N

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Números Aleatorios

• Simulación

2
Introducción

• Aplicaciones de los números aleatorios
• Simulación, con entradas no determinísticas.
• Juegos o teoría de decisiones.
• Cálculo numérico (p.e. resolución de
  integrales).
• Teoría del muestreo.
• Programación.
• Número aleatorio La aleatoriedad es una
  característica que posee o no una serie de
  números, no un número aislado.

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Generadores de números.Tipos

• Características deseables
• Los números generados no se deben repetir
  frecuentemente (en ciclos).
• Las series generadas deben ser reproducibles.
• Rapidez en la obtención de los números.
• Almacenamiento mínimo.
• Los números generados han de estar uniformemente
  distribuidos.
• Los valores deben ser independientes unos de
  otros.

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Generadores de números.Métodos

• Manual (p.e., dado, bombo).
• Las series obtenidas son realmente aleatorias.
• Lentitud.
• Las series obtenidas son irreproducibles.
• Requieren gran cantidad de almacenamiento.
• Tablas (p.e., hasta 100000 números).
• Las series obtenidas son reproducibles.
• Lentitud.
• Requieren gran cantidad de almacenamiento.

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Generadores de números.Métodos

• Computación analógica (p.e., fenómenos físicos).
• Las series obtenidas son realmente aleatorias.
• Rapidez.
• Las series obtenidas son irreproducibles.
• Computación digital (p.e., función y semilla).
• Rapidez.
• Pocos requerimientos de almacenamiento.
• Las series obtenidas son reproducibles.
• Los números obtenidos no son independientes.

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Generadores de números.Métodos

• Generadores de números aleatorios
• Primera aproximación (Von Neumann, 1946) Método
  de los cuadrados centrales.
• Genera números aleatorios de k cifras.
• Parte de una semilla, la eleva al cuadrado y toma
  como resultado las k cifras centrales de lo
  obtenido.
• Se generan ciclos rápidamente.

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Método de los cuadrados centrales
8
Método de los cuadrados centrales
9
Método de los cuadrados centrales

• El problema con este método es que tiende a
  degenerar rápidamente. Dependiendo del valor
  inicial el método puede degenerar al cabo de 20
  términos.
• Se puede observar que, en las últimas líneas, se
  llega a una condición degenerada. Por la tanto,
  es necesario verificar siempre la serie de
  números y protegerse contra este fenómeno

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Generadores congruencialeslineales

• Generan números pseudoaleatorios uniformemente
  distribuidos pero no independientes.
• Introducción.
• (Lehmer, 1949) xn1 (axn c) mod m, con
  0xnltm n
• x0, valor inicial o semilla.
• a, multiplicador, 0altm
• c, incremento, 0cltm
• m, módulo.

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Generadores congruencialeslineales

• xn1 (axn c) mod m
• Periodo subcadena de la serie en la que no hay
  repeticiones de números.
• Longitud de periodo número de elementos de dicha
  subcadena.
• Interesan métodos con alta longitud de periodo.

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Generadores congruencialeslineales

• Si se quiere obtener números Uniformes (0,1) se
  normaliza el resultado
• Un Xn / m
• En el MCL, si se repite un número ya se repite
  toda la secuencia.
• Ventajas
• utiliza poca memoria y es muy rápido.
• fácil de volver a generar la misma secuencia,
  guardando un solo número, (se alcanza con partir
  desde la misma semilla X0).

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Generadores congruencialeslineales
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Tipos de Generadores congruencialeslineales

• Multiplicativos (Lehmer) El incremento c es 0
  (c0).
• xn1 axn mod m
• Son más rápidos.
• Mixtos (Thomson, 1958) El incremento c es
  distinto de 0 (c!0).
• xn1 (axn c) mod m
• La longitud de periodo es mayor.

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Tipos de Generadores congruencialeslineales

• Los valores a0 y a1 producen series no
  aleatorias.
• (a0)
• xn1 c mod m, siempre saldría la constante c.
• (a1)
• xn1 (xn c) mod m. Desarrollando,
• x1 (x0 c) mod m,
• x2 (x1 c) mod m (((x0 c) mod m) c) mod
  m
• (x0 2c) mod m,
• x3 (x0 3c) mod m, etc.

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Tipos de Generadores congruencialeslineales

• Para mayor independencia, obtener los valores de
  k en k
• x0x0
• aak
• c(ak 1)c/(a 1)
• mm

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Tipos de Generadores congruencialeslineales

• Demostración
• Partimos de xn1 (axn c) mod m.
  Desarrollando,
• xn2 (axn1 c) mod m (a(axn c) mod m
  c) mod m
• (a2xn ac c) mod m
• xn3 (axn2 c) mod m (a((a(axn c) mod m
  c) mod m) c)
• mod m (a3xn a2c ac c) mod m.
• En general
• xnk (akxn ak-1c ak-2c ac c) mod m,
  esto es,

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Generadores congruencialeslineales.

• La selección de a, c, y m afectan el periodo y la
  aleatoriedad en la secuencia.
• Entre los resultados de los estudios realizados
  con estos generadores tenemos
• El modulo m debe ser grande. Dado que los x están
  entre 0 y m-1, el periodo nunca puede ser mayor
  que m.
• Para que el computo de mod m sea eficiente, m
  debe ser una potencia de 2, es decir, 2k. En este
  caso mod m puede ser obtenido truncando el
  resultado y tomando en k bits a la derecha.

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Generadores congruencialeslineales.

• Para que el computo de mod m sea eficiente, m
  debe ser una potencia de 2, es decir, 2k. En este
  caso mod m puede ser obtenido truncando el
  resultado y tomando en k bits a la derecha.
• Ejemplo 45 mod 16 45 mod 24 13

20
Generadores congruencialeslineales

• Si c es diferente de cero, el periodo máximo
  posible m se obtiene si y solo si
• Los enteros m y c son primos relativos ( no
  tengan factores comunes excepto el 1).
• Todo número primo que sea un factor de m lo es
  también de a-1.
• a-1 es un múltiplo de 4 si m es un múltiplo de 4.

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Generadores congruencialeslineales.

• Todas estas condiciones se cumplen si m
  2k , a 4n 1, y c es impar, donde n, c, y k
  son enteros positivos.
• Si un generador tiene el periodo máximo posible
  se llama generador de periodo completo.
• Todos los generadores de periodo completo no son
  igualmente buenos.
• Son preferibles los generadores con menor
  autocorrelación entre números sucesivos.

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Generadores congruencialeslineales
multiplicativos

• GCL multiplicativo y tienen la forma
• Xn axn-1 mod m
• Es obvio que estos son más eficientes que los
  mixtos.
• Eficiencia adicional puede ser obtenida tomando m
  2k .
• Por lo tanto hay dos tipos de GCL multiplicativos
  dependiendo si m 2k o no.

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Generadores congruencialeslineales
multiplicativos con m 2k

• El argumento a favor de usar m 2k esta en la
  eficiencia de la operación mod.
• Sin embargo estos generadores no son de periodo
  completo.
• El máximo periodo posible para estos generadores
  es un cuarto del periodo completo 2k-2
• Se obtiene si el multiplicador es de la forma 8i
  3 y la semilla es impar.
• A pesar de esto, un cuarto de periodo máximo
  posible puede ser suficiente para muchas
  aplicaciones.

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Generadores congruencialeslineales
multiplicativos con m 2k

• Ejemplo
• Consideremos el siguiente GCL multiplicativo
• xn5xn-1 mod 25
• Si x0 1, obtenemos la secuencia 5, 25, 29, 17,
  21, 9, 13, 1, 5, ..., con periodo 8 32/4.
• Si cambiamos x0 2, la secuencia es 2, 10, 18,
  26, 2, 10,..., con periodo 4.
• Para ver que sucede si el multiplicador no es de
  la forma 8i 3, consideremos
• xn7xn-1 mod 25
• Si x0 1, obtenemos la secuencia 1, 7, 17, 23,
  1, 7, ..., y vemos que ambas condiciones son
  necesarias para obtener el periodo máximo.

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GCL multiplicativos con m ? 2k

• Una solución para los periodos pequeños es usar
  un modulo m que sea número primo.
• Con un multiplicador a adecuado se puede obtener
  un periodo de m - 1, que es casi el máximo
  periodo posible.
• Note que en este caso xn nunca puede ser cero y
  su valor esta entre 1 y m - 1.
• Todo GLC multiplicativo con periodo m - 1 se dice
  que es de periodo completo.
• Se puede demostrar que un GLC multiplicativo es
  de periodo completo si y solo si el multiplicador
  a es una raíz primitiva del modulo m a es una
  raíz primitiva de m si y solo si an mod m ? 1
  para n 1, 2, ..., m-2.

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GCL multiplicativos con m ? 2k

• Ejemplo
• Consideremos el siguiente GCL multiplicativo
• xn3xn-1 mod 31
• Si x0 1, obtenemos la secuencia 1, 3, ..., con
  periodo 30 y por lo tanto es de periodo completo.
  
• Si usamos a 5, obtenemos la secuencia 1, 5, 25,
  1, ... que es de periodo 3.
• Note que 3 es una raíz primitiva de 31 ya que el
  menor entero positivo de n tal que 3n mod 31 1
  es n 30, y 5 no lo es ya que 53 mod 31 1.

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Generadores de congruencias lineales. Ejemplo

• Sea la secuencia Xi1 a Xi mod 11, para i gt1
  Z0 1
• Las raíces primitivas son 2, 6, 7 y 8.
• Los números generado por 2 y 6 son iguales pero
  en sentido contrario. Lo mismo ocurre con los
  generados por 7 y 8. Este tipo de relaciones se
  producen generalmente en generadores
  multiplicativos.

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Generadores congruencialeslineales