Les algorithmes: complexit et notation asymptotique

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Les algorithmes complexité et notation
asymptotique
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Analyse d'algorithmes

• Notation O( )
• Comparer deux algorithmes
• Soient deux algorithmes A1 et A2
• Base de comparaison
• Mesure indépendante de l'implémentation TAILLE
  D'UN PROBLÈME (n)
• Temps d'exécution d'un algorithme
  fonction(taille du problème) i.e. f(n)
• Exemples
• Taille d'une liste (recherche d'un élément dans
  une liste)
• Nombre de nuds d'un arbre (impression d'un
  arbre)
• Taille d'un tableau (tri)

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Analyse d'algorithmes

• Notation O( )

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Analyse d'algorithmes

• Notation O( )

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Analyse d'algorithmes

• Notation O( )
• Exemple évaluer le temps d exécution
  dalgorithme suivant

Boucle externe
void TriSelection(int tabMAXTAB, int n) int
PositionMin, temp,i,j for (i n-1 i gt 0
i--) PositionMin i for (j 0 j
lt i j) if (tabj lt
tabPositionMin) PositionMin j
temp tabi tabi
tabPositionMin tabPositionMin
temp
Boucle interne
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Analyse d'algorithmes

• Notation O( )
• Exemple (suite)

Boucle externe
for (i n-1 igt0 i--) Coût b1 /
PositionMin i / Coût ia / pour exécuter
la boucle interne/ Coût b2 / pour l'échange
de tabi et tabPositionMin /
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Analyse d'algorithmes

• Notation O( )
• Exemple (suite)

bb1 b2 n-1 S ? (ai b) i1
(n-1)n S a (n-1)b
2 a a S n2
(b )n - b 2 2

• Le programme est O(n2)

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Analyse d'algorithmes

• Notation O( )
• Définition du O( )
• Nous dirons que f(n) est O(g(n)) s'il existe deux
  constantes positives K et n0 tel que f(n) lt K
  g(n) pour tout ngtn0
• Conclusion
• Évaluer le coût d'un algorithme Rechercher la
  fonction g(n) qui est la plus proche au dessus ou
  égale a f(n)

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Analyse d'algorithmes

• La recherche séquentielle
• Données pas triées
• recherche(3) 1 comparaison
• recherche(10) 11 comparaisons
• recherche(12) 7 comparaisons
• recherche(13) 11 comparaisons
• meilleur cas O(1)
• pire cas O(n)
• en moyenne O(n/2)
• absences O(n)

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Analyse d'algorithmes

• La recherche séquentielle
• Données triées
• recherche(1) 1 comparaison
• recherche(14) 11 comparaisons
• recherche(8) 6 comparaisons
• recherche(13) 11 comparaisons
• meilleur cas O(1)
• pire cas O(n)
• en moyenne O(n/2)
• absences O(n/2)

11
(No Transcript)
12
(No Transcript)
13
Analyse d'algorithmes

• La recherche binaire
• implantation en tableau accès direct à
  nimporte quel élément
• en regardant tout de suite au milieu, on peut
  éliminer la moitié des données

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Analyse d'algorithmes

• La recherche binaire 10?

1 2 3 4 6 8 9 10
11 12 14
11 n
9 10 11 12 14
5 n/2
9 10
2 n/4
1 n/8
10
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Analyse d'algorithmes

• Algorithme récursif
• récursion ?
• conditions darrêt ?
• convergence ?

1 2 3 4 6 8 9 10
11 12 14
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Analyse d'algorithmes

• Algorithme récursif - récursion
• X ? tabdebut..fin
• si x tabmilieu (condition darrêt)
• si x lt tabmilieu et x ? tabdebut..milieu-1
• si x gt tabmilieu et x ? tabmilieu1..fin

1 2 3 4 6 8 9 10
11 12 14
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Analyse d'algorithmes

• Algorithme récursif - conditions darrêt
• X tabdebut..fin si debut gt fin
• X ? tabdebut..fin si x tabmilieu

1 2 3 4 6 8 9 10
11 12 14
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Analyse d'algorithmes

• Algorithme récursif - convergence

1 2 3 4 6 8 9 10
11 12 14
9 10 11 12 14
9 10
10
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Analyse d'algorithmes

• Algorithme récursif

1 2 3 4 6 8 9 10
11 12 14
int rechercheBinRec(int tab , int val, int
debut, int fin) int milieu if (debut gt fin)
return -1 else milieu (debut fin)/2
if( val tabmilieu) return milieu
else if( val lt tabmilieu) return(rec
hercheBinRec(tab,val,debut, milieu-1)) else
return(rechercheBinRec(tab,val,milieu1,fin))

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Analyse d'algorithmes

• Algorithme récursif
• Recherche séquentielle (données triées)
• Données présentes O(n/2)
• Données absentes O(n/2)
• Recherche binaire (données triées)
• Données présentes O(log n)
• Données absentes O(log n)

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Analyse d'algorithmes

• Algorithme récursif
• Il vaut bien mieux implanter cet algorithme de
  manière itérative, car
• la fonction se rappelle jusqu'à trouver la
  position désirée, puis seulement on effectue les
  dépilages, alors que l'on n'a plus besoin des
  états intermédiaires qui ont été mémorisés par la
  récursivité puisque le problème est résolu.