Modlisation gomtrique des systmes polyarticuls

1
Modélisation géométrique des systèmes
poly-articulés

• Approches statistiques et techniques de
  simulation Monte-Carlo
• Nabil ANWER - MCF
• LURPA/ENS Cachan
• Université Paris Nord 13
• anwer_at_lurpa.ens-cachan.fr

2
Objectifs

• Présentation de techniques non-déterministes pour
  la modélisation et le calcul des variations
  géométriques
• Complémentarité avec les techniques de calcul des
  tolérances (arithmétiques ou au pire des cas)
• Présentation de travaux de recherche antérieurs
  ou en cours autour du thème
• Principe de calcul de logiciels commerciaux
  (Tolmate, CeTol, )
• Méthodes pour lanalyse des erreurs cinématiques.

3
Variations géométriques des pièces mécaniques
(répartition des caractéristiques)

• Comportement statistique
• dune spécification (lot de pièces)

• Comportement statistique dune spécification
  (pièce)

ta A
ta A
Pièce A
Pièce A
A
A
Plusieurs pièces
Plusieurs configurations
ta
ta
4
Variations géométriques des pièces mécaniques
(répartition des caractéristiques)
Défaut de localisation
Zone de tolérance cylindre vs. Zone de
variation ellipse
5
Variations géométriques des ensembles mécaniques
(position dun point, jeu)
6
Techniques de résolution
Système
Etude expérimentale du système
Etude dun modèle du système
Modèle physique
Modèle mathématique
Modèle analytique
Modèle de simulation
Modèle Semi-linéaire
Modèle statistique
7
Rappels de statistiques
8
Introduction

• Statistiques
• Décrivent des populations
• Estiment des paramètres
• Testent des hypothèses
• Statistiques descriptives
• Visent à explorer les données et à en tirer un
  certain nombre de mesures et d'indices, ou des
  représentations graphiques
• Variables aléatoires
• Probabilités et lois de distribution

9
Statistiques descriptives

• Vocabulaire
• Population Ensemble des objets de létude
  (pièces mécaniques)
• Individu Élément de la population (pièce
  mécanique)
• Échantillon Partie de la population
• Taille Nombre d individus dans la
  population/échantillon
• Variable Application associant à chaque
  individu un caractère (valeur dune cote
  mesurée).
• On associe à un caractère une variable
  statistique X qui donne la valeur du caractère
  pour un individu ( ex la variable X donne la
  taille d'un élève la variable Y donne le poids
  d'un élève)
• Variables qualitatives Vs. Variables
  quantitatives

10
Étude d une variable

• Effectifs et Fréquences
• n taille de la population
• xi i-ème modalité de la variable X
• ni nombre d individus ayant xi comme modalité
  (effectif de la modalité xi)
• fi fréquence de la modalité xi (fi ni/n)
• Pour un caractère donné une population peut être
  répartie en classes
• Le centre d'une classe ai, ai1 est la valeur
  (ai ai1)/2
• ex le centre de la classe 150, 170 est (150
  170)/2 320/2 160
• L'amplitude d'une classe ai, ai1 est (ai1 -
  ai)

11
Combien de classes doit-on réaliser ?

• Absence de règles universelles, solutions
  empiriques et pragmatiques.
• l'objectif est de conserver à la distribution sa
  forme générale
• Critère de Brooks-Carruthers, le nombre de
  classes Kt
• Kt lt 5 log10 n
• Critère de Huntsberger-Sturges, le nombre de
  classes Kt
• Kt 1 (10 log10 n)/3
• Formule empirique
• Intervalle de classe ht
• Wt Xmax - Xmin (étendue)
• ht Wt/Kt

12
Exemple
Série de mesures d une cote
30,330 29,973 29,647 29,993 30,018 29,668
29,646 30,018 29,738 29,975 30,074 30,307
29,985 30,325 30,350 30,006 29,975 30,358
30,078 30,302
Histogramme ?
EXCEL
13
Paramètres caractéristiques

• Indicateurs de tendance centrale
• médiane (partage en 2 groupes deffectifs égaux)
• moyenne
• Indicateurs de dispersion
• quantiles/quartiles (boîtes à moustaches)
• 25 des observations sont inférieures au 1er
  quartile Q1
• 50des observations sont inférieures au 2ème
  quartile Q2
• 75 des observations sont inférieures au 3ème
  quartile Q3
• variance
• écart-type
• étendue

14
Variables aléatoires

• Une variable aléatoire X est une variable qui
  prend ses valeurs au hasard parmi un ensemble de
  n valeurs possibles (n fini ou infini).
• Une valeur particulière de X est désignée par xi
• n valeurs x1, x2, x3, ... , xn d une variable
  aléatoire X peuvent être caractérisées par

15
Loi de distribution dune variable aléatoire
continue

• Densité de probabilité

• Propriétés

16
Exemples de distributions

• Distribution Normale

• Distribution Uniforme

17
Moyenne et écart-type (Estimation)

• Dans la pratique, m et s dune variable aléatoire
  X sont rarement connus. Ils sont estimés à partir
  des observations dont on dispose sur un
  échantillon.

18
Théorème de la limite centrale

• La moyenne d une variable aléatoire X calculée
  sur des échantillons de même taille n est une
  variable aléatoire notée

1
Taille N
Si X suit une loi normale ou n est grand
2
3
k
Suit une loi normale
19
Théorème de la limite centrale

• Illustration par lexemple (10000 essais)

20
Comment lier les variations géométriques aux
distributions statistiques ?

• Hypothèse
• Connaissance à priori de la distribution
  sous-jacente
• Limites
• Forte hypothèse de normalité (mythe de la loi
  normale)
• Tests de normalité pas souvent effectuées
• Modèle utilisé
• tks
• t caractéristique observée ou mesurée (ex.
  tolérance, jeu, position dun point, variable
  articulaire)
• écart-type de la distribution sous-jacente
• k coefficient qui dépend de la nature de la
  distribution et de la proportion dacceptation en
  général 99,73 (approche 6s) (risque)

21
Lien fort avec les capabilités point de vue MSP
22
Capabilités court terme vs. long terme
23
Capabilités indices
Notations Long terme P (capabilité long
terme, performance du procédé) Court terme C
(capabilité court terme, capabilité du procédé)
Cpkmin(Cpl,Cpu)
24
Tolérancement statistique

• Amélioration du modèle arithmétique

25
Étude dun mécanisme élémentaire
26
Méthode au pire des cas

• Forme mini-maxi
• a ( b c d e f ) (ta tb tc td
  te tf )/2 ? X maxi
• a (b c d e f) - (ta tb tc td te
  tf)/2 ? X mini.
• Forme moyenne et IT
• a ( b c d e f) X moyen
• ta tb tc td te tf ? ITx
• Les valeurs encadrées a, b, c, d, e, f sont
  supposées connues. La condition à respecter ne
  concerne que les tolérances.
• Application numérique
• la répartition uniforme des tolérances (ta tb
  ) donne
• ta tb tc td te tf ITx /6 0,12/6
  0,02.

27
Synthèse sur les méthodes au pire des cas

• Il est peu probable que les pièces soient aux
  limites des tolérances et que toutes les pièces
  soient maximales/minimales en même temps.
• En milieu industriel, lapproche au pire des cas
  est jugée trop sévère, des méthode statistiques
  sont utilisées dès que le nombre de pièces de la
  chaîne de cotes devient important.
• Les méthodes statistiques de répartition des
  tolérances des méthodes de calculs prévisionnels
  (le tolérancement statistique se fait en bureau
  d'études, bien avant que les fabricants ne
  réalisent les pièces).
• Il nest donc pas toujours possible de tenir
  compte des résultats de production pour faire des
  optimisations (approches robustes).

28
Modèles statistiques
Exigence J
Pièce A
Jeu mini 0 Jeu maxi 0,6
Tolérance sur le jeu IT J 0,6
pièce F
pièce E
Tout assemblage dans lintervalle de tolérance
est conforme
pièce D
pièce C
pièce B
29
Modèles statistiques
Dans un même assemblage, il est peu probable que
toutes les pièces soient simultanément petites
(ou grandes)
pièces A
pièces B
pièces C
pièces D
pièces E
pièces F
Sommes des dimensions des pièces
?R
30
Calcul
31
Conclusions
Intervalle de tolérance sur lexigence IT Jeu
0.600
32
Prise en compte du décentrage
La moyenne varie sur un intervalle. Il faut donc
intégrer cette variation dans les calculs.
Autres modèles développés (voir livres
Anselmetti)
33
Autres modèles (Anselmetti)
34
Modèle générale pour le tolérancement statistique

• De nombreuses conditions fonctionnelles
  s'écrivent comme combinaison linéaire des
  composantes indépendantes
• Les coefficients ai peuvent être dus à une
  symétrie, à une projection ou à un effet de bras
  de levier
• En général,

35
Problème de lindépendance

• La condition d'indépendance n'est pas toujours
  vérifiée
• - Assemblage comportant deux pièces identiques
  tirées du même lot (deux entretoises ou deux
  flasques de chaque côté d'un mécanisme
  symétrique, plaque tirées dans la même tôle).
• - Pièces symétriques issues du même moule (s'il y
  a un écart de fermeture du moule, les deux pièces
  subiront la même variation).
• - Influence d'un paramètre extérieur qui modifie
  la dimension des pièces (usure, température,
  déformation...).
• Liens dus au processus de fabrication (deux
  gorges identiques réalisées par le même outil,
  usinage en commande numérique avec le même outil,
  même montage d'assemblage...).

36
Influence de plusieurs spécifications sur une
même pièce
37
Prise en compte des contacts
Contact Plan-Plan
Caractérisation expérimentale
38
Conclusions

• Le tolérancement statistique permet une réduction
  considérable des coûts.
• Les modèles statistiques se basent sur des
  hypothèses fortes de pseudo-normalité et manquent
  de formalisme rigoureux.
• Le cas de variables indépendantes est très
  souvent rencontrés en milieu industriel.
• La superposition de plusieurs spécifications rend
  le problème plus complexe.
• La prise en compte des contacts se base sur des
  approches expérimentales pour lesquelles les
  identifications de modèles sont à améliorer.
• Le bouclage contrôle/fabrication/conception est
  le seul moyen de garantir la robustesse et
  loptimum.
• Il reste à intégrer les aspects 3D (tolérancement
  statistique radial)
• La caractérisation statistique des zones de
  tolérances à travers les travaux en géométrie
  probabiliste et en simulation est une nouvelle
  alternative.

39
Caractérisation statistique des défauts

• Apports de la métrologie
• Apports des techniques de simulation

40
Caractérisation statistique des défauts
Enveloppe limite statistique caractérise
lincertitude
41
Caractérisation statistique des défauts
Distance Point-Droite
Techniques de propagation dincertitudes ou de
variances
42
Approches de simulation

• Techniques de monte carlo

43
Présentation de la méthode

• Exemple illustratif

x(random) y(random) distsqrt(x2 y2) if
dist.from.origin (less.than.or.equal.to) r let
hitshits1.0
44
Présentation de la méthode

• Estimation de
• Soit p(u) une fonction de densité de probabilité
  uniforme sur a, b
• Soit Ui la i ème variable aléatoire uniforme de
  densité p(u)
• Alors, si n est grand

Exemple
45
Principe de simulation monte carlo

• Principe
• Pour effectuer des simulations probabilistes sur
  ordinateur, on utilise un générateur de nombres
  pseudo-aléatoires (une suite (xn)n de nombres
  réels compris entre 0 et 1) qui imitent une
  réalisation d'une suite de variables aléatoires
  indépendantes et identiquement distribuées
  suivant la loi uniforme sur 01.
• Loi uniforme sur a,b
• Si U est une variable uniforme sur 01 alors
• Loi normale N(m,s)
• Si U1 et U2 sont deux variables uniformes
  indépendantes sur 01 alors

46
Approches à base de simulation

• Tirage aléatoire de caractéristiques
• Connaissance à priori des distributions des
  caractéristiques (point, droite, plan)
• Estimation de la résultante
• Utilisation de logiciels statistiques (Minitab)

47
Analyse statistique des zones de tolérances
Répartition triangulaire
ZT (2 droites)
Z2
Z1
Hypothèses Z1 uniforme 0,1 Z2 uniforme
0,1
48
Analyse statistique des zones de tolérances
ZT (2 droites)
Répartition mi-gaussienne
Z2
Z1
Hypothèses Z1 Normale 0,5 ,1/6 Z2 Normale
0,5 ,1/6
49
(No Transcript)
50
L2
m2,s2
X2
Y
m1,s1
X1
L1
Y aX1bX2 (a1 et bL1/L2) E(Y)
aE(X1)bE(X2) Var(Y) a2Var(X1)b2Var(X2)
51
Statistiques sur la normale
Distribution normale
52
Empilage de pièces 2D
53
Analyse statistique des zones de tolérances
Répartition Circulaire
ZT (2 plans)
Z3
Z1
Z2
Hypothèses Simplex (Z1, Z2, Z3) Z1 uniforme
0,1 Z2 uniforme 0,1 Z3 uniforme 0,1
54
Analyse statistique des zones de tolérances
ZT (2 plans)
Z3
Répartition ???
Z1
Z2
Hypothèses Simplex (Z1, Z2, Z3) Z1 Normale
0,5 ,1/6 Z2 Normale 0,5 ,1/6 Z3 Normale
0,5 ,1/6
55
Statistiques sur la normale
56
Statistiques sur la normale
Distribution de rayleigh
57
Statistiques sur la normale
Covariance a b c a
b c a
0,00000555 b 0,00000277 0,00000554 c
-0,00000000 -0,00000000 0,00000000
58
Analyse statistique des zones de tolérances
Répartition ???
ZT (2 plans)
Z2
Z3
Z4
Z1
Hypothèses Z1 uniforme 0,1 Z2 uniforme
0,1 Z3 uniforme 0,1 Z4 dans le plan
(Z1Z2Z3) Z4 aZ1bZ2cZ3 (a,b,c) (1,-1,1)
59
Analyse statistique des zones de tolérances
ZT (2 plans)
Z2
Z3
Z4
Répartition ???
Z1
Hypothèses Z1 Normale 0,5 ,1/6 Z2 Normale
0,5 ,1/6 Z3 Normale 0,5 ,1/6 Z4 dans le
plan (Z1Z2Z3) Z4 aZ1bZ2cZ3 (a,b,c) (1,-1,1)
60
Position Error in Assemblies and Mechanisms

• Travaux de Jonathan Wittwer

61
Position Error in Assemblies
y
x
62
Direct Linearization (DLM)
Closed Loop
hx
hy
Taylors Series Expansion
X r1, r2, r3, r4 primary random
variables U q3, q4 secondary random
variables
63
Solving for Assembly Variation
Open Loop
Px
Py
Taylors Series Expansion
Sensitivity Matrix
Solving for Position Variation
64
Worst-Case vs. Statistical
Worst Case
Statistical (Root Sum Square)
65
Deterministic Methods

• Worst-Case Direct Linearization
• Uses the methods just discussed.
• Vertex Analysis
• Finds the position error using all combinations
  of extreme tolerance values.
• Optimization
• Determines the maximum error using tolerances as
  constraints.

66
Deterministic Results
67
Statistical Methods

• Monte Carlo Simulation
• Thousands to millions of individual models are
  created by randomly choosing the values for the
  random variables.
• Direct Linearization RSS
• Uses the methods discussed previously.
• Bivariate DLM
• Statistical method for position error where x and
  y error are not independent.

68
Bivariate Normal Position Error
Variance Equations
The partial derivatives are the
sensitivities that come from the C-EB-1A matrix
69
Statistical Method Results
70
Comparison of both deterministic and
probabilistic methods.
71
Benefits of Bivariate DLM

• Accurate representation of the error zone.
• Easily automated. CE/TOL already uses the method
  for assemblies.
• Extremely efficient compared to Monte Carlo and
  Vertex Analysis.
• Can be used as a substitute for worst-case
  methods by using a large sigma-level