Optimisation linaire

1
Optimisation linéaire

• Recherche opérationnelle
• Génie Civil

2
Introduction et exemples
3
Formulation

• Ceci est un problème de programmation linéaire

4
Formulation
5
Formulation
6
Formulation
7
Définitions

• x1,xn variables de décisions
• Si le vecteur x satisfait toutes les contraintes,
  x est une solution admissible.
• Lensemble de toutes les solutions admissibles
  est lensemble admissible ou la région admissible.

8
Définitions

• La fonction cTx est la fonction objectif ou
  fonction de coût.
• Une solution admissible x qui minimise la
  fonction objectif (i.e. cTx cTx pour tout x
  admissible) est appelée solution admissible
  optimale ou solution optimale.

9
Définitions

• Forme standard
• Forme canonique

10
Exemple

• Un atelier de montage peut assembler deux
  produits finis différents, notés P1 et P2. Chaque
  produit est fabriqué à partir de 3 matières
  premières, M1, M2 et M3. On connaît pour chacune
  de ces matières premières 
• le nombre bi dunités disponibles pour le
  prochain cycle de production, i 1, 2, 3 
• le nombre aij dunités nécessaires à lassemblage
  dune unité du produit Pj , i 1, 2, 3, j 1,
  2 
• le prix dachat unitaire ?i , i 1, 2, 3.
• De plus, on connaît, pour chacun des produits
  finis, son prix de vente unitaire ?j , j 1, 2.

11
Exemple

• Pour le directeur de latelier, le problème est
  dutiliser  au mieux  les matières premières à
  disposition. Supposons quil décide de produire
  x1 unités de produit P1 et x2 unités de P2. Le
  revenu associé à la production dune unité de
  produit j est ?j mais ce prix ne tient pas compte
  du coût des matières premières 
• Le profit associé à la production dune unité de
  produit j est

12
Exemple

• Si xj unités de produit j sont assemblées, le
  profit correspondant est cjxj et le profit total
  sur le cycle de production est 

Le but du directeur est de maximiser ce profit.
Ses décisions sont cependant sujettes à des
contraintes. Premièrement, les quantités
produites doivent être non négatives, elles
doivent satisfaire les contraintes 
13
Exemple

• Dautre part, les productions possibles sont
  limitées par les matières premières à
  disposition. La quantité de matière première Mi
  nécessaire à la réalisation dun plan de
  production donné est  ai1x1 ai2x2, et les
  quantités produites doivent satisfaire les
  contraintes 

14
Exemple

• Le problème du directeur est de déterminer le
  nombre dunités x1 et x2 à produire

15
Hypothèses

• Hypothèse de proportionnalité et additivité ou
  hypothèse de linéarité
• La contribution des variables de décision à la
  fonction objectif et aux contraintes est
  proportionnelle à leur valeur
• 3x1? ¾ x2 ? 1/x1? log(x2) ?
• La contribution de chaque variable est
  indépendante de la valeur des autres variables
• z3x1x2 ? z2 x1 x2 ?
• Si elle est violée 
• Programmation non linéaire

16
Hypothèses

• Hypothèse de divisibilité
• Les variables prennent des valeurs
  fractionnaires.
• Si elle est violée 
• Programmation en nombres entiers
• Hypothèse de certitude 
• Chaque paramètre est connu précisément.
• Si elle est violée 
• Programmation stochastique

17
Représentation graphique
s.c.
c(-1,-1)T
18
Représentation graphique

• Identification du domaine admissible
• Identification des lignes de niveaux
• Lignes de niveaux perpendiculaires au vecteur c,
  et donc parallèles entre elles
• A chaque valeur de z correspond une ligne de
  niveau
• La valeur de z augmente dans la direction de c
• LPLab2D