EQUIVALENCE RELATION

1
EQUIVALENCE RELATION PARTIAL ORDER sub-bab 7.5,
7.6
2

• R A ? A
• Relasi Ekivalen (Equivalence Relation)
• Refleksif
• Simetrik
• Transitif
• Relasi Partial Order
• Refleksif
• Anti-simetrik
• Transitif

3
EQUIVALENCE RELATION RELASI EKIVALEN sub-bab 7.5
4

• Contoh soal 7.5 no. 2
• R A ? A A himpunan orang
• Yang mana merupakan relasi ekivalen
• Jika tidak merupakan relasi ekivalen, sebutkan
  alasannya
• (a, b) a and b have the same parents
• (a, b) a dan b berusia sama
• (a, b) a and b share a common parent
• (a, b) a dan b pernah berjumpa
• (a, b) a and b speak a common language

5

• Contoh soal 7.5 no. 2
• R A ? A A himpunan orang
• (a, b) a and b have the same parents

Misal pasangan orangtua AYAH IBU punya 3
anak x, y, z pasangan orangtua DAD MOM punya
2 anak m dan n pasangan orangtua PAPA MAMA
punya 2 anak p dan q R (x,x), (y,y), (z,z),
(x,y), (x,z), (y,x), (y,z), (z,x), (z,y),
(m,m), (n,n), (m,n), (n,m), (p,p), (q,q),
(p,q), (q,p)
6
Contoh soal 7.5 no. 2 R A ? A A
himpunan orang 2). (a, b) a dan b
berusia sama Refleksif ? Si A berusia sama
dengan si A (dirinya sendiri) Simetrik ? kalau
usia X usia Y, maka usia Y usia X Transitif
? usia P usia Q dan usia Q usia R maka
pasti usia P usia R
7

• Contoh soal 7.5 no. 2
• R A ? A A himpunan orang
• (a, b) a and b share a common parent

A1 I1 A B C
8

• Contoh soal 7.5 no. 2
• R A ? A A himpunan orang
• (a, b) a and b share a common parent

A1 I1 A B C I2 A1
I1 P A B C
9

• Contoh soal 7.5 no. 2
• R A ? A A himpunan orang
• (a, b) a and b share a common parent

A1 I1 A B C I2 A1
I1 P A B C I2 A1 I1
A2 P A X B Y C
10
Kelas-kelas Ekivalen (Equivalence Classes)
R A ? A Misalkan a ?A, dan misalkan (a,
b), (a, x), (a, y), (a, z), Maka b, x, y,
z disebut kelas ekivalen a dan ditulis aR
aR s (a, s)
? R b disebut wakil (representative) dari kelas
ini (demikian juga x, y, z)
11
Contoh soal 7.5 no. 2 R A ? A A himpunan
mahasiswa di kelas ini dimisalkan
usia berkisar antara 19 s/d. 22 tahun R (a,
b) a dan b berusia sama b berusia 19 tahun,
c berusia 20 tahun d berusia 21 tahun, e
berusia 22 tahun Maka bR adalah himpunan
semua mahasiswa di kelas ini
yang berusia 19 tahun
12

• Partisi (Partitions)
• Himpunan S, dengan sub-himpunan Ai (i ? 1, 2, ,
  n)
• Himpunan A1, A2, A3, ., An disebut partisi
  dari S
• dan harus memenuhi 3 kriteria berikut
• Ai ?
• Ai ? Aj
• A1 ? A2 ? A3 . ? An S
• R S ? S adalah relasi ekivalen, jika dan hanya
  jika kelas-kelas ekivalen R membentuk partisi
  dari S

13

• Contoh soal 7.5 no. 2
• R A ? A
• A himpunan mahasiswa di kelas ini berusia
  antara 19 s/d. 22 tahun
• R (a, b) a dan b berusia sama
• b berusia 19 tahun, c berusia 20 tahun
• d berusia 21 tahun, e berusia 22 tahun
• A ter-partisi menjadi 4 kelas ekivalen oleh
  relasi R
• A19 ? , A20 ? , A21 ? , A22 ?
• A19 ? A20 , A19 ? A21 , A19 ? Aj22
  , dst
• A19 ? A20 ? A21 ? A22 A

14
A19 refl, sim, trans
A20 refl, sim, trans
refl, sim, trans
A21 refl, sim, trans
A22 refl, sim, trans
15
PARTIAL ORDER sub-bab 7.6
16
R A ? A Relasi Partial Order
Refleksif Anti-simetrik Transitif
17
Contoh (lihat Example 3 halaman 516) The
inclusion relation ? is a partial ordering
on the power set of a set S. Hint
misalkan S 1, 2, 3 power set dari
S, ditulis P(S) , 1, 2, 3, 1,2,
1,3, 2,3,
1,2,3 ? P(S) ? P(S) anggap A, B, C adalah
anggota P(S) Refleksif, karena A ?
A Antisimetrik, karena (A ? B ? B ? A) ? A
B Transitif, karena (A ? B ? B ? C) ? A ?
C
18
Contoh (lihat Example 3 halaman 516) The
inclusion relation ? is a partial ordering
on the power set of a set S. S 1, 2,
3 dan ? P(S) ? P(S) power set dari S,
ditulis P(S) , 1, 2, 3, 1,2,
1,3, 2,3, 1,2,3
1 2 3 1, 2 1, 3
2, 3 1, 2, 3
1 2 3 1, 2 1, 3
2, 3 1, 2, 3