Diapositiva 1

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• Intersección de dos planos cualesquiera

1. La intersección de a1 y b1 determinan la traza
horizontal Hr
2. La intersección de a2 y b2 determinan la traza
vertical Vr
3. Se halla la proyección horizontal r1
4. Se halla la proyección vertical r2
2

• Intersección de dos planos (uno es proyectante)

1. La intersección de a1 y b1 determinan la traza
horizontal Hr
2. La intersección de a2 y b2 determinan la traza
vertical Vr
3. Se halla la proyección horizontal r1
4. Se halla la proyección vertical r2
3

• Intersección de dos planos (uno es paralelo a los
  de proyección)

1. La intersección de a2 y b2 determinan la traza
vertical Vr
2. Se halla la proyección horizontal r1 (paralela
a a1)
3. Se halla la proyección vertical r2 (coincide
con b2)
4

• Intersección de recta y plano

1. Se traza un plano b que contenga a la recta r
2. Se halla la recta m de de intersección de los
planos a y b
3. Se determina el punto P de intersección de las
rectas r y m
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• Intersección de recta t con plano dado por dos
  rectas r y s

El plano es paralelo a uno de los de proyección
El plano es proyectante
A2 resulta en ambos casos de la intersección de
t2 y a2
La proyección horizontal A1 se obtiene al
proyectar A2 sobre t1
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• Intersección de recta t con plano dado por dos
  rectas (II)

El plano es oblicuo
Recta r
Plano m-n
Trazar plano proyectante b que contiene a r
Hallar A y B, intersecciones de las rectas m y n
con plano b respectivamente
A y B determinan p, recta intersección entre
planos b y plano m-n
Donde la recta p corte a la recta r obtenemos el
punto P buscado
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• Intersección de dos planos (I)

Plano DEF
Plano ABC
Método de los planos proyectantes
J
Tomar una recta de cada plano y hallar la
intersección con el otro plano
Hallar el punto M de intersección de recta A-B
con plano DEF
Hallar el punto L de intersección de recta D-F
con el plano ABC
La recta r determinada por los puntos LM es la
intersección de ambos planos
Para figuras limitadas por un contorno la
solución es el segmento MN común a ambas figuras
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Plano DEF

• Intersección de dos planos (II)

Plano ABC
Método de los planos paralelos
Trazar plano horizontal auxiliar a y hallar la
intersección con plano ABC (recta b) y con plano
DEF (recta a). Obtener punto M como intersección
de a y b
Trazar plano horizontal auxiliar b y hallar la
intersección con plano ABC (recta d) y con plano
DEF (recta c). Obtener punto N como intersección
de c y d
La recta r determinada por los puntos MN es la
intersección de ambos planos
Para figuras limitadas por un contorno la
solución es el segmento MN común a ambas figuras
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• Paralelismo entre rectas

Para que dos rectas sean paralelas
1. Sus proyecciones horizontales deben ser
paralelas y
2. Sus proyecciones verticales deben ser paralelas
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• Paralelismo entre planos

Para que dos planos sean paralelos
1. Sus trazas horizontales deben ser paralelas y
2. Sus trazas verticales deben ser paralelas
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• Paralelismo entre recta y plano

Para que una recta r sea paralela a un plano a
En el plano se podrá trazar una recta s que sea
paralela a r
(la proyección horizontal s1 debe ser paralela a
r1) y
(la proyección vertical s2 debe ser paralela a
r2) y
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• Plano paralelo a otro y que contiene a un punto

1. Por el punto P se traza una recta horizontal r
(o frontal) paralela al plano a
2. Por la traza vertical Vr se dibuja la traza b2
paralela a la traza a2
3. La traza b1 es paralela a la traza a1 (y a la
proyección r1)
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• Paralelismo entre rectas y planos (I)

Paralelismo entre rectas
Dos rectas r y s son paralelas cuando lo son sus
proyecciones
Paralelismo entre recta y plano
Una recta m es paralela a un plano r-s cuando en
éste se puede trazar una recta m paralela a la
recta m dada
Comprobar que la recta m sea realmente paralela
a m
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• Paralelismo entre rectas y planos (II)

Paralelismo entre planos m-n y p-q
Si dos planos son paralelos un tercer plano
auxiliar los cortará según dos rectas paralelas
C
Trazamos un plano proyectante a y hallamos su
intersección con los plano m-n (recta r) y con el
plano p-q (recta s)
Comprobar si las rectas r y s son paralelas
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• Perpendicularidad entre recta y plano

1. La proyección horizontal r1 de la recta es
perpendicular a la traza horizontal a1 del plano
2. La proyección vertical r2 de la recta es
perpendicular a la traza vertical a2 del plano
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• Plano perpendicular a una recta y que contiene a
  un punto

1. Por el punto P se traza una recta m horizontal
(o frontal), de manera que las proyecciones m1 y
r1 sean perpendiculares
2. Por la traza Vm se dibuja a2 perpendicular a
la proyección r2
3. La traza a1 es perpendicular a la proyección r1
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• Perpendicularidad entre rectas

Por aplicación del teorema de las tres
perpendiculares
Trazaremos en cada caso,desde la proyección
correspondiente de P una recta perpendicular a la
proyección de la recta r que se vea en verdadera
magnitud
Localizaremos el punto A de intersección con la
recta r
La recta A-P es la solución buscada
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• Perpendicularidad entre recta y plano

Se a el punto P y el plano ABC
Trazamos en el plano ABC una recta auxiliar
horizontal (recta m) y otra frontal (recta n)
La recta t será perpendicular a las rectas m y n
La proyecciones de t se trazan respectivamente
perpendiculares a las proyecciones que dan la
verdadera magnitud de dichas rectas (m1 y n2)
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• Plano que contiene a una recta y es perpendicular
  a otro plano

Se a el plano ABC y la recta r
Por un punto cualquiera P de la recta r trazamos
una recta s perpendicular al plano ABC por el
procedimiento anterior
Trazamos rectas auxiliares horizontal m y frontal
n del plano ABC
La proyecciones s1 y s2 se trazan respectivamente
perpendiculares a las proyecciones m1 y n2
La rectas r y s determinan la solución
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• Distancia entre dos puntos

1. Se dibuja un triángulo rectángulo de manera
que
La hipotenusa sea el segmento AB
Un cateto sea perpendicular al plano horizontal y
El otro cateto sea paralelo al plano horizontal
2. Se abate el triángulo haciéndolo girar
alrededor del cateto horizontal hasta que el
triángulo esté paralelo al plano horizontal
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• Distancias casos particulares (I)

Distancia de un punto a un plano
1. Por P se traza la recta r perpendicular a a
2. Se halla el punto M de intersección de r y a
Distancia de un punto a una recta
1. Por P se traza un plano a perpendicular a r
2. Se halla el punto M de intersección de r y a
3. Se calcula la distancia entre los puntos P y M
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• Distancias casos particulares (II)

Distancia entre dos rectas paralelas
1. Se traza un plano a perpendicular a r y s
2. Se hallan los puntos M y N de intersección del
plano a con las rectas r y s
Distancia entre dos planos paralelos
1. Se traza una recta r perpendicular a a y b
2. Se hallan los puntos M y N de intersección de
la recta r con los planos a y b
3. Se calcula la distancia entre los puntos M y N
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• Distancia de un punto a una recta

Por el punto P trazamos plano definido por dos
rectas perpendiculares a la recta r (horizontal m
y frontal n)
Sean el punto P y la recta r
El segmento P-M determina la solución de la
mínima distancia