Diapositiva 1

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LA ARMONIA EN LA NATURALEZA EL NUMERO AUREO
La geometría tiene dos grandes tesoros uno es el
teorema de Pitágoras, y el otro el número áureo.
El primero puede compararse a una medida de oro,
y el segundo a una piedra preciosa. Kepler
2007
Jaime Bravo Febres
2
El número designado con letra griega ?
1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es
la inicial del nombre del escultor griego Fidias
que lo tuvo presente en sus obras.
Es el llamado número de oro (representado
habitualmente con la letra griega ?) o también
sección áurea, proporción áurea o razón áurea
3
La sección áurea y el número de oro
La sección áurea es la división armónica de un
segmento en media y extrema razón.
Es decir, que el segmento menor es al segmento
mayor, como este es a la totalidad.
Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en
él la división indicada anteriormente.
4
Una de las soluciones de esta ecuación (la
solución positiva) es
5
El rectángulo áureo
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio
de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los
vértices del lado opuesto y llevamos esa
distancia sobre el lado inicial, de esta manera
obtenemos el lado mayor del rectángulo
R
Q
o
A
B
C
6
Construcción del rectángulo áureo
Para realizar esta construcción, necesitaremos
regla y compás. Procederemos de la siguiente
manera
1. Construimos un cuadrado de lado 2a
2a
2a
7
2. Dividimos el cuadrado en dos rectángulos
iguales, y trazamos la diagonal del segundo
rectángulo
2a
a
a
Por el teorema de Pitágoras se tiene
8
3. marcamos dicha medida sobre la horizontal y se
tiene
B
C
2a
D
a
a
A
9
Como determinar cuando un rectángulo es áureo.
N
P
C
D
x
y
x
y
A
B
M
Como los triángulos rectángulos ABC y AMN son
semejantes resulta
10
ESPIRAL AUREA O ESPIRAL DE DURERO

Si tomamos un rectángulo aúreo (largo/ancho nº
de oro) y lo dividimos en dos partes de tal
forma que una de ellas sea un cuadrado de lado el
ancho del rectángulo, la otra parte es otro
rectángulo aúreo. Podemos repetir esta operación
de forma indefinida, logrando una espiral como
muestra el dibujo
11
Otra espíral gnómica basada en el número áureo es
la que se construye tomando como base un
triángulo isósceles cuyo ángulo menor mide 36. A
partir de cada triángulo se construye otro
triángulo isósceles cuyo lado menor coincide con
el mayor del triángulo anterior.
Los cocientes entre el lado mayor y el lado menor
de cada triángulo tiende hacia el número de oro.
La espiral se construye uniendo mediante arcos de
circunferencia los vértices consecutivos de estos
triángulos.
Espiral de Durero
El resultado es otra similar cuya pulsación, el
factor de crecimiento es el número áureo.
12
EN LA NATURALEZA
La espiral (El número de oro) está en los
moluscos como el NAUTILIUS,
13
En el huevo de las aves se encontrado también
relaciones del numero áureo.
14
Está también en todos los animales, plantas y
objetos pentagonales flores, estrellas de mar,
etc
EN EL GIRASOL
EN LAS FLORES
15
En las aves
 
En las hormigas
16
En las Plantas
En las flores
17
Galaxias del Universo
18
Galaxias Lenticulares
19
En el Tsunami de Asia 2003??
20
EN LA ECONOMIA
Su carnet de identidad es un rectángulo áureo, y
por tanto las tarjetas de crédito, y en gran
parte de las tarjetas que utilizamos así como el
frente de casi todas las cajetillas de tabaco.
21
a
b
En los objetos caseros
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EN EL SER HUMANO
EL PRIMERO EN ESTUDIAR LA RELACION DEL NUMERO
AUREO EN EL HOMBRE FUE LEONARDO DA VINCI
LEONARDO DA VINCI
LUCA PACIOLI
LUCA PACIOLI A LA PROPORCION AUREA LA DENOMINO
PROPORCION DIVINA POR SUS PROPIEDADES.
23
LEONARDO DA VINCI ENCONTRO EL NUMERO AUREO EN
RELACIONES CORPORALES DEL SER HUMANO.
VITRUBIO
24
Este sería a juicio de un artista el rostro más
perfecto de mujer
25
En la mano humana, la distancia entre las
falanges están en razón áurea.
Es áurea la relación entre la distancia entre los
ojos y el ancho de los mismos.
Cuando los dientes no están juntos, la linea de
los labios divide la parte inferior del rostro
según la proporción áurea.
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Un detalle curioso conocido por los clásicos es
que la distancia del ombligo al suelo es
justamente la razón áurea de su altura.
27
Para verificar las medidas antropométricas en el
ser humano podemos llenar la tabla siguiente,
recordando que dos razones geométricas de igual
valor pueden dar origen a una proporción
geométrica.
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Si tomamos un rectángulo aúreo (largo/ancho nº
de oro) y lo dividimos en dos partes de tal
forma que una de ellas sea un cuadrado de lado el
ancho del rectángulo, la otra parte es otro
rectángulo aúreo.
Podemos repetir esta operación de forma
indefinida, logrando una espiral como muestra el
dibujo
Esta espiral se encuentra en un gran nº de
moluscos como el Nautilus de la foto.
El número de oro está también en todos los
animales, plantas y objetos pentagonales flores,
estrellas de mar, etc
29
EN EL ARTE
LA GIOCONDA LEONARDO DA VINCI
LA SAGRADA FAMILIA MIGUEL ANGEL
30
Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos
de tradición matemática y simbólica,
especialmente pitagórica. Se trata de una
filigrana basada en la proporción áurea, pero
elaborada de tal forma que no es evidente para el
espectador. En el boceto de 1947 se advierte la
meticulosidad del análisis geométrico realizado
por Dalí basado en el pentagrama místico
pitagórico.
31
(No Transcript)
32
LEDA
ATOMICA
33
Existen relaciones basadas en la sección áurea en
algunas de las más célebres esculturas griegas
como el Hermes de Praxíteles (390-330 a. C.)
34
Aparece en la Venus de Milo.
Venus de Milo Museo del Louvre, París
35
EN LA ARQUITECTURA
Desde tiempos muy remotos el hombre ha realizado
bellas y armoniosas construcciones teniendo en
cuenta la proporción áurea
EL PARTENON GRIEGO
36
Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un
pentágono regular y el lado de dicho pentágono es
el número áureo. En un pentágono regular está
basada la construcción de la Tumba Rupestre de
Mira en Asia Menor.
Tumba Rupestre de Mira
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Hay un precedente a la cultura griega donde
también apareció el número de oro. En La Gran
Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de
uno de los tres triángulos que forman la pirámide
y el lado es
38
Herodoto relata que los sacerdotes egipcios le
habian enseñado que las proporciones establecidas
en la Gran Pirámide eran tales que
El cuadrado de la altura de la piramide es igual
al área de cada una de las caras triangulares.
Es decir ( 1 )
Por el teorema de Pitágoras en el triángulo POM
Sustituyendo por su valor en ( 1 ) y
dividiendo por se tiene
Tenemos la ecuación del numero Áureo
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Pitágoras y el número de oro
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y
matemático griego, nació en la isla de Samos.
Fue instruido en las enseñanzas de los primeros
filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y
Anaxímenes.
Se dice que Pitágoras había sido condenado a
exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía
de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en
Crotona, una colonia griega al sur de Italia,
donde fundó un movimiento con propósitos
religiosos, políticos y filosóficos, conocido
como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se
conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.
40
La estrella pentagonal o pentágono estrellado
era, según la tradición, el símbolo de los
seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban
que el mundo estaba configurado según un orden
numérico, donde sólo tenían cabida los números
fraccionarios. La casualidad hizo que en su
propio símbolo se encontrara un número raro el
numero de oro.
Así La relación entre la diagonal del pentágono y
su lado es el número de oro.
También podemos comprobar que los segmentos QN,
NP y QP, que se hallan en la estrella pentagonal
están en proporción áurea. 
41
A
Considerando el lado del pentágono regular la
unidad, (AG 1), se tiene
F
N
G
M
MF NG 1 MG ?
De donde se tiene
Cuya raíz positiva es
42
Qué pudo hacer que los pitagóricos sintieran
tanta admiración por el número áureo ?.
Casi con toda seguridad, para la escuela
pitagórica la consideración del irracional ,
de cuya existencia tuvieron conciencia antes que,
tuvo que causar una profunda reflexión
en las teorías de la secta.
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Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que
estudiaron antes los griegos y romanos, las
plasmó en el dibujo que Leonardo da Vinci, hizo
para ilustrar el libro La Divina Proporción de
Luca Paccioli, editado en 1509.
Leonardo da Vinci
"Huye de esos estudios cuyo resultado muere con
el que los hace. Luca Paccioli
44
Estirando manos y pies y haciendo centro en el
ombligo se dibuja la circunferencia.
El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo
que coincide en un cuerpo armonioso, con la
longitud entre los extremos de los dedos de ambas
manos cuando los brazos están extendidos y
formando un ángulo de90º con el tronco.
b
a
Resulta que el cociente entre la altura del
hombre (lado del cuadrado) y la distancia del
ombligo a la punta de la mano (radio de la
circunferencia) es el número áureo
Es decir
Vitrubio
45
El NUMERO DE ORO EN LA MEDICINA
Conocemos desde la antiguedad la ubicación exacta
de los puntos energéticos (Xue) utilizados en
Medicina Tradicional China para el tratamiento de
las enfermedades del hombre a través de la
acupuntura.
Conocemos también los efectos de cada uno de
ellos y sabemos cómo utilizarlos Pero, porqué
los puntos tiene la ubicación que tienen ? A qué
ley o regla obedece la uniformidad en la
distribución? Y también, porqué esa ubicación es
invariablemente la misma en cada ser humano?
Así, la ubicación de los puntos chinos de acción
energética específica responde a la ley
geométrica y aritmética conocida, desde la
antiguedad clásica, como
"sección áurea" (según leonardo Da Vinci),
"sección divina"(según Kepler) o "divina
proporción"(según Luca Pacioli) y cuyo valor
numérico, denominado "Número de oro.
46
En el caso que nos ocupa, diremos que el rostro
humano visto de frente, puede encuadrarse en el
interior de un rectángulo ABCD.
Dr. Marcelo MannetiMédico Acupunturista
47
La sucesión de Fibonacci y el número áureo.  
La serie de Fibonacci proviene de considerar la
serie que se forma mediante (comenzando la serie
por 1, se tiene)
1, 1 0 1, 1 1 2, 1 2 3, ... , 8 13
21, ....
Leonardo de Pisa
La serie de Fibonacci queda establecida mediante
la serie numérica siguiente
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
233, .....
Cada número es la suma de los dos números
anteriores
48
La sucesión formada por los cocientes de números
de Fibonacci consecutivos converge, rápidamente,
hacia el número áureo.  
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

• f 2 / f 1 1 / 1 1

• f 3 / f 2 2 / 1 2

Finalmente se tiene

• f 4 / f 3 3 / 2 1, 5

f 5 / f 4 5 / 3 1, 66 66 66...

• f 6 / f 5 8 / 5 1, 6

• f 7 / f 6 13 / 8 1, 62 5

f 8 / f 7 21 / 13 1, 61 53 84 61 ...
f 9 / f 8 34 / 21 1, 61 90 47 76 ...

• f 10 / f 9 55 / 34 1, 61 76 47 05 ...

49
Al dividir dos números consecutivos de la serie
de Fibonacci,
el resultado converge a 0,618 ó 1,618
13 / 21 0.619047619
21 / 34 0.617647058
34 / 55 0.618181818
Adviértase que, 1 / 0,618 1,618 1 / 1,618
0,618
21 / 13 1.615384615
34 / 21 1.619047619
55 / 34 1.617647059
50
La razón entre cada par de términos consecutivos
va oscilando por la izquierda y la derecha de la
razón áurea, y que conforme va avanzando la
sucesión se va acercando más a este valor. 1, 1,
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
1.5
1.6
2
1.615..
1.625..
1.66..
1
1.618.
51
(No Transcript)
52

• Esta sucesión de números aparece en la Naturaleza
  en formas curiosas. Cualquier variedad de piña
  presenta siempre un número de espirales que
  coincide con dos términos de la sucesión de los
  conejos de Fibonacci, 8 y 13 ó 5 y 8.

53
Verdes 5, Naranjas 8
Verdes 8, Rojas 13
54
Otra espiral de Fibonacci
55
LA SERIE DE FIBONACCI EN LA ECONOMÍA
La experiencia ha demostrado con rotundidad que
en la práctica las medias móviles funcionan mejor
cuando los periodos de tiempo elegidos para el
cálculo de las medias móviles son números de la
Serie de Fibonacci. Estos números de Fibonacci se
ajustan bastante bien a periodos y ciclos
bursátiles.
Elliott escribió un libro llamado "Las leyes de
la naturaleza" donde se refiere específicamente a
la serié numérica de Fibonacci como la base
matemática para el principio de lo que conocemos
como la teoría de las "Ondas de Elliott".
Esta teoría analiza el comportamiento de los
mercados, pudiendo predecir los movimientos en
ciclos de largo, mediano y corto plazo. Libro de
alberto moreno-internetwww.finanzas.com
56
LA SERIE DE FIBONACCI Y LA BOLSA
Se puede observar las siguientes reglas se que
cumplen siempre en esta serie
La proporción que hay entre cada numero (n) y el
siguiente (n1) es siempre del 61,80.
1.
2.
La proporción que hay entre cada numero (n) y uno
más del siguiente (n2) en la serie es siempre
del 38.19.
Una de las aplicaciones prácticas de la serie es
el análisis de las correc-ciones técnicas de la
bolsa. Cuando los mercados están en tendencia
alcista o bajista, se ha podido comprobar que las
correcciones general-mente coinciden en
porcentaje con las proporciones de Fibonacci.
Cuando un mercado ha empezado a corregir después
de una tendencia claramente alcista o bajista, se
pueden establecer objetivos de corrección del 38
o del 62 del movimiento. Esta aplicación es de
especial interés a la hora de aplicar la teoría
de Elliott. Son las llamadas lineas de Fibonacci,
que suelen representar lineas de soporte o
resistencia.
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Las Lineas de Fibonacci son muy similares a las
lineas de velocidad. Para trazarlas solo tenemos
que seleccionar dos puntos significativos del
grupo, por ejemplo, desde el inicio del alza
hasta la primera parada, con un pequeño inicio de
caída. Desde éste segundo punto trazamos la
proyección hasta la altura del primer punto y
dividimos esta distancia en dos lineas
especiales siguiendo las proporciones en la
linea del 62 y la linea del 38.
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RECTÁNGULO ÁUREO CON CABRI

• Proporción Áurea AD/AB1,6180339.......(1
  raiz(5))/2
• Veamos como se hace el dibujo
• Se traza el segmento AB.
• Se traza dos perpendiculares al segmento AB, una
  que pase por A y otra por B.
• Con ayuda de la circunferencia de centro B y
  radio AB obtenemos el punto E.
• Trazando una paralela al segmento AB obtenemos el
  punto F.
• Señalamos el punto medio del segmento AF y
  tomándolo como centro se traza la circunferncia
  que pasa por el punto B obteniéndose en la
  prolongación de AF, el punto D.
• Trazando un paralela al segmento AB que pase por
  D se obtiene el punto C.

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(UN ALGORITMO CON Matlab)
Introduzca la definición de razón áurea
r(sqrt(5)-1)/2. Sus potencias verifican la
relación de recurrencia r(n1)r(n-1)-rn .
raurea(sqrt(5)-1)/2 rlinspace(0,0,100)
r(1)1r(2)raurea for n2100    
r(n1)r(n-1)-r(n) end fprintf(' n   rn
raurean\n'), fprintf(' _________________________
__\n'), for n110101     fprintf('3i,10.5f,
g\n',n,r(n),raurean) end
60
n      rn   
      raurean __________________________________
____ 1      1.00000,      0.618034 11    
0.00813,      0.005025 21     0.00007,     
4.08563e-05 31     0.00000,      3.32187e-07
41    -0.00000,      2.70089e-09 51   
-0.00000,      2.19599e-11 61    -0.00008,     
1.78548e-13 71    -0.01034,      1.4517e-15
81    -1.27202,      1.18032e-17 91   
-156.44857,    9.59676e-20 101   -19241.90183, 
7.80276e-22
61
ALGUNAS EXPRESIONES INFINITAS DEL NUMERO Fi
Sabemos que
De donde
Por lo que ?, lo obtenemos a través de la
expresión infinita
62
Otra expresion infinita de ? , es a través de
las Fracciones
y sustituyendo, en forma reiterada, ? por su
valor en esta ecuación tenemos
63
Poema al Número Áureo
Rafael Alberti A ti,
maravillosa disciplina, media, extrema razón de
la hermosura, que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina. A ti,
cárcel feliz de la retina, áurea sección,
celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina. A ti, mar de
los sueños, angulares, flor de las cinco formas
regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces
por alas un compás ardiente. Tu canto es una
esfera transparente. A ti, divina proporción de
oro.
64
Espero que nuestros nietos me estarán
agradecidos, no solamente por las cosas que he
explicado aquí, sino también por las que he
omitido intencionadamente a fin de dejarles el
placer de descubrirlas.
Descartes (Geometría)
65
Gracias, Hasta la vista
Jaime Bravo Febres
jbf3057_at_gmail.com
66

• Bibliografía
• El hombre que calculaba. Malba Taham. Ed. Popular
  1956
• El Número de Oro. Mariano J. Dominguez Muro. Ed.
  Narcea.
• Fibonacci and Lucas Numbers. Published by the
  Fibonacci Association, 1969. Houghton Mifflin.
• Historia de la Matemmática Carl Boyer. Ed.
  Alianza, Madrid.
• La composición Áurea en las artes plásticas.
  Pablo Tosto. Buenos Aires. Lib. Hachette, 1958.
• El Misterio de Orion (La proporción áurea y la
  gran pirámide). Abelardo Falleti. Bs Aires. Emece
  Editores. 1966.
• Los grandes Matemáticos. Bell. E. T. Ed. Lozada.
  1985
• A divina proporção Um Ensaio sobre a Beleza na
  Matemática", H. E. Huntley, Brasília-DF.Editora
  Universidade de Brasília em 1985
• El número de oro. Ghyka, M. (1983) Ed. Poseidón