volume avec
une densité ? constante. 1- Calculer par une
méthode directe le potentiel électrique en un
point M à la distance r du centre O de la sphère
avec OM r. 2- Étudier et tracer V(r) pour r
variant de 0 à ? 3- Retrouver lexpression du
potentiel à partir de celle du champ électrique.
Soit un fil rectiligne, fini, de longueur 2c, de
centre O, portant une charge électrique
uniformément répartie de ? coulombs par unité de
longueur. 1-Trouver le potentiel électrique en un
point M ce coordonnées (a,b) dans le repère
(Ox,y) donné. 2-En déduire dans ce repère les
composantes du champ électrique. 3-Déterminer les
lignes équipotentielles dans le plan de la figure
de même que les lignes de champ. Montrer leur
perpendicularité.
N2- Potentiel créé par un fil fini chargé
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N3- Potentiel créé une plaque carrée
uniformément chargée
Soit une plaque carrée de côté 2c, de centre O,
portant une charge électrique par unité de
surface. 1-Calculer le potentiel électrique créé
en un point M de laxe à la distance x
OM. 2-Donner lexpression de ce potentiel en
O. 3-Retrouver lexpression du champ électrique
en M à partir de celle du potentiel.
2c
O
M
2c
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A-V LÉnergie Électrique
A-V.1 Généralités sur lénergie potentielle dun
système physique
Une définition très générale de lénergie
potentielle dun système physique peut être la
suivante Lénergie potentielle dun système
physique est lénergie quun observateur doit
dépenser pour mener le système dans son état
présent, à partir de constituants initialement à
linfini les uns des autres Lorigine de cette
énergie peut être multiple compte tenu de la
complexité éventuelle du système. Nous intéresse
ici lénergie potentielle de charges électriques
en présence de champ électrique. Comme les
charges électriques sont ponctuelles nous ne
sommes pas concernés par lénergie potentielle
dune charge ponctuelle dans son propre
champ. Par contre, pour un ensemble de charges de
dimension finie, il sera nécessaire de considérer
lénergie potentielle propre du système de
charges dans le champ global quelles créent.
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A-V.2 Énergie potentielle électrique dune charge
ponctuelle dans un champ électrique extérieur
Quand nous avons construit le potentiel
électrique nous avons calculé le travail dun
observateur mis en jeu pour déplacer une charge q
depuis une grande distance jusquà un point M
dans le champ créé par une charge q. Avec
lexpression du potentiel créé en M par la charge
q Nous obtenons lexpression de lénergie
potentielle recherchée, celle dun charge q
placée au potentiel V. Cette expression est
valable pour toute source de champ localisée
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A-V.3 Énergie potentielle électrique dun couple
de deux charges en interaction
Lénergie potentielle de la charge dans le
champ de la charge est expression dans
laquelle
Lénergie potentielle de la charge dans le
champ de la charge est expression dans
laquelle Dans le cas présent lune des énergies
nexiste pas sans lautre. Elles représentent la
même quantité physique qui est lénergie
dinteraction entre les deux particules
chargées. En prévision de la suite nous noterons
cette énergie
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A-V.4 Énergie potentielle électrique dun système
de charges en interaction
Soit un système de N charges ponctuelles Chaque
charge, par exemple est soumise au
potentiel dû aux N-1 autres charges
étant la distance entre la charge et la
charge Cette charge a une énergie
potentielle égale à Lénergie potentielle de
lensemble des N charges en interaction est
donnée par Le facteur ½ se justifie facilement
par récurrence et a déjà été vu pour deux charges
(faire la démonstration).