Diapositiva 1

1
Números primos y Benford generalizado
Bartolo Luque Lucas Lacasa ETSI
Aeronáuticos Dpto. Matemática Aplicada y
Estadística Universidad Politécnica de
Madrid Octavio Miramontes Instituto de
Física UNAM
Madrid 23 de Febrero de 2006
2
Números primos
"primo" "de base"
No parece que haya una regla que parezca gobernar
la sucesión de los números primos.
Para comprobar si un número x es primo, basta con
probar que ningún número y menor o igual a vx es
divisor de x.
God may not play dice with the universe, but
something strange is going on with the prime
numbers. Paul Erdös
3
It is evident that the primes are randomly
distributed but, unfortunately we don't know
what 'random' means. R.C. Vaughan
4
The Counting Prime Function
5
La distribución de números primos parece ser
aleatoria. Por ejemplo, hay probablemente
infinitos primos gemelos y existen gaps
arbitrariamente largos entre primos.
6
Sin embargo, la función p(x) exhibe un
sorprendente "buen comportamiento".
7
"For me, the smoothness with which this curve
climbs is one of the most astonishing facts in
mathematics." Don Zagier, "The first 50 million
primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977)
1-19
8
Si contamos el número de enteros pares inferiores
a n, tenemos que hay exactamente n/2 si n es
par y (n1)/2 si n es impar De modo que cuando
n tiende a infinito la densidad de números pares
tiende a 1/2. Decimos entonces que los números
pares tienen una densidad límite igual a 1/2.
Exactamente los mismo pasa para los impares. Y
los múltiplos de 3 tienen densidad límite 1/3.
Los números no múltiplos de 3 tienen densidad
límite 2/3. Y en general los múltiplos de r gt 0
tendrán densidad límite 1/r y los no múltiplos
de r (1 - 1/r).
9
Dificultades de la densidad límite
(1) Un conjunto dado de números no tiene por qué
tener siempre una densidad límite. Consideremos
como ejemplo el conjunto D 1, 4,5,6,7,
16,17,18,...,31, 64,65,... obtenido
reagrupando todos los enteros m comprendidos
entre 22N (incluido) y 22N1 (excluido) para N
0, 1, 2, 3, ... Están incluidos 20, 21) 22,
23) 24, 25) 26, 27)... Están excluidos (21,
22 (23, 24 (25, 26... La densidad de los
elementos de D inferiores a un número m será
10
Dificultades de la densidad límite
Pero esta densidad no posee límite para m 22N
es 3/8 y para m 22N1 es 5/8. Oscila
continuamente...
11
Otra aparente dificultad es que ciertos conjuntos
puedan tener densidad límite nula. No se trata de
una paradoja y es fácil encontrar ejemplos sean
los cuadrados 0, 1, 4, 9, 16, ... , n2. El
número de cuadrados inferiores a un número m es
exactamente el número de enteros inferiores a
vm, número que es inferior a vm 1. La densidad
de cuadrados es inferior entonces a (vm 1)/m
que tiende a cero cuando m tiende a
infinito. Decimos que un conjunto infinito que
tiene una densidad límite nula es un conjunto que
se rarifica. Y es el caso de la densidad de los
números primos. Se trata de un conjunto que
aunque es infinito se hace cada vez más y más
tenue, y su densidad límite se hace nula.
12
Teorema de rarefacción de Legendre
El conjunto de los números primos admite una
densidad límite nula.
13
Teorema de rarefacción de Hadamard-Poussin
Existe una función simple f(x) tal que
Los dos teoremas de rarefacción anteriores nos
dicen que si existe una función tal, tendrá que
cumplir que f(x)/x tiene límite cero cuando x
tiende a infinito y la suma de las inversas de
f(x) será infinita.
14
C.F. Gauss was the first to note, towards the
middle of the19th century, a certain regularity
in the series, in that the average distance
between consecutive primes is about Ln(n) 1.
1 D. Zagier, The first 50 million prime
numbers, Math. Intell. (1977) 719.
In 1963 Ulam found that when arranging the
integers in a grid, the primes form a spiral 2.
2 M.L. Stein, S.M. Ulam, M.B. Wells, A visual
display of some properties of the distribution of
primes, Am. Math. Mon. 71 (1964) 516520.
15
A la edad de 15 años Gauss, observando los
valores de tablas de primos, propuso que
alrededor de un número x la proporción de primos
era aproximadamente 1/Ln x. Que la densidad de
los números primos cercanos a x es alrededor de
1/Ln x. O sea que tomando un número alrededor de
x la probabilidad de que sea primo es 1/Ln
x. Por ejemplo, alrededor del número 1000 habrá
1/ Ln 1000 14,7 de números primos, alrededor
de 1000000 7,23 Esto condujo a Gauss a
proponer la función Li(x) como aproximación de
?(x).
16
Versión estadística de la distribución de números
primos
Sucesión de urnas con i bolas cada una.
De las i bolas i / Ln i bolas son negras y i -
i / Ln i bolas son rojas.
Posición de los primos
17
El teorema de los números primos
En 1896, de la Valee Poussin y Hadamard probaron
simultáneamente lo que se había sospechado
durante mucho tiempo, el teorema de los números
primos
El número de primos que no excede a x es
asintótico a x/log x. En otras palabras, la
probabilidad de que un número x escogido al azar
sea primo es 1/log x.
18
El teorema nos dice que x/log x es, hasta cierto
punto, una buena aproximación a p(x) . Al decir
que "a(x) es asintótico a b(x)" o "a(x) b(x)"
decimos que el límite de a(x)/b(x) es 1 cuando x
tiende a infinito. Pero, observemos que
a(x)  b(x) no significa que a(x) - b(x) sea
pequeño.
19
The logarithmic integral function Li(x)
Zagier en su artículo dice al respecto "within
the accuracy of our picture, the two coincide
exactly."
20
Li(x) no tiene primitiva analítica simple. Pero
podemos aproximar Li(x) por una función gracias a
un teorema de análisis que nos dice que dos
funciones para las cuales sus derivadas se
comportan de la misma manera en el infinito
implica que las funciones mismas se comportan
igual en el infinito. Busquemos entonces una
función cuya derivada se comporte en el infinito
como la derivada de Li(x) que es de hecho 1/Ln x.
Por ejemplo x/Lnx ya que su derivada es 1/Lnx
- 1/Ln2x se comporta como 1/Lnx en el infinito.
21
Supongamos que la densidad de primos f(x) va como
Su derivada es
Luego no funciona bien..... Sin embargo si
tomamos como densidad
22
Esta función actúa como x/Lnx
porque su derivada se comporta como 1/Ln x.
23
Supongamos
24
Tchebychev
25
Sea L la llamada constante de Liouville-Erdös.
Puede demostrarse que todo primo es
26
B. Riemann
Ueber die Anzahl der Primzahlem unter einter
gegebenen Grösse (1859)
27
La función de Riemann R(x)
Los números de Möbius se definen como cero
cuando n es divisible por un cuadrado y como
(-1)k en caso contrario. Donde k es el número de
distintos factores primos de n.
28
Recordemos que p(x) no es una función escalonada.
Sin embargo la función Riemann R(x) es una
aproximación suave. Podemos interpretar a R(x)
como una densidad media de los números primos. E
interpretar entonces a la diferencia R(x) - p(x)
como fluctuaciones locales.
29
Are Prime Numbers Regularly Ordered? Z. Gamba, J.
Hernando and L. Romanelli Physics Letters A 145,
no. 2,3 (2 April 1990), 106-108.
Consideran R(x) - p(x) como una "señal" y
calculan sus exponentes de Lyapunov para decidir
si el "mecanismo" que la crea es caótico o no.
Los autores concluyen "...a regular pattern
describing the prime number distribution cannot
be found. Also, from a physical point of view,
we can say that any physical system whose
dynamics is unknown but isomorphic to the prime
number distribution has a chaotic behaviour."
30
La función zeta ?(s)
Euler la llamó función zeta en 1737. Consideró
que s era un real mayor que 1.
31
Repitamos la operación para el siguiente primo 3.
32
Producto de Euler para la función zeta.
33
La función zeta ?(s) de Riemann
Bernhard Riemann hacia 1859 generalizó la función
zeta a números s x iy complejos. Aquí vemos
una representación gráfica del módulo de la
función z de Riemman ? (s). Obsérvese el polo
en s 1.
34
Aquí vemos una representación gráfica del módulo
de la inversa de la función z de Riemman 1/?
(s). De este modo podemos ver fácilmente los
ceros de la función z como polos. Los ceros
parece que vayan paralelos y cercanos al eje
imaginario.
35
Hipótesis de Riemann
Los pares negativos (-2, -4, -6, etc.) son ceros
de la función zeta, los llamados ceros triviales.
La hipótesis de Riemman afirma que todos los
demás ceros, llamados no triviales, tienen parte
real igual a ½. Es decir, que son de la forma ½
iy.
Grafica de y frente al módulo
36
Los 10.000 primeros millones de ceros de la
función zeta están en la línea crítica ½ (Mayo
2002).
37
La función zeta de Riemman está profundamente
conectada con la distribución de los números
primos. Helge von Koch probó en 1901 que la
hipótesis de Riemann es equivalente a
La distribución de ceros no triviales de la
función zeta de Riemann sobre la línea crítica
es "la dual" de la distribución de los números
primos.
38
El teorema de los números primos (II)
De forma más precisa, el teorema de los números
primos dice que
para alguna constante positiva a y
El error está de hecho íntimamente conectado con
la hipótesis de Riemann.
39
La distribución de ceros no triviales de la
función zeta de Riemann sobre la línea crítica
es "la dual" de la distribución de los números
primos.
La función zeta de Riemman está profundamente
conectada con la distribución de los números
primos. Helge von Koch probó en 1901 que la
hipótesis de Riemann es equivalente a
En otras palabras la hipótesis de Riemann nos
dice que Li(x) es una buena aproximación.
40
(No Transcript)
41
(No Transcript)
42
Marek Wolf
"... upon looking at prime numbers one has the
feeling of being in the presence of one of the
inexplicable secrets of creation." D.Zagier in
Math. Intellig. 0 (1977), p.8, left column
43
Unexpected Regularities in the Distributionof
Prime Numbers Marek Wolf, 1996
In this paper we are going to look for the
statistical properties of the distribution of
gaps between consecutive primes pn, pn1
(statistics of nearestneighbour spacings).
44
(No Transcript)
45
Para determinar los valores de B1(N) y A1(N)
utiliza dos condiciones autoconsistentes
total de gaps
46
(No Transcript)
47
Los puntos oscilan alrededor del ajuste por
mínimos cuadrados. El periodo es exactamente 6,
más otros periodos más largos y mucho menos
significativos.
Para capturar estas oscilaciones conjetura
Sugerido por la conjetura n-tupla de Hardy y
Littlewood.
48
Observemos que los primos no deben necesariamente
que ser consecutivos.
49
(No Transcript)
50
(No Transcript)
51
Lamentablemente se ve incapaz de encontrar los
valores para B2(N) y A2(N) por auto-consistencia
como en el caso anterior.
Como esto parece variar poco, de hecho entre 1 y
3.2 para sus datos, es decir es de orden 1,
sugiere que tomemos los mismos valores que antes
pero con diferente constante c.
52
??
A2(N)
B2(N)
Sustituimos el producto por su valor medio para
poder realizar los dos sumatorios.
53
Asumiendo la conjetura de los números gemelos de
Hardy-Littlewood
54
(No Transcript)
55
G(N) Fijado N la longitud del gap más largo.
56
Conjetura de Cramer
57
(No Transcript)
58
(1) High-jumpers or champions (2) Twins and
Cousins
La conjetura de los números primos gemelos hay
infinitos números primos gemelos (a distancia
2). Numéricamente parece que
A veces mayor que 1 y otras menor. Luego la
diferencia cambia de signo, y a la fuerza
tienen que valer lo mismo en algún momento.
59
0, donde p(z) son los primos donde
ocurre.
Computa hasta N 243 los 2.823.290 de primos
p(z). Y la distribución DN(?z) donde ?z es la
distancia entre primos p(z) lt N consecutivos.
Dependencia exponencial
Dependencia potencial organización jerárquica
autosimilar.
Sin dependencia con N...
60
(No Transcript)
61
(No Transcript)
62
(No Transcript)
63
Distances between consecutive prime numbers
(indexed sequentially) and their increments.
64
(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
73
Prime Random Walks (PRW)
Puesto que los gemelos y los "primos" parecen
aparecer al azar y con la misma frecuencia, los
podemos utilizar para generar un RW Comenzando
desde 1, 2, 3, 4, ... (1) Si encontramos un par
de primos gemelos, nuestro RW hace 1. (2) Si
encontramos un par de primos "primos", nuestro RW
hace -1.
Desplazamiento del RW después de N pasos.
74
(No Transcript)
75
(No Transcript)
76
(No Transcript)
77
Esto es no correlación. Dice que alfa es cercano
a 0.5.
78
(No Transcript)
79
(No Transcript)
80
Ley de Benford o del primer dígito
Las barras negras representan las frecuencias de
aparición como primer dígito significativo de los
números 1 a 9 en una lista de N 201 constantes
físicas. La línea roja continua representa la ley
de Benford.
81
En barras blancas aparecen las frecuencias de
aparición como primer dígito de los números 1 a 9
en N 1.295.777 ficheros. En barras negras se
muestran las frecuencias predichas por la ley de
Benford.
82
Ley de Benford
83
Simon Newcomb, 1835-1909.
Note on the frequency of use of the different
digits in natural numbers. Amer. J. Math. 4
(1881) 39-40.
84
Frank Benford
The law of anomalous numbers, Proc. Am. Philos.
Soc. 78 (1938) 551-538.
Taking data from several disparate sources, the
table below shows the distribution of first
digits as compiled by Benford (1938) in his
original paper.
85
The
86
(No Transcript)
87
Las barras representan las frecuencias de
aparición como primer dígito de los números 10 a
99 en los N 1.295.777 ficheros medidos. La
línea continua representa la ley de Benford
generalizada para dos dígitos.
88
The precise form of Benford's law can be
explained if one assumes that the logarithms of
the numbers are uniformly distributed this means
that a number is for instance just as likely to
be between 100 and 1000 (logarithm between 2 and
3) as it is between 10,000 and 100,000 (logarithm
between 4 and 5). For many sets of numbers,
especially ones that grow exponentiallyFor more,
click on this link such as incomes and stock
prices, this is a reasonable assumption.
89
Invarianza de escala
90
Another explanation is that if a distribution of
first digits exists, it should be scale
invariant. For example the first (non-zero) digit
of the length The linear extent in space from one
end to the other the longest horizontal
dimension of something that is fixed in places or
distance The property created by the space
between two objects or points s of objects should
have the same distribution whether the unit of
measurement is planck lengthFor more, click on
this links, inch A unit of length equal to one
twelfth of a foot es, feet, yard The enclosed
land around a house or other buildings,
metre (prosody) the accent in a metrical foot of
verse , mile A unit of length equal to 1760
yards , light year The distance that light
travels in a vacuum in 1 year 5.88 trillion
miles or 9.46 trillion kilometers , or anything
else. But, for example, there are three feet in a
yard, so the probability that the first digit of
a length (e.g. in yards) is 1 must be the same as
the probability that the first digit of a length
(e.g. in feet) starts 3, 4, 5, 6, 7, or 8.
Applying this to all possible measurement scales
gives a logarithmic distribution, and combined
with the fact that log10(1)0 and log10(10)1
gives Benford's law. That is, if there is a
distribution of first digits, it must apply to a
set of data regardless of what measuring units
are used, and the only distribution of first
digits that fits that is the Benford Law.
91
(No Transcript)
92
Invarianza de base
Theodore Hill
Invarianza de escala
Invarianza de base
No toda lista de números que cumple la Ley de
Benford proviene de una distribución invariante
de escala. Pero seguro que es invariante de base.
93
The demonstration of Benfords Law (and also for
the distribution of the second digit) was done in
1996 by Professor Theodore Hill (School of
Mathematics, Center for Applied Probability,
Georgia Institute of Technology) in his article
A Statistical Derivation of the
Significant-Digit law.
94
if one repeatedly "randomly" chooses a
probability distribution In mathematics, a
probability distribution assigns to every
interval of the real numbers a probability, so
that the probability axioms are satisfied.... and
then randomly chooses a number according to that
distribution, the resulting list of numbers will
obey Benford's law.
95
Procesos multiplicativos
96
(No Transcript)
97
L. Pietronero, E. Tossati, V. Tossati and A.
Vespignani. Explaining the uneven distribution
of numbers in nature the laws of Benford and
Zipf. Physica A 293 (2001) 297-304.
98
(No Transcript)
99
DISCUSSION ON BENFORDS LAW AND ITS
APPLICATION LI ZHIPENG, CONG LIN AND WANG HUAJIA,
Oct 2004
3.3.2 The Prime-number Series The prime number
series is rather uniform below 100000, with the
probability of each possible first significant
digit being between 12.5 and 10.4. Moreover,
using the upper and lower bounds of function pi
from the prime number theorem, it can be shown
that the prime number sequence approximates a
uniform distribution.
100
Si los números primos están distribuidos "al
azar", entonces para un número suficientemente
grande de ellos, la distribución de sus primeros
dígitos significativos (1,2,39) debería ser
igual a 100/9 11,1111111111.
101
(No Transcript)
102
Existe alguna suerte de misteriosa dinámica bajo
la distribución de los números primos? Es la
"forma" familiar de la secuencia de primos el
resultado de algún tipo de dinámica o proceso
evolutivo? I. V. Volovich
Versión estadística de la distribución de
números primos? dinámica
103
Normalicemos P(d)
104
(No Transcript)
105
Estamos trabajando en el intervalo 1, 10D1),
es decir en D 1 décadas. Normalicemos ahora
la función densidad de probabilidad de primos
De modo que la función densidad de primos es
Comprobemos que esta densidad nos da directamente
una ley de Benford generalizada normalizada
106
(No Transcript)
107
Estamos trabajando en el intervalo 1, 10D1),
es decir en D 1 décadas. Supongamos que la
función es
De modo que la función densidad de primos es
Comprobemos que esta densidad nos da directamente
una ley de Benford generalizada normalizada
108
(No Transcript)
109
Qué significa esta densidad de probabilidad?
que un número x tomado del intervalo aparecerá
con probabilidad f(x) en mi lista de números que
cumple la ley de Benford generalizada. Si
recorriera el intervalo número a número y lanzara
un dado cargado con la anterior probabilidad
para determinar si el número es o no primo,
cuál sería el número medio de primos?
110
Si pasamos de décadas y hablamos de N, estamos
diciendo que
Tomando como dependencia para alfa
111
Ecuación auto-consistente
Supongamos
112
Ecuación auto-consistente
113
(No Transcript)
114
Ecuación auto-consistente
Supongamos
115
(No Transcript)
116
Pierre Dusart Dusart99 demostró que si x gt 598
entonces
(The upper bound holds for all x gt 1.) This
gives a tight bound for larger x. Note x/log x lt
pi(x) for x gt 10.
P. Dusart, "The kth prime is greater than k(ln
kln ln k-1) for kgt 2," Math. Comp., 68225
(January 1999) 411--415.  MR 99d11133 (Abstract
available)
117
(No Transcript)
118
(No Transcript)
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(No Transcript)
120
(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
125
La función zeta ?(z)
Euler la llamó función zeta en 1737. Consideró
que z era un real mayor que 1.
126
Repitamos la operación para el siguiente primo 3.
127
Producto de Euler para la función zeta.
128
La función zeta ?(s) de Riemann
Bernhard Riemann hacia 1859 generalizó la función
zeta a números s x iy complejos. Aquí vemos
una representación gráfica del módulo de la
función z de Riemman ? (s). Obsérvese el polo
en s 1.
129
Aquí vemos una representación gráfica del módulo
de la inversa de la función z de Riemman 1/?
(s). De este modo podemos ver fácilmente los
ceros de la función z como polos. Los ceros
parece que vayan paralelos y cercanos al eje
imaginario.
130
Hipótesis de Riemann
Los pares negativos (-2, -4, -6, etc.) son ceros
de la función zeta, los llamados ceros triviales.
La hipótesis de Riemman afirma que todos los
demás ceros, llamados no triviales, tienen parte
real igual a ½. Es decir, que son de la forma ½
iy.
Grafica de y frente al módulo
131
Los 10.000 primeros millones de ceros de la
función zeta están en la línea crítica ½ (Mayo
2002).
132
(No Transcript)
133
(No Transcript)
134
Normalicemos P(d)
135
(No Transcript)
136
Estamos trabajando en el intervalo 1, 10D1),
es decir en D 1 décadas. Normalicemos ahora
la función densidad de probabilidad de ceros
De modo que la función densidad de ceros es
Como antes esta densidad nos da directamente una
ley de Benford generalizada normalizada.
137
(No Transcript)
138
Si pasamos de décadas y hablamos de N, estamos
diciendo que
Tomando como dependencia para alfa
139
(No Transcript)