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Programmation linéaire, Jeux, Complexité
http//www.lri.fr/mdr
Professeur Michel de Rougemont mdr_at_lri.fr http/
/www.lri.fr/mdr
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Jeux et Complexité

• Jeux, Equilibres
• Complexité, NP-complétude
• Programmation entière
• Approximation

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Jeux à somme nulle
Deux joueurs I et II
Gain de II - Gain de I Jeu Morra chaque
joueur cache 1 ou 2 Euros et cherche à deviner le
choix de lautre joueur. Il gagne sil devine
correctement. Si 1 seul joueur gagne, son gain
est le montant caché total, payé par lautre
joueur, sinon le gain est de 0
4
Gains des joueurs
Résultat du jeu Joueur I
Montrons que la réponse de II peut être
pure Toute solution pure doit satisfaire
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Programme linéaire
Conclusion Joueur II peut jouer une stratégie
pure
6
Exemple Morra
Conclusion
Solution x 0,3/5,2/5,0 Résolution par
simplex. Trouver une solution initiale
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Théorème Minimax
Situation pour le joueur II
Problème dual du précédent. Théorème Max Min
Min Max
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Equilibre de Nash
Solution x 0,3/5,2/5,0. Pour le dual y
0,3/5,2/5,0. Solution (x,y) est un
équilibre de Nash, une paire de stratégies telles
que Les stratégies sont des meilleures
réponses mutuelles (B-A). Généralisation aux
jeux à somme non nulle.
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Exemple simple
Exemple Matrice Programme linéaire
Solution x 1/2, 1/2 Interprétation
graphique Sommet de lenveloppe inférieure
1
10
Jeux matriciels
Deux joueurs les gains des I et II sont définies
par deux matrices A,B de même dimension. Pour n
joueurs, n hypercubes.
Solution possible x 2/3,1/3 , y
1/3,2/3 Solution (x,y) est un équilibre de
Nash.
11
Jeux matriciels
Par dualité
Pour le joueur II
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C.N.S. pour être un équilibre de Nash
Un couple (x,y) est un équilibre de Nash ssi il
existe u,v tel que
Programme linéaire contraintes quadratiques de
complémentarité. Simplex complémentarité
Lemke-Howson
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Algorithme de Lemke-Howson
Procédure algorithmique pour trouver des
équilibres Simplex complémentarité.

• LH Graphes dans les simplex de I et II
• Extrémités du simplex
• Points frontières

Exemple
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Algorithme de Lemke-Howson

• LH Graphes dans les simplex de I et II
• Extrémités du simplex
• Points frontières

Exemple
15
Algorithme de Lemke-Howson
Colonnes de B
Lignes de A
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Algorithme de Lemke-Howson

• Coloriage LH Graphes dans les simplex de I et II
• 5 couleurs (1,2) pour I et (3,4,5) pour II.
• Coloriage dans le simplex de I

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Algorithme de Lemke-Howson
3
5
(0,1)
3
1
(1/2,1/2)
(2/3,1/3)
4
5
(1,0)
2
4
1
4
3
(0,0,1)
(0,1/2,1/2)
1
2
3
1
(2/3,0,1/3)
4
2
(0,1,0)
(1,0,0)
2
3
5
4
2
5
Couleurs Lemke-Howson
1
2
4
5
3
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Algorithme de Lemke-Howson
Lemke-Howson
Exemple
Procédure algorithmique Commencer en
(0,0),(0,0,0) et choisir une couleur à exclure
pour x puis pour y. On termine sur un équilibre
de Nash.
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Exemple 2
Daprès B. Von Stengel, Computing Equilibria for
two-person games, Handbook of Game theory with
Economic applications, 2002.

• Algorithme LH
• Points frontières pour I (1/3,2/3) et (2/3,1/3)
• pour II
• 2. Coloriage des points

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Coloriage Lemke-Howson
3
4
(1/3,2/3)
3
(0,1)
1
(2/3,1/3)
4
5
(1,0)
4
5
2
1
4
3
(0,0,1)
(0,1/3,2/3)
2
3
1
(0,1,0)
(1,0,0)
2
3
5
4
5
1
(2/3,1/3,0)
1
2
5
Couleurs Lemke-Howson
1
2
4
5
3
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Equilibres de lexemple 2

• Equilibres de Nash
• (1,0) et (0,0,1)
• (1/3,2/3) et (2/3,1/3,0)
• (2/3,1/3) et (0,1/3,2/3)

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Existence dEquilibres
Point-fixe Brouwer
Lemme de Sperner
Equilibre Arrow-Debreu
Point-fixe Kakutani
Equilibre Nash

Preuves non-constructives.
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Lemme de Sperner

• Etiquetter un simplex
• Chaque point frontière ne peut pas avoir
  létiquette du sommet opposé.
• Chaque point intérieur a une étiquette
  arbitraire.

0
1
0
0
1
1
2
2
2
0
1
2
2
2
1
Sperner il existe un triangle 0-1-2
Commencer sur le côté gauche avec une arête 0-1
qui détermine un triangle qui admet une autre
autre arête 0-1. On parcourt ainsi des triangles
1 seule fois. Il existe un nombre fini de
triangles et on doit terminer sur 0-1-2.
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Point fixe de Brouwer
Brouwer
0
1
1
2
Soit un découpage en
triangles de plus en plus fins. Déterminer un
coloriage en détectant le côté traversé par
. Cest un étiquettage de Sperner. Il existe
un triangle ti 0-1-2 de centre mi . Pour une
séquence de mi il existe une sous-séquence xi qui
converge vers x, point fixe.
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Point fixe de Kakutani
Soit Fonction à valeur convexe. Graphe
continuité
Preuve réduire le problème à lexistence dun
point fixe de Brouwer. Définir à létape i de la
triangulation Sur la triangulation. Ensuite par
interpolation linéaire. La fonction est continue
et a un point fixe en xi. La séquence des xi.
Admet une sous-séquence qui converge vers x.
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Existence de Nash
Soit
Preuve montrer que la fonction
est à valeurs convexes et continue comme
graphe. On applique Kakutani et on obtient un
équilibre de Nash.
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Equilibre Arrow-Debreu

• Entrée
• Ensemble B dacheteurs
• Ensemble A de biens divisibles
• Vecteur M de valeurs mi entières pour chaque
  acheteur
• Matrice Utilité ui,j donnant lutilité du
  produit i pour lacheteur j.
• Sortie vecteur de prix pi pour chaque produit i
• Chaque acheteur maximise son utilité
• Tout est dépensé
• Tout est acheté

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Equilibre Arrow-Debreu

• Arrow-Debreu il existe un vecteur p qui résout
  le marché.
• Preuve définir un potentiel pour p.
• Si la demande trop forte, augmenter p

• Daprès Brouwer, il existe un point fixe qui
  résoud le marché.
• Observations
• Léquilibre peut-être non calculable au sens des
  réels (Richter et Wong)
• Algorithme polynomial au sens BSS (Devanur,
  Papadimitriou, Saberi, Vazirani)

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Classes PPA et PPAD

• PPA Polynomial Parity Argument
• PPAD Polynomial Parity Argument in Directed
  graphs

A est dand PPA (PPAD) si Il existe une TM avec
états. Graphe détats de degré
au plus 2. Etat (0,0,..0) est une
feuille. Problème trouver une autre feuille.
(Papadimitriou, On the Complexity of the Parity
argument, JCSS 1994) Exemple Sperner est dans
PPAD
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NP -complétude
Existe-t-il un algorithme polynomial? Exemple
SAT (variables booléennes)
Pas dalgorithme polynomial connu. Définition
Un problème est NP sil est vérifiable en temps
polynomial. A est réductible à B
sil existe une fonction f calculable en
temps polynomial t.q. A est NP-complet si A est
NP et tout B de la classe NP est réductible à
A. Théorème. SAT est NP-complet
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Programmation linéaire en nombres entiers
Théorème. PL est NP-complet Réduction à
SAT
Pas dalgorithme polynomial connu. Définition
Un problème doptimisation est
sil existe un algorithme polynomial
dont la solution A(x) est t.q.
Théorème. Si PL est
alors PNP.
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Couverture, Hamiltonicité, Voyageur de commerce
1
1
5
2
2
4
9
6
3
3
2
10
2
6
7
4
Couverture ensemble (minimum) darêtes qui
couvre tous les nœuds. Circuit Hamiltonien
circuit qui passe une seule fois par tous les
nœuds. Voyageur de Commerce circuit hamiltonien
qui minimise Théorème ces 3 problèmes sont
NP-complets
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Couverture est approximable
Couverture minimum ensemble (minimum) darêtes
qui couvre tous les nœuds. Algorithme prendre
une arête e(u,v), lajouter à C et retirer u et
v au graphe. Comment évaluer Tout nœud est
couvert On en déduit Algorithme 0.5
approximatif.
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Voyageur de commerce nest pas approximable
VC n arêtes qui définissent un circuit
hamiltonien de coût minimum. Sil existe un
algorithme dapproximation, alors PNP. Réduire
HAM à Soit Gn donné introduire des coûts de
1 pour les arêtes de Gn et de
pour les autres. Si on approxime VC à
près, alors si la solution est proche de n, HAM
est vrai sinon HAM est faux. Pas dalgorithme
dapproximation.
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Complexité et approximation

• 3 solutions possibles
• Problème est approximable pour un
• (Couverture)
• Problème est approximable pour tout
• Knapsack (Sac-à-dos)
• Problème est non approximable (VC)
• Approximation par échantillonnage
• MAXCUT, 3COL.
• Estimer ces fonctions sur des sous-graphes
  aléatoires et faire la moyenne.

G
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Applications
1.Recherche opérationnelle classique. 2.
Analyse dalgorithmes Simplex est polynomial en
perturbation (smoothed complexity, Spielman
2001) 3. Jeux et Complexité. Les joueurs ont des
ressources bornées. Les équilibres changent
lorsquon prend en compte la complexité. 4.
Mécanismes. Quel est le jeu lorsquon part dun
équilibre? Enchères, enchères combinatoires. 5.
Economie de linformation. Comment construire des
modèles de valeur pour un site, un email, un
formulaire?