NMEROS ALEATORIOS

1
NÚMEROS ALEATORIOS
DEPARTAMENTO DE INFORMATICA UNSL-2007
2
NUMEROS ALEATORIOS

• Los números random son un elemento básico en la
  simulación de la mayoría de los sistemas
  discretos.
• Cada número random Ri es una muestra
  independiente de una distribución uniforme y
  continua en el intervalo (0,1).

3
NÚMEROS ALEATORIOS
4
NÚMEROS ALEATORIOS
La probabilidad de observar un valor en un
particular intervalo es independiente del valor
previo observado.   Todo punto en el rango tiene
igual probabilidad de ser elegido.   Si el
intervalo (0,1) es dividido en n sub-intervalos
de igual longitud, el número esperado de
observaciones en cada intervalo es N/n. (N número
de observaciones totales).
5
GENERADOR DE NÚMEROS ALEATORIOS
El objetivo de cualquier esquema de generación
(generador), es producir una secuencia de
números entre 0 y 1 que simule las propiedades
ideales de distribución uniforme y de
independencia.
6
NÚMEROS PSEUD0-ALEATORIOS

• Los números aleatorios son calculados a partir de
  una semilla (seed) y una fórmula.
• El problema es que si el método es conocido,
  entonces la secuencia de números random puede ser
  replicada.
• En la práctica ninguna función produce datos
  aleatorios verdaderos -- las funciones producen
  números pseudo-aleatorios.

7
TÉCNICAS PARA GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS
  La mayoría de los métodos (generadores)
comienzan con un número inicial (semilla), a este
número se le aplica un determinado procedimiento
y así se encuentra el primer número random.
Usando este número como entrada, el
procedimiento es repetido para lograr un próximo
número random. Y así siguiendo.    
8
TÉCNICAS PARA GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS
 Método Del Cuadrado Medio comienza con un
número inicial (semilla). Este número es elevado
al cuadrado. Se escogen los dígitos del medio de
este nuevo número (según los dígitos que se
deseen) y se colocan después del punto decimal.
Este número conforma el primer número
random. Ejemplo X0 5497   X02 (5497)2
30,217,009 gt X1 2170   R1 0.2170 X12
(2170)2 04,708,900 gt X2 7089   R2
0.7089 X22 (7089)2 50,253,921 gt X3
2539
9
TÉCNICAS PARA GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS
Método De Congruencia Lineal produce una
secuencia de enteros X1, X2,... entre 0 y m-1
de acuerdo a la siguiente relación recursiva
  Xi1 (a Xi c) mod m,
i0,1,2,...   X0 es llamado semilla. a es
llamado el multiplicador constante. c es el
incremento. m es el módulo. El número
aleatorio se encuentra de la siguiente manera
R X / m
10
TÉCNICAS PARA GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS
Ejemplo Utilice el método de Congruencia Lineal
para generar números aleatorios con las siguiente
constantes X0 27 , a 17, c 43, m
100 La secuencia de Xi y subsecuentes Ri
serían   X0 27 X1 (17 27 43) mod 100
502 mod 100 2 R1 2/100 0.02 X2 (17
2 43) mod 100 77 mod 100 77 R2 77/100
0.77   La selección de los parámetros del
generador afecta drásticamente las propiedades
ideales y la longitud del ciclo.
11
FUNCIONES DE NÚMEROS (PSEUDO) ALEATORIOS EN LA
BIBLIOTECA ESTÁNDAR.
El conjunto más simple de funciones es int
rand(void) void srand(unsigned int semilla)
Un ejemplo sencillo del uso del tiempo de la
fecha es inicializando la semilla a través de una
llamada srand( (unsigned int) time( NULL ) )
12
TEST PARA EL CHEQUEO DE UNIFORMIDAD
13
TEST PARA EL CHEQUEO DE UNIFORMIDAD

• Test de Kolmogorov-Smirnov compara la
  distribución de un conjunto de números generados
  con una distribución uniforme.
•  
• Este test compara
• la función de Probabilidad Acumulada continua
  F(x) de una Distribución Uniforme, con
• la función de Probabilidad Acumulada empírica
  SN(x), de una muestra de N observaciones.

14
TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

• Por definición, la Función de Probabilidad
  Acumulada (teórica) uniforme entre 0 y 1 tiene
• F(x) x, 0ltxlt1
• Mientras que una Función de Probabilidad
  Acumulada Empírica se encuentra
• SN(x) (cantidad de n.r. generados ltx ) /
  N
•  
• Este test se basa en la mayor desviación absoluta
  entre F(x) y SN(x) sobre todo el rango de
  variable random.
• Esto es D maxF(x) - SN(x)
•  
• La distribución de D está tabulada como una
  función de N.

15
Ejercitación de Distribución Empírica (SN(x)) Si
no se conoce la probabilidad de un fenómeno se
debe trabajar con las distribuciones empíricas (
basadas en frecuencias). Ejemplo Que
distribución tiene la siguiente secuencia de
números? 3-4-5-3-4-5-3-6-4-3 3 4 4/100.4 4/
100.4 4 3 3/100.3 7/100.7 5 2 2/100.2 9/100
.9 6 1 1/100.1 10/101
valor cantidad frel. frelAcum
16
El test procede de la siguiente manera   1-
Ordena los datos de menor a mayor   R(1)ltR(2)lt
... lt R(N)   (R(i) denota la observación más
pequeña.)   2- Computa   D max i/N -
R(i), 1ltiltN D- max R(i)- (i-1)/N,
1ltiltN   3- Computa D? max (D,D-).
17
Ejemplo (continuación)
18
El test procede de la siguiente manera
(continuación)   4- Determina el valor crítico,
D? para el nivel de significancia alfa y tamaño
de muestra N, (estos valores están tabulados). 5-
Si la muestra estadística diferencia ha D es mas
grande que el valor crítico, D?, la hipótesis
nula es rechazada. Si D lt D?
concluye que ninguna diferencia significativa ha
sido detectada entre la verdadera distribución
de R1,R2 ..., RN y la distribución uniforme.
19
Ejemplo Para Ejecutar Test De Uniformidad
(Kolmogorov - Smirnov)

• Suponer que se generaron cinco números random y
  que se desea ejecutar el test de K.S. para un
  nivel de significancia ? 0.05
• Orden cronológico
• Orden numérico creciente

20
Ejemplo (continuación)
Evaluación
Continuar este ejemplo.....
21
GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS EMPÍRICAS
TÉCNICA DE LA TRANSFORMADA INVERSA
DEPARTAMENTO DE INFORMATICA UNSL-2007
22
GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS EMPÍRICAS
DISCRETAS
Suponga que un determinado fenómeno aleatorio
tiene la siguiente distribución de probabilidad
23
TECNICA DE LA TRANSFORMADA INVERSA
(Generalización de Montecarlo)
24
TECNICA DE LA TRANSFORMADA INVERSA
(Generalización de Montecarlo)
25
TECNICA DE LA TRANSFORMADA INVERSA
(Generalización de Montecarlo)
0 ? R ? 0.3 entonces x 20 grs. 0.3 lt R ?
0.7 entonces x 19 grs. 0.7 lt R ? 1 entonces
x 18 grs.
26
Transformada Inversa Distribuciones Empíricas
Continuas

• Suponga que se han coleccionado 100 tiempos de
  reparación de un elemento

27
Transformada Inversa Distribuciones Contínuas
28
Transformada Inversa Gráficamente
29
Transformada Inversa Algebraicamente
Dado Ri 0.83 (entre 0.66 y 1), Xi es
computado por una interpolación lineal entre
1.5 y 2
30
Transformada Inversa Algebraicamente
Dado Ri 0.83 (entre 0.66 y 1), Xi es
computado por una interpolación lineal entre
1.5 y 2