S

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Séminaire Florin PérierAlain GélyLIMOS
Alain Gély (gely_at_isima.fr) - 2004
2
(No Transcript)
3
La complexité en informatique
4
Quelques problèmes

• Un nombre N est-il divisible par 4 ?

• Soit une série de nombre, trier ces nombres

• Soit le problème classique de la tour de Hanoi,
  afficher la liste des mouvements nécessaires pour
  le résoudre.

• Un voyageur de commerce désire faire sa tournée,
  existe-t-il une tournée de moins de 50 km ?

5
David Hilbert son problème n10

• 1862 - 1943
• Liste des 23 problèmes de Hilbert (1900)
• Problème numéro 10

Trouver un algorithme déterminant si une
équation diophantienne à des solutions
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Alonzo Church le ?-calcul

• 1903 - 1995
• Résultat sur la calculabilité
• Développement du lambda-calcul
• 1936 Démontre lexistence d un problème
  indécidable
• Thèse de Church

7
Kurt Godël

• 1906 - 1978
• Théorème d Incomplétude

 pour tout système formel S contenant le langage
de l'arithmétique, il existe une proposition G
indémontrable dans S 
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La complexité en informatique
(Et aussi un peu de calculabilité / décidabilité)
9
Evaluation dun algorithme
Opérations élémentaires
Entrées
Résultat
Algorithme
10
Le codage des données
Utilisation d un codage raisonnable

• Pour un problème I, on demande 2 caractéristiques
  à un codage raisonnable
• Il doit être concis, sans informations inutiles
• Les nombres doivent être représentés dans une
  base différente autre que la base 1 (binaire,
  octal, décimal, etc.)

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Comportement asymptotique des fonctions
Notation O O(g(n)) f(n) il existe des
constantes positives c et n0 tel que 0 ? f(n) ?
c.g(n) pour tout n ? n0
f
Notation ? ? (g(n)) f(n) il existe des
constantes positives c et n0 tel que 0 ? c.g(n)
? f(n) pour tout n ? n0
Notation ? ?(g(n)) f(n) il existe des
constantes positives c1 et c2, et n0 tel que 0
c1.g(n) ? f(n) ? c2.g(n) pour tout n n0
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Notation O - exemples
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Exemple de complexité - Tri
Entrée T, un tableau de n nombres Sortie T,
le tableau trié
Pour j allant de 2 à longueur(T) faire X ?
Tj i ? j-1 Tant que igt0 et AigtX
faire Ai1 ? Ai Ai1 ? X
O(1)
O(1)
O(1)
O(1)
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Donald Knuth

• 1938 -
• The art of computer programming

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Evolution du temps d'exécution en fonction de la
complexité
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Augmentation de la puissance des machines
Taille d un problème traitable en une heure
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Complexité polynomiale et exponentielle
De manière informelle, un problème disposant
d un algorithme polynomial pour le résoudre est
un problème facile
Polynomial
Exponentiel
Facile
Difficile
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Problèmes Classes de complexités
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Alan Matheson Turing La machine de Turing

• 1912 - 1954
• Inventeur de la Machine de Turing

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Machine de Turing Déterministe
? 0,1,b
21
Classes de Complexité
Problème de décision
Exemples
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Classes de Complexité
Problème de décision langage accepté par une
machine de Turing
? l ensemble des symboles pouvant être écrit
par l utilisateur sur le ruban ? l ensemble
des mots du langage sur l alphabet LM x ?
? M accepte x Résoudre le problème revient
à savoir si x ? LM
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P
24
La classe P
P L il existe un programme M en temps
polynomial sur une machine de Turing Deterministe
pour lequel LML
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La classe co-P
La classe co-P est le complémentaire de P

• Pour un problème donné de P,
• on montre facilement qu il est dans co-P
• On échange les réponses OUI et NON

• Pour un problème de co-P,
• on montre facilement qu il est dans P (idem)

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NP
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Machine de Turing Non Déterministe
28
La classe NP
NP L il existe un programme M en temps
polynomial sur une machine de Turing Non
Deterministe pour lequel LML
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Exemple de problème de NP
Le voyageur de commerce

• Un voyageur de commerce désire faire sa tournée,
  existe-t-il une tournée de moins de 50 km ?

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b
a-b-e-c-d-a 50km
a
10
10
40
20
10
d
10
10
c
12
10
e
30
NP et co-NP ?
Problème du circuit hamiltonien
Un graphe est-il hamiltonien ?
Un graphe nest-il pas hamiltonien ?
Ce problème ? NP
Ce problème ? co-NP
Est-ce que ce problème ? NP ?
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P et NP

• Résultat le plus général
• Si ??NP, alors il existe un polynôme p tel que
• ? peut être résolu par un algorithme déterministe
  
• avec une complexité de O(2p(n))

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P et NP
Donald devra prendre tous les papiers de la boite
avant de trouver le bon
Gontran trouvera immédiatement le bon papier
Machine de Turing Déterministe
Machine de Turing non Déterministe
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Transformation polynomiale
34
Transformation polynomiale
On note L1 ltlt L2 s il existe une transformation
polynomiale de L1 vers L2
A quoi ça sert ?
Si le problème 2 est facile, le problème 1 est
facile
Si le problème 1 est difficile, le problème 2 est
difficile
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P, NP, NP-Complet
NP

• ? ? NP-Complet ssi
• ? ? NP
• ? ?1?NP, ?1 ltlt ?

NPC
P
Si P ltgt NP
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Stephen Cook SAT est NPC 

• Théorème de Cook  SAT est NPC  (1971)
• Reçoit le Turing Award en 1982 pour ce papier

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Le théorème de Cook (1)
 SAT ? NPC  (Cook71)

• U u1,u2,,um un ensemble de variables
  booléennes.
• Pour u ?U,
• le litteral u est vrai si t(u)T
• le litteral u est vrai si t(u)F
• Une clause est un ensemble de littéraux, ex
  u1,u2,u3
• Une clause est satisfaite si au moins un de ses
  littéraux est vrai
• Une collection de clause est satisfaite s il
  existe une affectation de variables permettant de
  satisfaire simultanément, chacune des clause de
  la collection.

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Le théorème de Cook (2)
Exemples
C (u1,u2) , (u1,u2) est satisfiable t(u1)
Vrai, t(u2) Vrai.
C (u1,u2) , (u1,u2), (u1) n est pas
satisfiable
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Le théorème de Cook (3)
 SAT ? NPC  (Cook71)

• SATISFIABILITY
• INSTANCE
• Un ensemble U de variables booléenne
• Une collection C de clauses définies sur U
• QUESTION
• Existe-t-il une assignation de variables
  satisfaisant C ?

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Le théorème de Cook (4)
1) SAT ? NP
Un algorithme non déterministe a seulement besoin
de deviner une assignation satisfaisant C. La
vérification de cette assignation est clairement
polynomiale. La première condition pour
appartenir à NPC est vérifiée.
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Le théorème de Cook (5)
2) ?L ? NP, L ltlt SAT
Retour au niveau des langages LSATSAT,e
Il faut montrer L ltlt LSAT pour tous les langages
de NP
M ?, ?, b, Q, q0, qY, qN et ? p(n)
42
Le théorème de Cook (6)
fL va être décrite en fonction de ?, ?, b, Q,
q0, qY, qN, ? et p
fL
L
LSAT
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Le théorème de Cook (7)
Idée directrice montrer comment un ensemble de
clauses peut être utilisé pour vérifier si une
entrée x est acceptée par M

• Remarque n1
• A chaque instant, on peut caractériser le système
  par
• contenu des cases
• Position de la tête de lecture/écriture
• Etat Courant

Remarque n2 il n y a pas plus de p(n)1
instants distincts
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Le théorème de Cook (8)
Mise en place des variables booléennes

• fL va construire un ensemble de variable U tel
  que
• label des éléments de Q q0, q1qY, q2qN, q3,
  , qr (avec rQ-1)
• label des éléments de ? s0b, s1, s2, , sv
  (avec v?-1)

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Le théorème de Cook (9)
Affectations de variables acceptation du langage
Clairement, à un langage L accepté par M
correspond une affectation des variables
précédentes. Mais, à une affectation arbitraire
des variables ne correspond pas forcément une
exécution de M.
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Le théorème de Cook (10)
Clauses à rajouter
À chaque instant

• La machine de Turing ne peut avoir quun seul
  état

• La tête de L/E ne peut lire quun symbole

• Une case du ruban ne peut contenir quun symbole

Au début

• M est dans sa configuration initiale

A la fin

• létat de M est qY

Dun instant i à linstant i1

• létat de la machine dépend du précédent

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Le théorème de Cook (11)
Clauses à rajouter

• Q0,0 , H0,1 , S0,0,0
• S0,1,k1 , S0,2,k2 , , S0,n,kn
• S0,n1,0 , S0,n2,0 , ,
  S0,p(n)1,0 ,

• Qp(n),1

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Le théorème de Cook (12)
Clauses à rajouter
49
Le théorème de Cook (13)
Conclusions
fL LongueurfL O(p(n)4)
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Conclusions

• On vient de montrer qu il existe au moins un
  problème NPC
• On ne sait toujours pas si NP - P est peuplé !
• Performances à priori des algorithmes
• Complexité spatiale
• Complexité temporelle
• Problèmes de décisions
• Classes de complexités P et NP
• P NP ?

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Bibliographie

• Garey Johnson  Computers and Intractability -
  A guide to the Theory of NP-completeness 
• Jean-François Rey  Calculabilité, Complexité et
  approximation 
• Stephen Cook  The P vs NP problem 
• Le zoo de la complexité - http//www.complexityzo
  o.com
• Clay mathematic Institute - http//www.claymath.o
  rg

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(No Transcript)