Le calcul mental lcole

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Le calcul mental à lécole

• Jean-Luc BREGEON
• Site personnel
• http//perso.orange.fr/jean-luc.bregeon

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Sommaire

• Le calcul en Mathématiques.
• Le calcul mental à lécole.

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Le calcul en Mathématiques.

• Quest-ce que le calcul?
• Différentes acceptions pour le calcul numérique.
• Des exemples de calcul réfléchi écrit.
• Un exemple de calcul réfléchi oral.

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Quest-ce que le calcul? (1)

• Origine historique.
• Le terme calcul vient du mot latin calculus
  qui renvoie aux cailloux que les Romains
  utilisaient pour calculer dans des pratiques
  sociales diverses.

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Quest-ce que le calcul? (2)

• Définition.
• Un calcul est une combinaison dobjets
  mathématiques (représentés par des symboles)
  obtenue grâce à des opérations, selon des règles
  précises, afin dobtenir un résultat nouveau.

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Quest-ce que le calcul? (3)

• Les différentes sortes de calcul en
  Mathématiques
• calcul algébrique, barycentrique, vectoriel,
  tensoriel, différentiel, intégral,
  propositionnel, formel, trigonométrique,
  matriciel, exponentiel, booléen, statistique,
  binaire, numérique, etc.

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Quest-ce que le calcul? (4)

• Sens commun.
• Sens mathématique calcul numérique et, plus
  généralement, larithmétique. Dans cette école,
  on enseigne le calcul.
• Usage dans la langue courante (sens figuré).
• Calcul ensemble des moyens quon
  combine, des mesures quon prépare en vue du
  succès dune affaire. Il a agi par calcul.
• Faire un mauvais calcul.
• Cela nentre pas dans mes calculs.
• Il a déjoué tous les calculs.

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Différentes acceptions du calcul numérique (1)

• Une double opposition
• Mental - écrit
• Réfléchi - automatisé

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Différentes acceptions du calcul numérique (2)
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Différentes acceptions du calcul numérique (4)

• Le calcul mental, sous ses deux formes, allie
  lautomatisation et la compréhension.
• Autres formes de calcul numérique
• Calcul rapide mise en uvre écrite de techniques
  de calcul mental, proposé en temps limité.
• Calcul instrumenté calcul faisant appel à une
  calculatrice ou à lordinateur.
• Calcul vivant (pédagogie Freinet) recherche
  dune solution à un problème concret participant
  de la vie de la classe.

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Des exemples de calcul réfléchi écrit (1)

• Au cycle 2

12
Des exemples de calcul réfléchi écrit (2)

• Au cycle 2 (suite)

13
Des exemples de calcul réfléchi écrit (3)

• Au cycle 3

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Un exemple de calcul réfléchi oral
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Le calcul mental à lécole (1)

• Définition.
• Modalités de présentation.
• Le calcul mental, révélateur des compétences des
  élèves.
• Les élèves en difficulté en calcul mental.
• Les objectifs du calcul mental et du calcul
  réfléchi.

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Le calcul mental à lécole (2)

• Ce que nest pas le calcul mental.
• Le calcul mental automatisé.
• Le calcul mental réfléchi.
• Les modalités de fonctionnement.
• Les situations daccompagnement de la pratique du
  calcul mental.
• Eloge du calcul mental.
• Bibliographie.

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Définition

• Le calcul mental est un calcul numérique qui ne
  fait pas appel aux intermédiaires écrits aucun
  support nintervient entre lénoncé et la
  production du résultat.
• De plus, lénoncé est une situation numérique
  pure, non habillée sous la forme dun énoncé de
  problème.

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Modalités de présentation
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Le calcul mental, révélateur des compétences des
élèves (1).

• Analyse des évaluations CE2
• Redéfinir les compétences acquises par les
  élèves à lécole primaire pour mieux comprendre
  la structure des apprentissages.
• Sophie Morlaix IREDU-CNRS Université de
  Bourgogne 2006

20
Le calcul mental, révélateur des compétences des
élèves (2).

• Les compétences qui structurent les
  apprentissages des élèves à lentrée au CE2

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Les élèves en difficulté en calcul mental (1)

• Les élèves en difficulté en Mathématiques le
  sont en général en calcul mental.
• Les causes de ces difficultés
• Un défaut dadaptabilité des élèves. Ils
  préfèrent utiliser des procédures sûres (qui
  fonctionnent dans tous les cas et conduisent aux
  résultats attendus ce sont souvent les
  procédures posées dans la tête ) et coûteuses
  plutôt que des procédures adaptées au calcul en
  cours.

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Les élèves en difficulté en calcul mental (2)

• Un manque de procédures automatisées sappliquant
  à des calculs arithmétiques élémentaires (par
  exemple, le passage par la dizaine).
• Linstallation de procédures élémentaires
  automatisées permet aux élèves déchapper aux
  automatismes sur des procédures plus complexes
  (Grand N n79, D. Butlen, M. Charles-Pézard).

23
Les objectifs du calcul mental et du calcul
réfléchi (1)
24
Les objectifs du calcul mental et du calcul
réfléchi (2)
25
Ce que nest pas le calcul mental

• Le calcul mental ne se réduit pas à
  lapprentissage de recettes calculatoires
  détachées de toute compréhension.
• Lautomatisation du calcul ne doit pas être mise
  en avant au détriment de la compréhension.

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Le calcul mental automatisé (1)

• Il sagit de favoriser la récupération directe en
  mémoire dun résultat.
• Cela passe par une phase reconstructive utilisant
  des points dappui.

27
Le calcul mental automatisé (2)

• Apprendre la table daddition

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Le calcul mental automatisé (3)

• Les doubles
• Les amis pour faire 10
• La numération
• Les presque doubles

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Le calcul mental automatisé (4)

• Le passage par 10
• Le surcomptage (1, 2, 3), avec application
  éventuelle de la commutativité de laddition.

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Le calcul mental automatisé (5)

• Apprendre la table de multiplication
• Donner un sens aux mots fois et multiplié par
  et les distinguer.
• Utiliser des points dappui
• - comptage de n en n
• - connaître les doubles
• - connaître les tables de 2 et de 5
• - connaître les carrés
• - savoir que multiplier par 2, cest doubler,
  multiplier par 4, cest doubler 2 fois
• - etc.

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Le calcul mental automatisé (6)

• Varier les approches pour un même résultat, en
  utilisant les possibilités de la langue
  mathématique
• 47 39
• combien y a-t-il de 39 à 47?
• que faut-il ajouter à 39 pour faire 47?
• quel est lécart entre 39 et 47?

32
Le calcul mental automatisé (7)

• 7 fois 8
• quel nombre, multiplié par 7, donne 56?
• combien de fois 8 dans 56?
• 56 divisé par 8?

33
Le calcul mental réfléchi (1)

• Il sagit délaborer une procédure adaptée au
  calcul particulier qui est proposé, en faisant
  appel à la réflexion et au raisonnement.

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Le calcul mental réfléchi (2)

• 42 28
• Ôter 20 puis 8 (décomposition)
• Ôter 30 puis ajouter 2 (pivotement)
• Aller de 28 à 42 (jalonnement)
• Calculer 44 30 (décalage).

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Le calcul mental réfléchi (3)

• 25 x 12
• Calculer séparément 25 x 10 et 25 x 2, puis
  additionner les résultats
• Décomposer 12 en 4 x 3, calculer 25 x 4, puis
  100 x 3
• Voir que 25 est le quart de 100 multiplier 12
  par 100, puis diviser par 4.

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Le calcul mental réfléchi (4)

• Le travail en classe doit être axé sur
  lexplicitation et la confrontation de procédures
  possibles et efficaces.
• Il faut éviter la saturation de la mémoire de
  travail. Ce risque de saturation peut être
  diminué en autorisant les élèves à noter les
  résultats intermédiaires.

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Les modalités de fonctionnement (1)

• Les recommandations officielles.
• B.O. n10 du 8 mars 2007
• Mise en uvre du socle commun de connaissances
  et de compétences lenseignement du calcul.

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Les modalités de fonctionnement (2)

• Le calcul mental doit faire lobjet dune
  pratique quotidienne dau moins 15
  minutes.Lentraînement au calcul mental doit
  être quotidien dès le CP et se prolonger tout au
  long de lécole élémentaire. Il sappuie sur la
  connaissance parfaite de la table daddition puis
  de la table de multiplication. Les maîtres
  alternent les moments dentraînement et ceux qui
  permettent de concevoir des méthodes et de
  comparer leur efficacité.

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Les modalités de fonctionnement (3)

• Une organisation pédagogique
• 1. Les séances dentraînement (calcul
  automatisé)
• Objectifs
• Entraîner les élèves
• Les confronter à des exemples variés
• Accroître leurs performances (rapidité,
  mémorisation).

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Les modalités de fonctionnement (4)

• Déroulement
• 10 à 15 minutes en une ou deux fois dans la
  journée
• Débute par une activité très facile
• Utilisation pertinente du procédé Lamartinière
• Validation et correction rapide des calculs.

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Les modalités de fonctionnement (5)

• 2. Les séances de calcul réfléchi (15 20
  minutes).
• Deux types de séances
• des séances de découverte découverte des
  procédures possibles et sélection des procédures
  efficaces.
• L'enseignant propose un calcul que les élèves
  peuvent calculer de différentes manières, sans
  application immédiate d'une démarche imposée et
  unique.

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Les modalités de fonctionnement (6)

• Des échanges s'ensuivent pour mettre en
  parallèle différentes méthodes et pour faire
  apparaître les avantages de certaines d'entre
  elles. Ces méthodes privilégiées sont mises au
  point collectivement.
• Dans ces séances, les phases d'échanges revêtent
  une grande importance.
• Elles sont conduites en relation avec les
  apprentissages notionnels correspondants (par
  exemple, pour la soustraction).

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Les modalités de fonctionnement (7)

• des séances doptimisation des procédures
  efficaces (en conservant la liberté de choix de
  ces procédures par les élèves).

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Les modalités de fonctionnement (8)

• 3. Les séances dévaluation.
• Objectifs
• Ce type de séances vise à observer si les élèves
  savent, en position différée, mobiliser des
  connaissances qui ont fait l'objet d'un travail
  antérieur.
• Divers types de calculs sont proposés dans cette
  séance.

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Les modalités de fonctionnement (9)

• Pour ces différents types de séances, la forme de
  présentation des calculs peut être
• - avec des nombres purs
• - avec des petits problèmes numériques.

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Les modalités de fonctionnement (10)

47
Les modalités de fonctionnement (11)
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Les modalités de fonctionnement (12)

• Les limites de la confrontation des procédures.
• - La nouveauté de toute autre procédure que
  celle quon utilise peut entraîner des
  difficultés dans la gestion et empêcher parfois
  que les élèves en apprécient les avantages.

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Les modalités de fonctionnement (13)

• - Il est parfois nécessaire dimposer aux élèves
  la pratique dune procédure. Lorsque plusieurs
  sont possibles, il nest pas souhaitable den
  entraîner plusieurs à la fois. Mieux vaut en
  choisir une et lexercer sur les exemples où elle
  est pertinente.

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (1)

• Les jeux.
• Exemples
• Les cartes magiques
• Faire 20
• Computix
• Le jeu des opérations
• Trio.

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (2)

• Les cartes magiques.

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (3)

• Faire 20

53
Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (4)

• Computix

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (5)

• Computix (suite)

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (6)

• Le jeu des opérations le plateau de jeu

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (7)

• Nombre de joueurs 2
• But du jeu Avoir le maximum de points lorsque
  le pion atteint la case Arrivée.
• Le matériel
• Un plateau de jeu de 10 sur 10 cases.
• Un seul pion (commun aux 2 joueurs).
• Un cadran circulaire partagé en trois parties
  contenant les signes , - et x. Un dé avec deux
  faces 1, deux faces 2 et deux faces 3.

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (8)

• Déroulement de la partie
• Au début de la partie, le pion est placé sur la
  case D (Départ). La première opération est tirée
  au sort.
• Le premier joueur lance le dé et déplace le pion
  du nombre de cases indiqué par le dé, en ligne ou
  en colonne en panachant les directions s'il le
  souhaite. Arrivé sur la case de coordonnées (a,
  b), il marque a b points, a - b points ou b a
  points (selon la soustraction possible) ou a x b
  points, suivant l'opération tirée au sort. On
  tourne alors le cadran circulaire pour indiquer
  l'opération suivante.

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (9)

• Déroulement de la partie (suite)
• Le deuxième joueur lance le dé, déplace le pion
  du nombre de cases indiqué et marque les points
  en fonction de la case atteinte et de l'opération
  en cours.
• Chaque joueur, à son tour, déplace le pion et
  marque ses points.
• Le jeu s'arrête lorsqu'un joueur pose le pion
  sur la case A (Arrivée) ou lorsque chacun des
  joueurs a joué 10 fois. Le gagnant est alors
  celui qui totalise le plus de points.

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (10)

• Exemples de déplacements (cas où le dé indique 3
  points)

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (11)

• Le trio.
• Trouver un alignement sans trou (ligne, colonne
  ou diagonale) de 3 cases en opérant de la façon
  suivante multiplier deux des nombres des cases
  puis ajouter ou retrancher le troisième au
  produit pour obtenir le nombre affiché.

Nombre affiché 25
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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (12)

• Les logiciels
• MIB3 écran de départ

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (13)

• Choix dune activité et des paramètres

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (14)

• Activité à réaliser

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (15)

• Ecran de départ

65
Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (16)

• Les différents choix

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (17)

• Choix de lactivité

67
Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (18)

• Choix de lélève

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (19)

• Exercice à réaliser

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (20)

• Exercice à créer

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (21)

• Ecran de départ

71
Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (22)

• Exercice à réaliser (1)

72
Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (23)

• Exercice à réaliser (2)

73
Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (24)

• Ecran de départ

74
Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (25)

• Choix des paramètres

75
Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (26)

• Exercice à réaliser

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (27)

• Le calcul rapide sur fiche.
• Exemples
• Les croix magiques
• Les cascades additives
• Les cascades multiplicatives.

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (28)

• Les croix magiques
• Aux sommets des deux carrés et à l'intersection
  des côtés des carrés, on place un nombre de 0 à
  15. Chaque nombre de 0 à 15 doit figurer une fois
  et une seule.
• La somme des nombres situés sur un côté d'un
  carré doit être égale à 30.

78
Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (29)

• Une solution

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (30)

• Les cascades additives

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Les situations daccompagnement de la pratique du
calcul mental (31)

• Les cascades multiplicatives

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Eloge du calcul mental

• Le calcul mental est une partie brillante et
  neuve de notre enseignement. On apprend à
  compter comme on apprend à traverser une rue il
  ne sagit pas daller lentement mais il faut
  saisir le moment, apprendre à disposer de soi, et
  faire vite, sans aucune peur
• Alain Propos sur léducation

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Bibliographie (1)

• Document daccompagnement aux programmes de 2002
• Le calcul mental. Cycle des apprentissages
  fondamentaux. Cycle des approfondissements.
• Le calcul mental au cycle des apprentissages
  fondamentaux.
• C. Lethielleux Armand Colin

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Bibliographie (2)

• Le calcul mental au cycle des approfondissements.
• C. Lethielleux Armand Colin
• Faites vos jeux. Cahier I jeux numériques
• F. Boule Didier
• Téléchargement sur www.editionsdidier.com
• (5)
• Jeux de calcul.
• F. Boule Armand Colin

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Avec mes remerciements

• Jean-Luc BREGEON
• Site personnel
• http//perso.orange.fr/jean-luc.bregeon