JeanLuc BREGEON

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Les Mathématiques et la maîtrise de la langue

• Jean-Luc BREGEON
• Site personnel
• http//perso.orange.fr/jean-luc.bregeon

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Sommaire

• La langue mathématique.
• Des mots pour construire du sens.

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La langue mathématique

• Langue ou langage?
• La langue mathématique.
• Les particularités de la langue mathématique.
• Le carré vu par les poètes.

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Langue ou langage? (1)

• Une langue est un système de signes, dabord
  verbaux puis écrits, qui permettent à des
  individus de fixer la trace de leur pensée,
  déchanger des informations et de communiquer.

5
Langue ou langage? (2)

• On parle plutôt de langage pour des systèmes non
  verbaux (le langage des couleurs, un langage
  informatique,) ou pour des manières de parler
  propres à un groupe donné (le langage
  administratif, le langage diplomatique,)

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La langue mathématique

• Elle est constituée de mots, de signes, de
  représentations graphiques (dessins, schémas,)
  reliés entre eux par une syntaxe particulière.

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Les mots (1)

• Des mots issus de notre environnement quotidien
  ou des activités humaines, dont on a souvent
  oublié le sens originel
• - Le mot cercle provient du latin circulus,
  diminutif de circus qui signifie cirque.
• - Le mot centre provient du latin centrum, du
  grec kentron qui signifie aiguillon, pointe.
• - Le mot trapèze provient du grec trapeza qui
  signifie table.

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Les mots (2)

• - Le mot losange provient de lancien français
  losange, louange. Les armoiries destinées à
  rappeler les hauts faits des seigneurs féodaux et
  à faire leur louange étaient jadis encadrées dans
  un rhombe figure quon nomme aujourdhui
  losange).
• - Le mot compas provient du latin compassare
  qui signifie mesurer avec le pas.

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Les mots (3)

• Des mots savants créés pour les besoins
  mathématiques
• - Le mot quadrilatère est construit à partir
  des mots latins quatuor (quatre) et latus,
  lateris (côté). Les mots équivalents, dorigine
  grecque sont tétrapleure (quatre côtés) et
  tétragone (quatre angles). Ils ont été employés
  par des auteurs au Moyen-âge.

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Les mots (4)

• - Les noms des polygones (de pentagone à
  dodécagone).
• - Le mot logarithme provient du grec logos
  (raison) et arithmos (nombre).
• - Le mot médiatrice est dorigine récente
  (début du XXème siècle).
• - Les mots employés pour désigner les unités
  du système métrique kilomètre, décalitre,

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Les mots (5)

• Des mots issus de la langue usuelle mais utilisés
  dans la langue mathématique avec un sens
  délibérément lointain ou différent
• - en algèbre, les notions de groupe, danneau,
  didéal,
• - en probabilités, les notions de clan, de
  tribu,

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Les mots (6)

• Ces mots ne désignent pas uniquement des objets
  mathématiques, mais aussi des relations entre les
  objets ou des actions opérées sur les objets
• - double, moitié, triple, tiers, quart,
  quadruple,
• Dans la salle de spectacle de 360 places, le
  quart des places nest pas occupé.
• Pour lachat de deux tapis, le moins cher des
  deux est à moitié prix.

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Les mots (7)

• - proportionnel
• La distance parcourue est proportionnelle à la
  durée.
• - parallèle, perpendiculaire
• Trace la droite perpendiculaire à la droite BC
  qui passe par le point A.

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Les mots (8)

• - ajouter, augmenter, diminuer, agrandir,
  avancer, distribuer, partager,
• Nolan joue aux billes. Il perd 6 billes à la
  première partie et gagne 14 billes à la seconde
  partie. Au total, de combien son sac de billes
  a-t-il augmenté?

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Les signes (1)

• Les lettres (latines ou grecques).
• Les parenthèses.
• Les signes opératoires
• - ils nont pas fait lobjet dune adoption
  immédiate par toute la communauté scientifique.
• Le signe v créé par C. Rudolff (1500-1545),
  qui est la déformation dun r
• Le signe fut créé par R. Recorde
  (1510-1558) mais R. Descartes (1596-1650)
  utilisait un autre symbole

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Les signes (2)
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Les signes (3)

• - ils ont souvent été lobjet dune longue
  évolution.
• Au Moyen-âge, la fraction un centième
  
• sécrivait unu per cento.
• Cette écriture fut simplifiée au XVème siècle
• Dès la XVIIème siècle, on ne garda que le O
  final de cento
• Au début du XVIIIème siècle, le symbole
  prendra sa forme actuelle.

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Les signes (4)

• - ils ne sont pas utilisés de la même manière
  dans tous les pays
• La multiplication dans un manuel allemand

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Les signes (5)

• Il existe de nombreux autres signes particuliers.
  Par exemple
• f la dérivée de la fonction f
• ln x logarithme népérien de x

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Les représentations graphiques (1)

• Ce sont des schémas, des dispositions opératoires
  qui facilitent la réalisation des activités
  mathématiques.
• Par exemple, la disposition opératoire de la
  division.

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Les représentations graphiques (2)

• La division au XVIIème siècle (Larithmétique en
  sa perfection, F. Le Gendre, 1684)

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Les représentations graphiques (3)

• La division au XVIIIème siècle (Eléments de
  géométrie, Rivard, 1739 )

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Les représentations graphiques (4)

• La division au début du XIXème siècle ( Traité
  élémentaire darithmétique à lusage de lécole
  centrale des Quatre-Nations, 1801 )

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La syntaxe (1)

• Les mots de la langue mathématique se combinent
  pour former des entités plus complexe
• - La numération orale
• vingt - quatre
• quatre - vingts
• quatre - vingt - douze
• vingt - six - mille - trente - sept

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La syntaxe (2)

• - La comparaison des grandeurs
• Utilisation des mots et expressions de plus,
  de moins, en plus, fois plus, fois moins,
  double, moitié, triple,

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La syntaxe (3)

• Une première production délève

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La syntaxe (4)

• Une deuxième production délève

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Les particularités de la langue mathématique (1)

• Une langue ne reste jamais figée. Elle évolue
  selon les générations, les époques, les lieux.
  Cest aussi le cas de la langue mathématique.
• - Des mots ont disparu de la langue
  mathématique
• scalène
• myriamètre
• rhombe

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Les particularités de la langue mathématique (2)

• - Des mots ont évolué dans leur sens.
• Pour les Anciens, le cercle était le disque
  actuel et la circonférence du cercle était le
  cercle actuel.
• Cela peut expliquer des confusions quon
  rencontre encore actuellement entre circonférence
  et cercle.

30
Les particularités de la langue mathématique (3)
sommet

sommet
31
Les particularités de la langue mathématique (4)

• 128
• 87
• 215 somme
• Les Romains comptaient de bas en haut et notaient
  donc leurs résultats sur la ligne du haut. Le mot
  somme provient de labréviation de summa linea,
  ligne du haut.

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Les particularités de la langue mathématique (4)

• Des mots ou locutions issus du vocabulaire
  mathématique sont passés dans la langage courant,
  souvent avec un sens édulcoré
• - c q f d ce quil fallait démontrer (en
  latin quod erat demonstrandum q e d)

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Les particularités de la langue mathématique (5)

• - incommensurable.
• Sens mathématique qui na pas de commune mesure
• Sens commun si grand quon ne peut le mesurer.
  Synonymes démesuré, gigantesque, illimité,
  indénombrable, incalculable,

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Les particularités de la langue mathématique (6)

• - Résoudre la quadrature du cercle .
• Cette expression fait référence au célèbre
  problème de la quadrature du cercle, posé par les
  Grecs et résolu seulement au XIXème siècle
  (Lindemann, 1881) par son impossibilité, après de
  multiples tentatives de résolution au cours des
  siècles.

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Les particularités de la langue mathématique (7)

• De nombreux mots de la langue mathématique ont
  leurs correspondants dans la langue courante,
  avec des sens totalement différents
• - doubler
• Un sens courant doubler un cycliste
• Sens mathématique doubler un nombre

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Les particularités de la langue mathématique (8)

• - extraction
• Un sens courant extraire une dent.
• Le sens mathématique extraire une racine
  carrée.
• - fourchette
• Un sens courant ustensile de table terminé
  par des dents.
• Le sens mathématique écart entre deux valeurs
  (une fourchette de prix).

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Le carré vu par les poètes

• Le carré pointu
• Le carré a quatre côtés Comme le monde. On
  dit pourtant que la terre est ronde Comme ma
  tête Ronde et monde et mappemonde Un
  anticyclone se dirigeant vers le Nord-Ouest. Le
  monde est rond, la terre est ronde. Mais elle
  est, mais il est Quatre fois pointu Est Nord
  Sud Ouest Le monde est pointu La terre est
  pointue Lespace est carré
• Desnos - La géométrie de Daniel 

• Carré
• Chacun de tes côtésS'admire dans les
  autres.
• Où va sa préférence?Vers celui qui le
  toucheOu vers celui d'en face?
• Mais j'oubliais les anglesOù le dehors
  s'irrite
• Au point de t'enleverLes doutes qui
  renaissent.
• Guillevic - Euclidiennes  1967

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Des mots pour construire du sens

• Les mots dans la résolution des problèmes.
• Les mots en géométrie.
• Une classification des mots utilisés en
  Mathématiques à lécole primaire.
• Une démarche dutilisation des mots mathématiques.

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Les mots dans la résolution des problèmes (1)

• La classification des problèmes arithmétiques
  selon G. Vergnaud la notion de champ conceptuel.
• - les problèmes additifs et soustractifs.
• - les problèmes multiplicatifs, divisifs et de
  proportionnalité.

40
Les mots dans la résolution des problèmes (2)

• Une production délève

41
Les mots dans la résolution des problèmes (3)
42
Les mots dans la résolution des problèmes (4)

• La classification des problèmes selon R.
  Brissiaud le modèle hiérarchique des stratégies
  de résolution de problèmes.

43
Les mots dans la résolution des problèmes (5)

• - les Q- problèmes (problèmes quotidiens)
  peuvent être assez bien résolus avant tout
  enseignement des opérations arithmétiques à
  lécole.
• Exemples au CE1
• Combien y a-t-il de gâteaux dans 3 paquets de
  10 gâteaux?
• Avec 40 gâteaux, on fait des paquets de 10
  gâteaux. Combien peut-on faire de paquets?

44
Les mots dans la résolution des problèmes (6)

• - les E- problèmes (problèmes enseignés à
  lécole) ne sont bien résolus que lorsque les
  enfants ont fréquenté lécole et y ont reçu un
  enseignement des opérations arithmétiques à
  lécole.
• Exemples au CE1
• Combien y a-t-il de gâteaux dans 10 paquets de
  3 gâteaux?
• Avec 40 gâteaux, on fait des paquets de 4
  gâteaux. Combien peut-on faire de paquets?

45
Les mots dans la résolution des problèmes (7)

• Le modèle hiérarchique des stratégies de
  résolution de problèmes

46
Les mots dans la résolution des problèmes (8)

• Lutilisation des mots pour renforcer le sens des
  opérations.

Résolution dun problème arithmétique simple
Une démarche conduisant à la solution du problème
(par un dessin ou un schéma, mentalement ou par
calcul écrit)
Une situation numérique définie par un ou
plusieurs nombres
Des mots qui déterminent des relations entre les
nombres connus et celui qui fait lobjet du
problème
47
Les mots dans la résolution des problèmes (9)

• Le sens de lopération repose non sur les
  nombres donnés ni sur des termes inducteurs, mais
  sur les relations exprimées par certains mots
  présents dans lénoncé du problème.

48
Les mots dans la résolution des problèmes (10)

• Exemple 1 les mots qui traduisent une
  augmentation.
• Léa avait 42 images. Elle reçoit dautres images
  de sa maman. Maintenant, Léa a 60 images. Combien
  dimages lui a donné sa maman?

49
Les mots dans la résolution des problèmes (11)

• Exemple 2 les mots utilisés pour indiquer la
  valeur de lunité.
• Emilie a acheté plusieurs sachets de chocolat
  pour une valeur totale de 108. Les chocolats
  coûtent 2 pièce et chaque sachet contient 18
  chocolats. Combien de sachets de chocolat Emilie
  a-t-elle achetés?

50
Les mots en géométrie (1)

• La lecture et lécriture de textes géométriques
  (particulièrement de description de figures et de
  programmes de construction) nécessitent la
  compréhension de règles spécifiques liées à ce
  type particulier décrit.

51
Les mots en géométrie (2)
52
Les mots en géométrie (3)

• Première production délève

53
Les mots en géométrie (4)

• Deuxième production délève

54
Une classification des mots utilisés en
Mathématiques à lécole primaire (1)

• Les mots utilisés pour désigner un tout et ses
  parties
• et, réunir, réunion, total, le tout, en tout,
  
• Les mots utilisés pour indiquer un changement
• ajouter, augmentation, augmenter, diminuer,

55
Une classification des mots utilisés en
Mathématiques à lécole primaire (2)

• Les mots utilisés pour parler des nombres et les
  comparer
• après, assez, autant que, avant,
• centième, chiffre, dénominateur, dixième,
• Les mots utilisés pour indiquer la valeur dune
  unité
• à, chaque, chacun, de, en la, le, lun,

56
Une classification des mots utilisés en
Mathématiques à lécole primaire (3)

• Les mots utilisés pour calculer
• compter, calculer, combien, de moins, de plus,
  en moins, en trop,
• Les mots utilisés pour mesurer
• capacité, circonférence, comparer, contenance,
  dénivellation,

57
Une classification des mots utilisés en
Mathématiques à lécole primaire (4)

• Les mots utilisés pour comprendre et représenter
  les informations
• barème, donnée, graphique, information,
• Les mots particuliers pour comprendre les
  problèmes
• article, bénéfice, commande, commander,
  économie, effectif,

58
Une classification des mots utilisés en
Mathématiques à lécole primaire (5)

• Les mots utilisés pour désigner des objets
  géométriques
• arête, carré, centre, cercle, côté, cube,
• Les mots utilisés pour désigner des relations
  géométriques
• aligné, alignement, angle droit, arrondi, axe
  de symétrie,

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Une classification des mots utilisés en
Mathématiques à lécole primaire (6)

• Les mots utilisés pour construire des figures
  géométriques
• agrandir, agrandissement, calque, compas,
  construire, construction,décalquer, décrire,
  équerre,

60
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(1)

• Constituer des  boîtes à mots mathématiques ,
  constituées de mots ou locutions essentiels pour
  la compréhension et la réussite des activités
  mathématiques des élèves. Ces mots, utilisés
  couramment en mathématiques, sont de plusieurs
  sortes 

61
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(2)

• des verbes daction employés pour les consignes
  écrites et orales 
• des mots ayant une signification mathématique
  précise parfois différente de celle dun usage
  courant 
• des locutions fréquemment utilisées en
  mathématiques et de compréhension délicate 
• etc.

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Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(3)

• Exemple 1
• Lister tout ce qui permet de comprendre la
  valeur de  un  dans un problème multiplicatif 
• des rangées de 12 salades
• les rangées ont 12 salades chacune
• une rangée a 12 salades
• chaque rangée a 12 salades
• 12 salades par rangée
• 12 salades pour chaque rangée

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Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(4)

• des gâteaux coûtent 2 pièce
• des gâteaux coûtent 2 l'un
• des gâteaux coûtent 2 l'unité
• 12 kilomètres à l'heure
• 12 le litre
• etc..

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Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(5)

• Exemple 2
• Rassembler les mots et locutions qui expriment
  des comparaisons de grandeurs
• Comparaisons additives de plus que , de
  moins que
• Comparaisons multiplicatives le double, le
  triple, fois plus, fois moins,

65
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(6)

• Exemple 3
• Rassembler les mots utilisés pour désigner des
  longueurs (qui se mesurent avec des unités de
  longueur)
• Circonférence, dénivellation, distance,
  épaisseur, hauteur, largeur, longueur, périmètre,
  profondeur, taille, tour,

66
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(7)

Exemple 1
67
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(8)
Exemple 2
68
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(9)

• Sexercer sur la langue mathématique, en relation
  avec la langue courante.
• Exemple 1 comprendre les augmentations et les
  diminutions.

69
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(10)
70
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(11)
71
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(12)

• Exemple 2 comprendre les mots qui indiquent
  lunité.

72
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(13)

• Exemple 3 changer de point de vue.

73
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(14)

• Exemple 4 utiliser des mots hors du contexte
  mathématique.

74
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(15)
75
Une démarche dutilisation des mots mathématiques
(16)

• Exemple 5 réfléchir à la construction des mots.

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Avec mes remerciements

• Jean-Luc BREGEON
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