Algoritmos de ordenamiento

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Algoritmos de ordenamiento

• Objetivos
• Analizar el desempeño de diferentes algoritmos
  empleados en el ordenamiento de números o cadenas
  de números o caracteres
• Determinar que algoritmo es más eficiente para un
  problema particular dado.

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Ordenamientos

• Dada una secuencia de n datos a1, a2,,an tomados
  de un conjunto con orden lineal ?, el
  ordenamiento consiste en encontrar una
  permutación ? de los elementos que asocie la
  secuencia dada en una secuencia no decreciente
• a?(1), a?(2),,a?(n) tal que a?(i) ? a?(i1) 1?
  iltn

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Ordenamientos

• Para la entrada 2,5,4,1,3 la permutación que
  produce el ordenamiento es ?(1)2, ?(2)5,
  ?(3)4, ?(4)1, y ?(5)3. Así
• a?(4), a?(1), a?(5), a?(3), a?(2)
• 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5
• Para una secuencia de n elementos, el número de
  permutaciones considerando n datos elementos es
  n!

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Porqué?

• Uso frecuente
• Facilidad de uso de los datos
• Diseño de algoritmos (preprocesamiento)
• Algoritmos Avaros
• Mínimo y Máximo
• Mediana

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Clasificación

• Internos. Los datos reciben en memoria principal
  y son pocos
• Externos. Los datos residen en memoria secundaria

• Datos con estructura. Aprovechan la estructura de
  los datos a ordenar
• Datos sin estructura. Se asume que los datos no
  tienen ninguna estructura.

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Ordenamiento por comparación

• Es necesario realizar comparaciones entre
  elementos
• Ejemplos
• Ordenamiento por selección
• Ordenamiento por inserción
• MergeSort
• Heapsort
• Quicksort

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Ordenamiento por selección

• Seleccionar repetidamente el elemento mas
  pequeño que queda, intercambiandolo con el
  primero
• ASORTINGEXAMPLE
• ASORTINGEXAMPLE
• ASORTINGEXAMPLE
• AAORTINGEXSMPLE
• AAERTINGOXSMPLE ETC

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Ordenamiento por selección

• 1. for(i1 ilt(n-1) i)
• 2. smalli
• 3. for(ji1 jltn j)
• 4. if(AjltAsmall)
• 5. smallj
• 6. tempAsmall
• 7. AsmallAi
• 8. Aitemp

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Ordenamiento por selección

• El método es simple, fuerza bruta
• N-1)(N-2) 21N2/2 comparaciones,
• N intercambios
• Como cada record se mueve a lo mas una vez, tiene
  aplicaciones para ordenar archivos con records
  grandes y campos de ordenamiento pequeños

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Ordenamiento por inserción

• Este es el que se usa en las cartas el elemento
  a ser considerado se inserta en el lugar
  apropiado en una secuencia ordenada. Hay que
  mover a la derecha a veces muchos elementos.
• ASORTINGEXAMPLE
• ASO
• AOSR
• AORST
• AORSTI ...ETC

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Ordenamiento por inserción

• 1. for j 2 to lengthA
• 2. Key Aj
• 3. i j-1
• 4. while i gt 0 y Ai gt Key
• 5. Ai1Ai
• 6. ii-1
• 7.
• 8. Ai1 Key

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Ordenamiento por inserción

• Este ordenamiento usa N2/4 comparaciones y N2/8
  intercambios en promedio, el doble en el peor
  caso, pero es lineal en archivos casi ordenados

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Árboles

• Un árbol es un grafo dirigido acíclico que
  satisface las siguientes propiedades
• Existe exactamente un vértice, llamado raíz, al
  que no llega ningún arco.
• Cada vértice excepto la raíz tiene exactamente un
  arco entrante.
• Existe un camino único de la raíz a cada vértice.

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Árboles

• La profundidad de v es la longitud del camino de
  la raíz a v.
• La altura de v es la longitud del camino más
  largo de v a una hoja.
• La altura de un árbol es la altura de la raíz.
• El nivel de v en un árbol es la altura del árbol
  menos la profundidad de v.

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Árbol de decisión

• Consideración de las instrucciones de
  ramificación (condicionales).
• En los ordenamientos, es razonable considerar un
  modelo en el cual todos los pasos de progresión
  sean ramificaciones de dos vías basadas en una
  comparación entre dos cantidades.

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Árbol de decisión

• La representación para un programa de
  ramificaciones es un árbol binario llamado árbol
  de decisión. Cada vértice interior representa una
  decisión. La prueba representada por la raíz se
  hace primero, y el control pasa, dependiendo del
  resultado, a uno de sus hijos. En general, el
  control continúa pasando de un vértice a uno de
  sus hijos hasta que se alcanza una hoja (salida).

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Árbol de decisión
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• Lema. Un árbol binario de altura h tiene a lo más
  2h hojas.
• Teorema. Un árbol para ordenar n elementos debe
  tener al menos n! hojas
• Teorema. Un árbol de decisión para ordenar n
  datos tiene altura de al menos log n!
• Corolario. Cualquier algoritmo de ordenamiento
  por comparaciones requiere al menos de cn log n
  comparaciones para ordenar n datos para alguna
  cgt0 y n grande.

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MergeSort

• Mergesort es el caso típico de divide y
  conquista y tiene la recurrencia MN2MN/2N i.e.
  NlogN aun en el peor caso, pero requiere espacio
  extra. El secreto esta en que el merge de dos
  secuencias ordenadas se puede hacer en tiempo
  lineal.

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MergeSort

• El MERGE
• Dadas dos secuencias ordenadas a1..aM y
  b1bN
• i1 j1
• aM1INT_MAXbN1INT_MAX
• For (k1kltMNk)
• ck(ailtbj) ? ai bj
• el método usa obviamente MN comparaciones

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MergeSort

• Si los datos se proporcionan como una lista
  ligada, se minimiza el movimiento de datos.

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MergeSort

• Procedure sort
• 1. if ij then return xi
• 2. else
• 3. m(ij-1)/2
• 4. return merge(sort(i,m), sort(m1,j))

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Heapsort

• Definición. Un heap es un arreglo A con valores.
  Representa un árbol binario completo que cumple
  Apadre(i) ? Ai
• y está constituido de la siguiente forma
• A1 contiene la raíz
• A2i y A2i1contienen respectivamente, los
  hijos izquierdos y derechos de Ai
• Ai/2 contiene al padre de Ai
• Todo camino de una hoja a la raíz es una
  secuencia ordenada linealmente

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Heapsort

• Operaciones sobre un heap Insertar, Quitar el
  mayor, Reemplazar elementos a un heap. Todos
  estos requieren menos de 2 logN comparaciones.
• Un elegante y eficiente método de ordenamiento
  sale de utilizar las operaciones sobre heaps.
  Además no usa memoria extra. Simplemente se
  construye un heap con los elementos a ordenar y
  despues se van quitando en el orden. Heapsort
  entonces requiere menos de 2Nlog N comparaciones
• Ejemplo ASORTINGEXAMPLE

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Heapsort

• procedure HEAPIFY(i,j)
• if i is not a leaf and if a son of i contains a
  larger elements than i does then
• begin
• let k be son of i with the largest element
• interchange Ai and Ak
• HEAPIFY(k, j)
• end

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Heapsort

• procedure BUILDHEAP
• for i ? n step - 1 until 1 do HEAPIFY(i,n)
• Heapsort
• BUILDHEAP
• for i ? n step - 1 until 2 do
• interchange A1 and Ai
• HEAPIFY (1, i - 1)

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QuickSort

• Quicksort es tal vez el mas usado de los
  algoritmos. No usa mucho espacio auxiliar y en
  promedio requiere N log N operaciones. Pero es
  recursivo y en el peor caso usa N2 operaciones.

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QuickSort

• QuickSort(A,p,r)
• if pltr
• qparticion (A,p,r)
• Quicksort(A,p,q)
• Quicksort(A,q1,r)

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QuickSort

• particion(A,p,r)
• xAp ip-1 jr1
• while true
• repeat jj-1 until ajltx
• repeat ii1 until aigtx
• if iltj exchange Ai,Aj
• else return j

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QuickSort

• En el mejor caso, cada etapa de particionamiento
  divide el archivo exactamente a la mitad. En ese
  caso la recurrencia es CN2CN/2N i.e. NlogN
  pero esto no siempre sucede. Sedgewick pp 121
  para recurrencia precisa. Se puede eliminar la
  recursion usando un stack de manera explicita.

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Aprovechamiento de la estructuraRadix Sort

• Si tomamos en cuenta que los datos a ordenar se
  representan como un número en base M (la raiz).
  Hay varios de estos métodos. Uno muy sencillo es
  el llamado straight radix sort.
• Simplemente poner en representación binaria y de
  derecha a izquierda poner los ceros antes de los
  unos

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Aprovechamiento de la estructuraRadix Sort

• Usa N log N comparaciones de bits. Requiere menos
  que Nb comparaciones para ordenar n numeros de b
  bits. Se ordenan n records con llaves de b bits
  en b/m pasos usando M2m espacio extra. Aunque
  usamos M2 aquí, lo mejor es que M sea grande. Si
  tomamos mb/4 resulta un sort lineal