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Duffing
Système mécanique dont le comportement est
modélisé par une telle équation ? Résoudre avec
CI d'abord x(0)0 et dx(0)/dt0 et ensuite
x(0)0.1 et dx(0)/dt0. idem en supprimant la
non linéarité de l'équation de Duffing Tracer
la solution de Duffing et de Duffing linéarisé
dans le plan des phases. Déterminer la section
de Poincaré de Duffing et de Duffing linéarisé
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Résoudre avec CI x(0)0 et dx(0)/dt0 x(0)0.1
et dx(0)/dt0.
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Résoudre avec CI x(0)0 et dx(0)/dt0 -
x(0)0.1 et dx(0)/dt0.
Duffing
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Résoudre avec CI x(0)0 et dx(0)/dt0 -
x(0)0.1 et dx(0)/dt0.
Résoudre avec CI x(0)0 et dx(0)/dt0 -
x(0)0.1 et dx(0)/dt0.
Duffing linéaire
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Solution dans le plan des phases
Duffing
Auto-intersections car système non
autonomes Eviter auto-intersections travailler à
3D avec tcomme nouvelle variable dépendante
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Solution dans le plan des phases
Duffing linéaire
Présence probable d'un foyer instable et d'un
cycle limite.
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Plan des Phases à 3D
3D ? autres points singuliers qui n'ont pas leur
équivalent à deux dimensions. ex cas des
orbites homoclines dans l'espace des phases ces
dernières se caractérisent par leur éloignement
progressif du point singulier pour ensuite y
revenir brusquement, ce qui serait impossible à
deux dimensions puisqu'on observerait alors une
auto-intersection.
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Déterminer la Section de Poincaré
But Ramener à deux dimensions l'étude du
mouvement dans l'espace des phases
Methode (xdx/dt) non pas en continu mais à
intervalle de temps régulier (période du terme
forçant)
Que nous apporte cette méthode ? Mouvement
périodique point unique (rapport entier) ou
nombre fini de points (rapport rationnel) ou
infinité non dénombrable (rapport irrationnel) -
relier ces points par une courbe continue.
Mouvement chaotique Points formant une courbe
fractale
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Code Matlab pour Tracer une section de Poincaré
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Section Poincaré Duffing Linéaire
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Section Poincaré Duffing
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Plan des phases - Attracteurs
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Code Matlab
Autre exemple de non linéarité
Second membre est un terme forçant dont la
fréquence d'oscillation est croissante avec le
temps
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Autre exemple de non linéarité
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(No Transcript)