ejes y diseños de ejes

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Ejes y Diseño de Ejes.
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Introducción

• Un eje es un elemento de máquina generalmente
  rotatorio y a veces estacionario, que tiene
  sección normalmente circular de dimensiones
  menores a la longitud del mismo. Tiene montados
  sobre sí, elementos que transmiten energía o
  movimiento, tales como poleas (con correas o
  cadenas), engranajes, levas, volantes, etc.

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Procedimiento de Diseño de un Eje

• La geometría de un eje es tal que el diámetro
  generalmente será la variable que se use para
  satisfacer un diseño. Un procedimiento general
  para el cálculo y diseño de ejes se puede
  condensar en las siguientes etapas
• Desarrollar un diagrama de cuerpo libre.
• Se dibuja un diagrama de los momentos
  flexionantes en los planos x-y y x-z
• Se desarrolla un diagrama de los pares de torsión

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Procedimiento de Diseño de un Eje

• Seleccionar las secciones más conflictivas y de
  ellas los puntos más conflictivos.
• Evaluar el eje desde el punto de vista de rigidez
  estática
• Seleccionar el criterio o teoría de falla
  estática o dinámica en función del tipo de
  material (frágil o dúctil) y tipo de rotura
  estimada (fatiga, etc.)
• Calcular la velocidad critica del eje si este es
  giratorio

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Rigidez Estática

• La determinación de las dimensiones de un eje es
  un problema mucho mas simple cuando solo actúan
  cargas estáticas.
• Estas ecuaciones permiten determinar d

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Diseño para solicitación estática

• Discriminación de los esfuerzos normales y
  cortantes
• Dado el tipo de configuración de las
  solicitaciones se puede discriminar el siguiente
  estado tensional genérico debido a flexión,
  torsión y efecto axial
• Entonces según las expresiones de esfuerzos
  principales y los esfuerzos cortantes máximos y
  mínimos, según un estado plano de esfuerzos, se
  obtienen como

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• Ahora bien, según sea el criterio de rotura que
  se pretenda emplear se tendrán diferentes casos,
  los cuales se tratarán a continuación.
• Teoría de la Energía de Distorsión (Criterio de
  Von Mises-Hencky)
• Teoría del máximo esfuerzo cortante (Criterio de
  Coulomb-Tresca)

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Teoría de la Energía de Distorsión (Criterio de
Von Mises-Hencky)

• El criterio de máxima energía de distorsión
  establece que la falla se produce (en un material
  dúctil) cuando se cumple que
• El caso de poder desechar el esfuerzo axial, se
  puede obtener la conocida expresión
• Que tiene explicito el diámetro en función de
  las solicitaciones actuantes.

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Teoría de la máxima tensión de corte (Criterio de
Coulomb-Tresca)

• En este caso la falla se presentará si se cumple
  que
• Ahora como en el caso anterior, en ausencia de
  cargas axiales se puede explicitar el diámetro
  obteniendo

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Diseño para solicitación Dinámica

• Teoría de diseño a la fatiga para materiales
  dúctiles
• Para deducir una expresión de cálculo a la
  fatiga en ejes, se pueden contabilizar diferentes
  situaciones. La manera más simple es analizando
  el estado tensional tangencial sobre el plano
  oblicuo A, esto significa emplear una variante
  del criterio de Máximo Esfuerzo Cortante.

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• Efectuando una sumatoria sobre la tangente del
  plano inclinado en f, se obtiene
• se puede despejar el diámetro o el coeficiente de
  seguridad o el valor del esfuerzo de fluencia
  según sea el tipo de cálculo que se encare. Por
  otro lado se puede demostrar que para la teoría
  de máxima energía de deformación se obtiene la
  siguiente expresión
• NOTA En determinadas circunstancias y
  aplicaciones es común que alguno de los esfuerzos
  Mm, Ma, Tm y Ta sea nulo. Por ejemplo en el caso
  de flexión es más preponderante Ma que Mm y en
  torsión ocurre lo contrario. Sin embargo esto
  depende estrictamente de las aplicaciones.

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Teoría de diseño a la fatiga para materiales
frágiles

• Aunque generalmente los ejes son fabricados con
  materiales dúctiles, en algunas aplicaciones los
  ejes se hacen de fundición, es decir un material
  frágil. En consecuencia para plantear un método
  de análisis, se emplea la suma de componentes
  normales al plano de la sección A en la Figura
  anterior. Y utilizando el criterio de Soderberg.

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• Siguiendo el mismo procedimiento que en el
  apartado anterior se obtiene la siguiente
  expresión genérica en términos del esfuerzo
• Luego teniendo en cuenta las expresiones de los
  momentos flectores y torsores se tiene
• Se puede despejar el diámetro o el coeficiente
  de seguridad o el valor de la tensión de fluencia
  según sea el tipo de cálculo que se encare.

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Velocidad Crítica de Ejes Giratorios
Todos los ejes giratorios se flexionan durante
el movimiento de rotación. La magnitud de la
deflexión depende de la rigidez del eje y sus
soportes, la masa total del eje y sus partes
acopladas, y de la cantidad de amortiguación del
sistema.
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Sistema de Masa Individual

• La primera velocidad crítica se obtiene
  observando la razón de intercambio entre las
  energías cinéticas y potencial del sistema,
  durante su movimiento cíclico.
• La primera velocidad crítica (o frecuencia
  natural mas baja) es

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Sistema de Masa Múltiple

• De acuerdo a lo anterior la velocidad crítica
  para n masas es
• Según Rayleigh Que sobrestima la primera
  velocidad crítica
• La Ecuación de Dunkerley es otra aproximación a
  la primera velocidad crítica. Esta es
  subestimada

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Problema de Aplicación

• Se diseñara un eje para soportar un piñón recto
  y un engranaje helicoidal sobre 2 cojinetes
  espaciados 28 in entre centros. El eje será
  concebido para transmitir un par torsor de 50
  lb.-in. Las cargas radiales en ambos engranajes
  están en el mismo plano y son 660lb para el piñón
  y 220lb para el engrane, en el engrane helicoidal
  aparecerá una fuerza de empuje la cual produce un
  momento flector en el eje igual a 1100 lb.-in. El
  diámetro del piñón y el engranaje son 60 in y 10
  in respectivamente y el peso de ellos es de 30lb
  y 32 lb. Se necesita determinar el diámetro
  recomendado para el eje y la velocidad critica de
  este.

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Solución del Problema de Aplicación
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Recomendaciones

• El diseño se considera un proceso iterativo y
  por lo tanto para un mismo problema puede haber
  variadas soluciones adecuadas y raramente existe
  una solución única a un problema dado, por esto
  es recomendable que una vez obtenidos los
  resultados arrojados por el programa estos sean
  evaluados y de ser posible buscar otras
  soluciones alternativas.

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Bibliografía

• 1 J.E. Shigley y C.R. Mischke, Diseño en
  Ingeniería Mecánica, McGraw Hill 2002.
• 2 B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid,
  Elementos de Máquinas, McGraw Hill 2000
• 3 R.L. Norton, Diseño de maquinaria, McGraw
  Hill 2000.