Introduction au CHAOS

1
Introduction au CHAOS

• D après Larry Liebovitch, Ph.D.
• Université de Floride Atlantique
• 2004 extrait traduit approximativement par
  D.Seban

2
Ces deux ensembles de données ont les mêmes

• moyennes
• aspects irréguliers
• gammes dintensité

3
(No Transcript)
4
Hasard (random) x(n) RND
Données 1
5
CHAOS Déterministe x(n1) 3,95 x(n) 1-x(n)
Données 2
6
etc.
7
(No Transcript)
8
Hasard random x(n) RND
Données 1
9
CHAOS déterministe x(n1) 3,95 x(n) 1-x(n)
Données 2
x(n1)
x(n)
10
CHAOS
Définition
on prédit cette valeur
Déterministe
Avec ces valeurs
11
CHAOS
Définition
Petit nombre de Variables
x(n1) f(x(n), x(n-1), x(n-2))
12
CHAOS
Définition
Résultat Complexe
13
CHAOS
Propriétés
Espace des phases de basse dimension
d 1, chaos
d , hasard
espace des phases
14
CHAOS
Propriétés
Sensibilité aux conditions initiales
Valeurs initiales très proches
Valeurs finales très différentes
15
CHAOS
Propriétés
Bifurcations
Petit changement pour un paramètre
Un motif
Un autre motif
16
Séries temporelles
X(t)
Y(t)
Z(t)
enchassées
17
Espace des phases
Z(t)
Y(t)
X(t)
18
Attracteurs dans lespace des phases
Equation logistique
X(n1) 3,95 X(n) 1-X(n)
X(n1)
X(n)
19
Attracteurs dans lespace des phases
Z(t)
Equations de Lorenz
Y(t)
X(t)
20
Le nombre de variables indépendantes est
supérieur à la dimension fractale d de
lattracteur
Equation logistique
espace des phases
Séries temporelles
dlt1
X(n1)
X(n)
Ici d lt 1, léquation des séries f(t) qui ont
généré cet attracteur depend d1 variable
indépendante.
21
Le nombre de variables indépendantes est
supérieur à la dimension fractale d de
lattracteur
Equations de Lorenz
espace des phases
séries f(t)
d 2.03
Z(t)
X(n1)
n
X(t)
Y(t)
Ici d 2.03, léquation des séries f(t) qui ont
généré cet attracteur dépend de 3 variables
indépendantes. .
22
Données 1
Séries temporelles
Espace des phases avec attracteur dont la
dimension fractale tend vers linfini
Quand , Les séries temporelles ont
été générées par un mécanisme aléatoire.
d
23
Données 2
séries temporelles
espace des phases
d 1
Quand d 1 , les séries ont été générées par
un mécanisme déterministe.
24
Espace des phases
Construit par des mesures directes
Mesures X(t), Y(t), Z(t)
Z(t)
Chaque point dans lespace des phases muni dun
repère, a des coordonnées X(t), Y(t), Z(t)
X(t)
Y(t)
25
Espace des phases
Construit à partir dune seule variable
Théorème de Takens Takens 1981 In Dynamical
Systems and Turbulence Ed. Rand Young,
Springer-Verlag, pp. 366 - 381
X(t)
26
Position et vitesse de déplacement de la membrane
dune cellule ciliée de loreille interne
Teich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh),
Suppl. 467 265 - 279
10-1
stimulus 171 Hz
vitesse (cm/sec)
-10-1
3 x 10-5
déplacement (cm)
-10-4
Rappel physiologique http//www.med.univ-tours.f
r/enseign/orl/Otol/aud/phyoi3/phyoi3.html
27
Position et vitesse de déplacement de la membrane
dune cellule ciliée de loreille interne
Teich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh),
Suppl. 467 265 - 279
3 x 10-2
stimulus 610 Hz
vitesse (cm/sec)
-3 x 10-2
déplacement (cm)
5 x 10-6
-2 x 10-5
28
Cellules myocardiques de poussin
micro-électrode
Glass, Guevara, Bélair Shrier. 1984 Phys. Rev.
A291348 - 1357
v
source électrique
voltmètre
cellule cardiaque de poussin
29
Cellules myocardiques de poussin
Battement spontané, pas de stlimulation externe
voltage
temps
30
Cellules myocardiques de poussin
Stimulées périodiquement 2 stimulations - 1
battement
21
31
Cellules myocardiques de poussin
Stimulées périodiquement 1 stimulation - 1
battement
11
32
Cellules myocardiques de poussin
Stimulées périodiquement 2 stimulations - 3
battements
23
33
Le Pattern de battement des cellules myocardiques
de poussin
Glass, Guevara, Bélair Shrier.1984 Phys. Rev.
A291348 - 1357
Stimulation périodique - réponse chaotique
34
Le Pattern de battement des cellules myocardiques
de poussin poursuivi
phase de battement en fonction du stimulus
phase vs. phase précédente
expérience
théorie (carte en arcs de cercle)
1.0
0.5
i 1
0
0.5
1.0
0
0.5
1.0
i
35
Le Pattern de battement des cellules myocardiques
de poussin
Glass, Guevara, Belair Shrier.1984 Phys. Rev.
A291348 - 1357
Tant que la courbe dans lespace des phases est
de dimension 1, la synchronisation entre les
battements de ces cellules peut être décrite par
une relation déterministe.
36
Procédure

• Séries temporelles
• Par ex. le voltage en fonction du temps
• Représenter les séries temporelles en un objet
  géométrique (variété topologique). Cette
  opération sappelle enchassement (embedding)

37
Procédure

• Déterminer les propriétés topologiques de cet
  objet
• et particulièrement,
• sa dimension fractale
• Dimension fractale élevée
• hasard
• Dimension fractale basse
• Chaos déterministe

38
La dimension fractale nest pas égale à la
dimension fractale!
39
Dimension fractale dcombien de nouveaux détails
de la série temporelle apparaissent quand ils
sont observés à une échelle de résolution
temporelle plus fine.
X
temps
40
Dimension fractaleLa dimension d de
lattracteur dans lespace des phases est corrélé
au nombre de variablesindépendantes
x(t2 t)
d
X
x(t)
x(t t)
temps
41
Mécanisme qui génère les données
Chance d(espace des phases)
Données
?
x(t)
Déterminisme d(espace des phases) faible
t
42
Lorenz1963 J. Atmos. Sci. 2013-141
(Rayleigh, Saltzman)
Modèle
Air froid
Air Chaud
43
Lorenz1963 J. Atmos. Sci. 2013-141
Equations
44
Lorenz1963 J. Atmos. Sci. 2013-141
Equations

• X vitesse de la circulation convective
  X gt 0 sens horaire,
  X lt 0 sens anti-horaire
• Y différence de
• température entre les flux montants et
  descendants

45
Lorenz1963 J. Atmos. Sci. 2013-141
Equations

• Z température du bas vers le haut moins le
  gradient linéaire

46
Lorenz1963 J. Atmos. Sci. 2013-141
Espace des phases
Z
X
Y
47
Attracteur de Lorenz
Cylindre dair tournant dans le sens anti-horaire
cylindre dair tournant dans le sens horaire
X lt 0
X gt 0
48
Sensibilité aux conditions initialesEquations de
Lorenz
Condition initiale
X 1.
X(t)
0
différent
identique
X 1.00001
X(t)
0
IXsommet(t) - Xbase(t)I e t Exposant de
Liapunov
49
Déterministe non-chaotique
X(n1) f X(n)
Précision des valeurs calculées pour X(n)
1,736 2,345 3,254 5,455 4,876
4,234 3,212
50
Déterministe chaotique
X(n1) f X(n)
Précision des valeurs calculées pour X(n)
3,455 3,45? 3,4?? 3,??? ? ? ?
51
Conditions initiales X(t0), Y(t0), Z(t0)...
Univers de lhorloger détermimiste non-chaotique
Calcul possible de toutes les valeurs
futures X(t), Y(t), Z(t)...
Equations
52
Conditions initiales X(t0), Y(t0), Z(t0)...
Univers Chaotique Chaotique déterministe
sensibilité aux conditions initiales
Impossibilité de calculer à long terme X(t),
Y(t), Z(t)...
Equations
53
Attracteur Etrange de Lorenz
En partant de loin
Les trajectoires venant du dehors sont attirées
VERS lui doù son nom dattracteur!
54
Attracteur Etrange de Lorenz
En partant dedans
Des trajectoires proches sur lattracteur sont
poussées vers la séparation lune de
lautre BIFURCATION (sensitibilité aux
conditions initiales)
55
Lattracteur Etrangeest fractal
espace des phases
ordinaire
étrange
56
Chaotiquesensibilité aux conditions initiales
Séries temporelles
X(t)
X(t)
t
t
non chaotique
chaotique
57
Shadowing Theorem
Si les erreurs à chaque étape dintégration sont
petites, il existe une trajectoire EXACTE qui
arrive à une petite distance de la trajectoire
erronée que nous avons calculée
58
Shadowing Theorem
Il existe un nombre INFINI de trajectoires dans
un attracteur. Quand nous sortons de
lattracteur, nous sommes aspirés vers larrière
à une vitesse exponentielle. Nous sommes sur une
trajectoire exacte, pas juste sur celle où nous
croyons être.
59
4. Nous sommes sur une trajectoire réelle
3. puis nous sommes attirés vers lattracteur
2. Lerreur nous fait sortir de lattracteur
1. Nous démarrons ici
Trajectoire que nous essayons de calculer
Trajectoire que nous calculons en réalité
60
La sensibilité aux conditions initiales signifie
que les conditions de lexpérience peuvent être
très semblables, mais que les résultats peuvent
être assez différents.
61

Mardi
10 µl
ArT
62

Vendredi
10 µl
ArT
63
X(n 1) A X(n) 1 -X (n)
A 3,22
X(n)
n
64
X(n 1) A X(n) 1 -X (n)
A 3,42
X(n)
n
65
Bifurcation
A 3,62
X(n)
n
66
x(n 1) A x(n) 1 -x(n)

• Commencez avec une valeur de A
• commencez avec x(1) 0,5
• utilisez léquation pour calculer
• x(2) à partir de x(1).
• utilisez léquation pour calculer
• x(3) à partir de x(2) et ainsi de
  suite... jusquà x(300).

67
x(n 1) A x(n) 1 -x(n)

• Ignorez x(1) à x(50), ce ne sont que les valeurs
  de transition hors de lattracteur.
• Tracez x(51) to x(300) sur laxe des Y au-dessus
  de la valeur de A sur laxe des X.
• Changez la valeur de A, et
• répétez la procédure.

68
Des changements soudains dans le pattern
indiquent la présence de bifurcations ( )
x(n)
x(n)
69
Glycolyse
Lénergie du glucose est transferrée dans lATP.
LATP est utilisé comme une source dénergie pour
piloter les réactions biochimiques.
-

-
70
Glycolyse
Théorie Markus and Hess 1985 Arch. Biol. Med.
Exp. 18261-271
entrée sucre
sortie ATP
périodique
temps
temps
chaotique
temps
temps
71
Glycolyse
Expériences Hess and Markus 1987 Trends. Biomed.
Sci. 1245-48
Consommation dénergie par de la levure de
boulanger
ATP mesuré par fluorescence entrée de glucose
temps
72
Glycolyse
Périodique
fluorescence
Expériences Hess and Markus 1987 Trends. Biomed.
Sci. 1245-48
Vin
73
Glycolyse
Expériences Hess and Markus 1987 Trends. Biomed.
Sci. 1245-48
Chaotique
20 min
74
Glycolyse Markus et al. 1985. Biophys. Chem
2295-105
Diagramme de Bifurcation
théorie
expérience
chaos
75
Glycolyse Markus et al. 1985. Biophys. Chem
2295-105
LADP mesuré à la même phase du cycle du
glucose (lATP est en rapport avec lADP)
période de concentration en ATP

période du cycle du glucose
fréquence du cycle du glucose
76
Transitions de phase Haken 1983 Synergetics An
Introduction Springer-Verlag Kelso 1995
Dynamic Patterns MIT Press
Faites battre lindex gauche au rythme (en
phase) avec le métronome.
Essayez de faire battre lindex droit hors du
rythme du métronome.
77
Transitions de phase Haken 1983 Synergetics An
Introduction Springer-Verlag Kelso 1995
Dynamic Patterns MIT Press
Pendant que la fréquence du métronome augmente,
lindex droit passe dune oscillation hors-phase
(décalé / métronome) à une oscillation en phase.
78
Transitions de phase Haken 1983 Synergetics An
Introduction Springer-Verlag Kelso 1995
Dynamic Patterns MIT Press
A. Séries temporelles
ABD
ADD
Position de lindex droit Position de lindex
gauche
79
Transitions de phase auto-organisées Haken 1983
Synergetics An Introduction Springer-Verlag
Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press
B. Évaluation du point de phase relative
360o
180o
2 sec
0o
Position de lindex droit
80
Transition de phase Haken 1983 Synergetics An
Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic
Patterns MIT Press
cette bifurcation peut sexpliquer comme un
changement de fonction dénergie potentielle
semblable au changement qui survient dans une
transition de phase physique.
Potentiel du système
paramètre de contrôle
81

De petits changements dans les paramètres peuvent
produire de gros changements dans le comportement.
10cc ArT

9cc ArT
82
Les bifurcations peuvent servir à tester si le
système est déterministe
Modèle mathématique déterministe
Expérience
Bifurcations prédites
Bifurcations observées
correspondance ?
83
La dimension fractale de lespace des phases nous
dit si les données étaient générées par le hasard
ou par un mécanisme déterministe.
Données expérimentales
x(t)
t
84
La dimension fractale de lespace des phases nous
dit si les données étaient générées par le hasard
ou par un mécanisme déterministe.
Espace des phases
X(t)
85
La dimension fractale de lespace des phases nous
dit si les données étaient générées par le hasard
ou par un mécanisme déterministe.
d bas
d
Déterministe
Hasard
Mécanisme qui a généré les données expérimentales
86
Epidémies Schaffer and Kot 1986 Chaos ed. Holden,
Princeton Univ. Press
New York
varicelle
rougeole
4000
15000
Séries temporelles
0
0
Espace des phases
87
Epidémies Olsen and Schaffer 1990 Science
249499-504 dimension de lattracteur dans
lespace des phases
varicelle
rougeole
Kobenhavn 3,1 3,4 Milwaukee
2,6 3,2 St. Louis
2,2 2,7 New York 2,7
3,3
88
Epidémies Olsen and Schaffer 1990 Science
249499-504
Modèles SEIR 4 variables indépendantes
S susceptible prédisposé
E exposé, mais pas encore
infecté I
infecté R recovered
convalescent
89
Epidémies Olsen and Schaffer 1990 Science
249499-504
Conclusion rougeole chaotique
varicelle quasi cyclique annuel
90
Electrocardiogramme enregistrement électrique de
lactivité musculaire cardiaque
Séries temporelles voltage Kaplan and Cohen 1990
Circ. Res. 67886-892
Fibrillation ventriculaire mort
normal
Espace des phases V(t), V(t t)
8
D hasard
D 1 chaos
91
Electrocardiogramme enregistrement électrique de
lactivité musculaire cardiaque
normal
Séries temporelles voltage Babloyantz and
Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58203-211
D 6 chaos
92
Electrocardiogramme enregistrement électrique de
lactivité musculaire cardiaque
normal
Séries temporelles intervalle de temps entre les
battements cardiaques Babloyantz and Destexhe
1988 Biol. Cybern. 58203-211
D 6 chaos
FV mort
Evans, Khan, Garfinkel, Kass, Albano, and Diamond
1989 Circ. Suppl. 80II-134
D 4 chaos
arythmies induites
Zbilut, Mayer-Kress, Sobotka, OToole and Thomas
1989 Biol. Cybern, 61371-381
D 3 chaos
93
Electroencephalogramme enregistrement électrique
de lactivité cérébrale Mayer-Kress and Layne
1987 Ann. N.Y. Acad. Sci. 50462-78
Espace des phases
séries temporelles V(t)
V(t)
V(t t)
D8 chaos
94
Electroencephalogramme enregistrement électrique
de lactivité cérébrale
Rapp, Bashore, Martinerie, Albano, Zimmerman, and
Mees 1989 Brain Topography 299-118
Babloyantz and Destexhe 1988 In From Chemical to
Biological Organization ed. Markus, Muller, and
Nicolis, Springer-Verlag
Xu and Xu 1988 Bull. Math. Biol. 5559-565
95
Electroencephalogramme enregistrement électrique
de lactivité cérébrale
Différents groupes de chercheurs trouvent
différentes dimensions en appliquant les mêmes
conditions expérimentales
96
Electroencephalogramme enregistrement électrique
de lactivité cérébrale
Peut-être que
tâche mentale Éveil calme, paupières
fermées Sommeil virus Creutzfeld
-Jakob Epilepsie petit mal Méditation, Qi-kong
dimension élevée
basse dimension
97
Chaîne aléatoire de Markov
Comment calculer le x(n) suivant Chaque t
pioche un nombre R au hasard entre 0 et 1
0 lt R lt 1 Si ouvert et que R lt pc -gt fermé Si
fermé et que R lt po -gt ouvert
98
Chaîne de Markov
Etat ouvert probabilité de se fermer dans létat
suivant t pc
ouvert
Etat fermé probabilité de souvrir dans
létat suivant tpo
t
fermé
99
Carte ditération déterministe Liebovitch Tóth
1991 J. Theor. Biol. 148243-267
ouvert
x(n1)
fermé
x(n)
x(n) état au temps n x(n1) f (x(n))
100
Carte ditération déterministe Liebovitch Tóth
1991 J. Theor. Biol. 148243-267
Comment calculer le x(n) suivant
x(3)
x(2)
0
0
x(2)
0
x(1)
0
101
Ecroulement du pont de Tacoma
Le 7 novembre 1940, le pont suspendu de Tacoma
entre en oscillation sous l'action du
vent. L'amplitude de torsion devient excessive et
le pont s'écroule.
Une revue moderne explique pourquoi les
explications données dans les livres de physique
est fausse Billah and Scanlan 1991 Am. J.
Phys. 59118-124
102
Le pont de Tacoma
Equation de la vibration qui a détruit le pont
de Tacoma x Ax Bx f ( x, x )
103
Hasard
Comme une petite molécule commutée sans cesse
dun état à lautre par la chaleur qui lentoure
(agitation moléculaire)
le changement détat est provoqué par des
fluctuations thermiques kT aléatoires
OUVERT
FERME
hasard
énergie
104
Déterministe
Comme une petite machine mécanique avec des
cliquets et des ressorts
Le changement détat est commandé par des
mouvements cohérents qui résultent de la
structure et des forces atomiques,
électrostatiques et hydrophobes des protéines
constituant le canal.
ouvert
fermé
énergie
déterministe
105
Analyse des données expérimentales
La bonne nouvelle
En principe, vous pouvez savoir si les données
ont été générées par un mécanisme aléatoire ou
déterministe
106
Analyse des données expérimentales
La mauvaise nouvelle
En pratique, ce nest pas facile.
107
Pourquoi cest difficile de savoir si un
mécanisme est aléatoire ou déterministe
Beaucoup de données nécessaires

• Très grosse masse de données 10d?
• Le taux déchantillonage doit couvrir
  lattracteur uniformément
• .échantillonnage trop fréquent on
  voit seulement les trajectoires 1-d
  .échantillonage trop rare on ne voit plus
  lattracteur du tout

108
Pourquoi cest difficile de savoir si un
mécanisme est aléatoire ou déterministe
Lanalyse des données est délicate

• Choix de lintervalle de temps t pour
  lenchassement
• intervalle trop court la variable
• ne change pas assez,
• les dérivées ne sont pas précises
• intervalle trop long la variable change
  trop, les dérivées ne sont pas précises.
• Méthode dévaluation de la dimension.

109
Pourquoi cest difficile de savoir si un
mécanisme est aléatoire ou déterministe
Les mathématiques ne sont pas la connaissance

• Les théorèmes denchassement ne sont prouvés que
  pour les séries temporelles lisses.

110
Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ?
N Nombre de valeurs dans les séries
temporelles, nécessaires pour évaluer
correctement la dimension dun attracteur de
dimension D
N quand D 6
111
Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ?
Smith 1988 Phys. Lett. A133283 42D
5000000000
Wolff et al. 1985 Physica D16285 30D
700000000
Wolf et al. 1985 Physica D16285 10D
1000000
112
Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ?
Nerenberg Essex 1990
Phys. Rev. A427065
_______1________ kd1/2A In (k)(D2)/2
D2 2
200000
D/2
2(k-1) ((D4)/2) (1/2) ((D3)/2)
x

113
Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ?
Ding et al. 1993 Phys. Rev. Lett. 703872
10D/2
1000
(D/2)! D/2
Gershenfeld 1990 preprint
2D
10
114
Exemple pathologique où un processus aléatoire de
dimension infinie a un attracteur de BASSE
dimension
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
nombres pris au hasard
115
Exemple pathologique où un processus aléatoire de
dimension infinie a un attracteur de BASSE
dimension
Séries temporelles 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ...
Espace des phases
D 0
6
6
6
116
Organisation des Vecteurs dans lespace des
phases Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett.
68427-430
Hasard
Pas de flux uniforme
petite
direction moyenne
117
Organisation des Vecteurs dans lespace des
phases Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett.
68427-430
Déterministe
Flux uniforme
grande
direction moyenne
118
Expérience
FAIBLE
Séries temporelles
Espace des phases
Dimension basse déterministe élevée hasard
exemples ECG, EEG
119
Expérience
FORTE
Faire varier un paramètre
Voir le comportement
prédit par un modèle non-linéaire
stimulation électrique de cellules,
réactions biochimiques
exemples
120
Contrôle
Système Non-Chaotique
données sortantes
Paramètre de contrôle
121
Contrôle
Système chaotique
données sortantes
Paramètre de contrôle
122
Contrôle des systèmes biologiques
Lancienne manière dagir Un contrôle par la
force brute GROSSE machine GROSSE puissance
Ampères
coeur
123
Contrôle des systèmes biologiques
Nouvelle manière dagir de délicates impulsions
astucieusement rythmées petite machine petite
puissance
mA
coeur
124
Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?
Ancienne façon de voir les choses Des forces
pilotent le système entre des états stables
125
Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?
état stable C
état stable A
Force D
Force E
état stable B
126
Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?
Nouvelle façon de voir Se maintenir un bon
moment dans une condition oblige le système à
évoluer vers une autre condition.
127
Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?
état instable C
état instable A
Dynamique de A
Dynamique de B
état instable B
128
Le Chaos en résumé
PEU DE VARIABLES INDEPENDANTES Mais le
comportement est si complexe quil mime un
comportement aléatoire.
129
Le Chaos en résumé
SYSTEME DYNAMIQUE DETERMINISTE
La valeur des variables à linstant suivant
peut être calculée à partir des valeurs à
linstant précédent. xi (t t) f (xi (t))
130
Le Chaos en résumé
SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALES NON
PREDICTIBLE A LONG TERME
x1(t t) - x2(t t) Ae t
131
Le Chaos en résumé
ATTRACTEUR ETRANGE Lespace des phases est de
basse dimension (souvent fractale).