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UNIDAD III ERRORES

• Hemos desarrollado
• Sistemas numéricos decimal, binario y
  hexadecimal.
• Representación interna de datos números y
  caracteres.
• Presentaremos hoy
• Nociones básicas de errores.

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En esta UNIDAD comenzamos a introducirnos en los
MÉTODOS NUMÉRICOS
Situación REAL NO SIEMPRE se requiere
una RESPUESTA EXACTA
APROXIMACIÓN
MODELO MATEMÁTICO para describir y analizar
SOLUCIÓN ANALÍTICA Puede NO tener Puede ser
DIFÍCIL o COSTOSA (objetivos)
MÉTODOS NUMÉRICOS
Una SOLUCIÓN APROXIMADA al PROBLEMA ORIGINAL
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OBJETIVO
MÉTODO NUMÉRICO
Resolver problemas numéricos COMPLEJOS utilizando
operaciones aritméticas SIMPLES.
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DIREMOS
El CÁLCULO de un dado MÉTODO NUMÉRICO dará
NÚMEROS que se APROXIMAN a los que se obtendrían
aplicando la SOLUCIÓN ANALÍTICA de un problema,
en el caso que existiera.
Qué tan PRECISOS (próximos a la solución
exacta) son los resultados? O Qué tanto ERROR
se ha introducido?
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NOCIONES BÁSICAS DE ERRORES
FUENTES DE ERROR

• Distintos ERRORES en cada ETAPA.

• Los ERRORES se PROPAGAN dando el ERROR TOTAL.

Cómo MEDIMOS el ERROR?
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MAGNITUD DEL ERROR
CUANTIFICAMOS el ERROR
Siendo VA una aproximación de VV, y VV el valor
real, entonces
ERROR ABSOLUTO
e VA VV
ERROR RELATIVO ABSOLUTO
eR ( VA VV ) / VV con la condición VV ? 0
ERROR PORCENTUAL ABSOLUTO
eP 100. ( VA VV ) / VV () con la
condición VV ? 0
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CIFRAS SIGNIFICATIVAS
MEDIR la CONFIABILIDAD de un VALOR NUMÉRICO
VA es una aproximación a VV con d CIFRAS
SIGNIFICATIVAS
EJEMPLOS
VA es una aproximación a VV con 2 cifras
significativas.
VA es una aproximación a VV con 5 cifras
significativas.
VA es una aproximación a VV con 0 cifras
significativas.
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FUENTES DE ERROR
ERRORES en el CÁLCULO al implementar en MÁQUINA
el MÉTODO. Es decir
TIEMPO FINITO (ALGORITMO)
ESPACIO FINITO (COMPUTADORA)
RIGUROSAMENTE FINITO no alcanza. FINITO debe
entenderse como RAZONABLE.
ERRORES

• ERROR DE TRUNCAMIENTO (tiempo).

• ERROR DE REDONDEO (espacio).

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FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL
ERROR DE TRUNCAMIENTO

• SURGEN debido a la limitación en TIEMPO.
• Debemos realizar un número finito de acciones.
• EJEMPLOS
• Evaluar funciones con la Serie de Taylor.
• Proceso iterativo convergente.
• Evaluar por intervalos.

TRUNCAR
Faltará evaluar (ERROR) términos, iteraciones o
intervalos TRUNCADOS.
NO PODEMOS IMPLEMENTAR EL LÍMITE ANALÍTICO
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FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL
ERROR DE REDONDEO
SURGEN debido a la limitación en ESPACIO (la
memoria ocupa espacio). Los números reales se
representan por una INFINIDAD de dígitos. En
MÁQUINA sólo podemos tener un representación
FINITA. X 0, d1 d2 d3 . dm x 10n , 1d19 y
0di9 d1 d2 d3 . dm mantisa n
exponente Trabajamos con fl(x) 0, d1 d2 d3
. dk x 10n
Tenemos almacenado un REDONDEO del número real
que difiere (ERROR) del número real.
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REDONDEO TRUNCADO
El redondeo truncado consiste en truncar el
resultado de una operación al número de cifras
significativas que se estén utilizando. Por
ejemplo sí redondeamos 7/9 a 4 cifras
significativas tenemos 0.7777
REDONDEO SIMÉTRICO
El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno
la última cifra retenida si la primera cifra
descartada está entre 5 y 9, o dejarla igual si
la primera cifra descartada está entre 0 y 4.
Ejemplo 1/3 2/3 1, su resolución mediante la
calculadora puede llevarnos a un resultado
diferente. Si realizamos la suma empleando
únicamente 4 cifras significativas se obtiene
0.3333 0.6666 0.9999 (redondeo truncado)
0.3333 0.6667 1.000 (redondeo simétrico)
Errores
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ERROR NUMÉRICO TOTAL
ERROR DE TRUNCAMIENTO
ERROR NUMÉRICO TOTAL
ERROR DE REDONDEO
Error de truncamiento
Agregando términos, iteraciones o disminuyendo el
intervalo.
Significa
número de operaciones
Error de redondeo
DISMINUIR UNA COMPONENTE DE ERROR CONDUCE A UN
INCREMENTO EN LA OTRA
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There are 10 types of people in the
world those who understand binary and those
who don't.
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Conjunto de todos los números reales positivos de
la forma
n pertenece al conjunto -3,-2,-1,0,1,2,3,4.
0.10002 x 2-3, 0.10012 x 2-3, , 0.11102 x 24,
0.11112 x 24
Mantisa Exponente Exponente Exponente Exponente Exponente Exponente Exponente Exponente
Mantisa n-3 n-2 n-1 n0 n1 n2 n3 n4
0.1000(2) 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.1001(2) 0.0703125 0.140625 0.28125 0.5625 1.125 2.25 4.5 9
0.1010(2) 0.078125 0.15625 0.3125 0.625 1.25 2.5 5 10
0.1011(2) 0.0859375 0.171875 0.34375 0.6875 1.375 2.75 5.5 11
0.1100(2) 0.09375 0.1875 0.375 0.75 1.5 3 6 12
0.1101(2) 0.1015625 0.203125 0.40625 0.8125 1.625 3.25 6.5 13
0.1110(2) 0.109375 0.21875 0.4375 0.875 1.75 3.5 7 14
0.1111(2) 0.1171875 0.234375 0.46875 0.9375 1.875 3.75 7.5 15
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Por ejemplo que pasaría si en nuestra computadora
de 4 cifras como describimos en los párrafos
anteriores se realiza la operación (1/10 1/5)
1/6? . Supongamos además que nuestra computadora
redondea todos los números reales al número
binario más próximo de los que dispone.
La computadora debe decidir ahora cómo almacenar
el número 1.00111(2) x 2-2 . Supongamos que se
redondea como 0.1010(2) x 2-1 . El paso siguiente
es
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Ahora la computadora decide como almacenar el
número 0.11111(2) x 2-1. Puesto que suponemos que
redondea, almacena 0.1000(2) x 20 . Por lo tanto,
la solución a nuestro problema original es
El error en el cálculo efectuado por la
computadora es
Equivalente a un error del 7 aproximadamente
!!...
(1/10 1/5) 1/6 ? 1/10 (1/5 1/6) .
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Utilizando polinomios de Taylor analice el valor
de exp(x) en funcion del numero de términos
retenidos en la serie
exp(1)
(6 cifras significativas)
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Ejemplo ERROR DE REDONDEO
x2 62.10 x 1 0
Raíces aproximadas (7 cifras significativas) x1
-0.01610723 , x2 -62.08390
Soluciones
Usando aritmética de 4 cifras (para forzar el
error)
Calculamos x1 y x2
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Ejemplo ERROR DE TRUNCAMIENTO
Considere la serie de Taylor para el seno(x)
Para pequeños valores de x, solo un reducido
numero de términos es necesario para obtener un
buena solución.
Valor verdadero Valor suma Error de
truncamiento
El valor del Error de truncamiento depende de x y
del número de términos incluidos en Valor suma
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En el caso de utilizar 5 términos siempre
Se puede demostrar que para cualquier serie
alternante convergente el error de truncamiento
es menor que el primer término despreciado
Nótese que valores de x mayores a 0.5 aprox. el
error aumenta rápidamente cuando x tiende a 1. El
error máximo es de 3.54e-06, lo cual esta en
acuerdo con el error de truncamiento expresado
anteriormente.
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Si usamos 15 términos
El error por redondeo está controlando el
comportamiento. Nótese de todas formas se logra
todavía un resultado aceptable en el valor de la
serie
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Error de truncamiento
Potencia .vs. factorial
sin(pi/6)
potencia (x13pi/6)
sin(13pi/6)
potencia (xpi/6)
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(No Transcript)
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TRES IMPORTANTES CONSTANTES EN LA COMPUTADORA
Estos tres valores definen el rango de números
disponibles y la precisión de nuestra computadora
realmax máximo número (normalizado) ? 21024 ?
1.8E308
realmin minimo número (normalizado) ? 2-1022 ?
2.2E-308
? valor positivo mas pequeño de forma tal que
sumado a 1 se obtenga como resultado un valor
mayor que 1
eps ? 0.00..12 x 20 2-52 ? 2.2E-16
número de dígitos binarios - log2(eps) 52
número de dígitos decimales - log10(eps) ?
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PROGRAM MACHINE_EPSILON IMPLICIT NONE REAL 8
machEps 1, tmp 1 PRINT , "currEp, 1
currEp" DO PRINT , machEps, tmp
machEps IF (tmp machEps 1.0) EXIT
machEps machEps/2.0 END DO machEps
machEps2 PRINT PRINT , "Calculated Machine
epsilon ", machEps ! Verify our calculation via
the intrinsic F95 function EPSILON() PRINT ,
"EPSILON(x) ", EPSILON(machEps) END PROGRAM
MACHINE_EPSILON
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TRES ERRORES DE REDONDEO CRÍTICOS
Cancelación
sustracción de dos números casi iguales
Underflow
resultado más pequeño que realmin
Overflow
resultado más grande que realmax
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constantes de la computadora errores de redondeo
críticos
Algunos datos

• 25 de Febrero 1991. Falla en el sistema de
  defensa Patriot (Irak) Reporte GAO/IMTEC-92-26.
  Problema de software razón acumulación de errores
  de redondeo.
• (www.math.psu.edu/dna/455.f97/notes.html)
• 4 de Junio 1996. El cohete Ariane se auto
  destruye la corto tiempo del despegue. Causa del
  desastre un error de overflow. (www.rpi.edu/holme
  s/NumComp/Misc/siam.ariane.html)
• 1997 un error de redondeo es descubierto en los
  procesadores Pentium-II. Problema no solo de
  imagen de la empresa (INTEL) sino el costo del
  reemplazo de un gran numero de procesadores
  defectuosos. (x86.ddj.com/secrets/dan0441.htm)

Errores
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Ejemplo ERROR DE TRUNCAMIENTO
Compare el resultado exacto (provisto por la
función de librería) de
0.544987104184
con el que se obtiene al integrar los primeros
términos de la serie asociada al integrando.
Problema para el laboratorio Escriba un programa
que le permita calcular el valor del coseno
aproximándolo por su desarrollo en polinomios de
Taylor alrededor de cero en orden creciente desde
1 hasta 4. Realice los cálculos para valores
cercanos a 0, ?/2 y ?/4.
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Ejemplo ERROR DE REDONDEO
Resolver la ecuación cuadrática
x2 62.10 x 1 0
Raíces aproximadas (7 cifras significativas) x1
-0.01610723 , x2 -62.08390
Problema para el laboratorio Escriba un programa
para sumar 0.00001 diez mil veces a la unidad
usando simple precisión. Compare el resultado con
el que se obtiene si implementa una estrategia de
agrupamiento o si lo resuelve utilizando doble
precisión.