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Tema 10. Las letras griegas
10.1 Introducción 10.2 Estrategia de frenar
pérdidas 10.3 Cobertura delta 10.4 Theta 10.5
Gamma 10.6 Vega 10.7 Rho
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10.1 Introducción

• Una institución financiera que vende una opción a
  un cliente en un mercado over the counter se
  enfrenta al problema de gestionar su riesgo.
• Si la opción fuese igual que alguna negociada en
  un mercado organizado, la institución financiera
  puede neutralizar su exposición comprando en el
  mercado las mismas opciones que ha vendido a sus
  clientes.

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• Sin embargo, cuando las opciones han sido
  adaptadas a las necesidades de los clientes y no
  se corresponden con los productos estandarizados
  negociados en los mercados, la institución
  financiera se encuentra con el problema de
  gestionar su riesgo.
• Aquí es donde entran las llamadas letras griegas.
  Cada letra griega mide una dimensión diferente
  del riesgo en una posición con opciones. El
  objetivo del operador es gestionar estos
  coeficientes (griegas) de forma que todos los
  riesgos sean aceptables.

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• Consideremos una institución financiera que ha
  vendido por 300.00 una opción call europea
  sobre 100.000 acciones. El precio actual de las
  acciones es 49 , el precio de ejercicio 50 , el
  tipo de interés libre de riesgo es el 5 anual y
  la volatilidad del precio de las acciones es el
  20 anual. El tiempo que falta para el
  vencimiento es 20 semanas (0.3846 años). Estas
  acciones no pagan dividendos

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• El valor de Black-Scholes de esta opción es
  aproximadamente 240.000 .
• Por lo tanto, la institución financiera ha
  vendido la opción 60.000 por encima de su valor
  teórico.
• Una posibilidad que tiene la institución
  financiera es no hacer nada. Esto se conoce como
  posición descubierta. Esta estrategia funciona
  bien si el precio del subyacente dentro de 20
  semanas es menor que 50 , en cuyo caso el
  beneficio sería 300.000 .

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• La posición descubierta funcionaría peor si la
  opción se ejerce, ya que la institución
  financiera tendrá que comprar las acciones al
  precio de mercado dentro de 20 semanas. Por
  ejemplo, si dentro de 20 semanas el precio de las
  acciones es 60 , la institución financiera
  tendrá un beneficio de 100.000 x (-60 50)
  300.000 - 700.000 .
• Como alternativa a la posición descubierta está
  la posición cubierta. Esta posición implica
  comprar las 100.000 acciones en el momento de
  vender la opción, pagando 100.000 x 49
  4.900.000 .

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• Esta estrategia funcionará bien si la opción se
  ejerce, pero generará pérdidas en caso contrario.
  Por ejemplo, si el precio de las acciones baja a
  40 , el beneficio de la institución financiera
  sería - 4.900.00 300.000 - 4.600.000 .

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10.2 Estrategia de frenar pérdidas (stop loss)

• Consideremos una institución financiera que ha
  emitido una opción de compra europea con un
  precio de ejercicio X, sobre una acción.
• Esta estrategia implica comprar las acciones
  cuando su precio suba por encima de X y venderlas
  cuando baje por debajo de X.
• De esta forma, se mantiene una posición cubierta
  cuando la opción está in the money y descubierta
  cuando está out of the money.

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• t1 comprar, t2 vender, t3 comprar, t4
  vender, t5 comprar

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• Sea S0 el valor inicial de las acciones. El coste
  inicial de esta cobertura es S0, si S gt X y cero
  en caso contrario. Por tanto, podríamos deducir
  que el coste de esta cobertura sería
• max(S0 - X, 0)
• ya que todas las compras y ventas posteriores al
  momento inicial se realizan al precio X,
  cancelándose el coste de las compras con el
  ingreso de las ventas.

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• El coste de la cobertura coincidiría, por tanto,
  con el valor intrínseco de la opción en el
  momento inicial.
• Como sabemos, el valor de la opción en un momento
  anterior al vencimiento debe estar por encima de
  su valor intrínseco.
• Por tanto, esta estrategia siempre generaría un
  beneficio libre de riesgo.
• Sin embargo, existen dos razones por las cuales
  este razonamiento no es correcto.

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• La primera es que los flujos de caja para el
  coberturista ocurren en momentos diferentes y
  deben ser descontados.
• La segunda ,y más importante, es que las compras
  y las ventas no pueden realizarse exactamente al
  mismo precio X. Cuando el precio de las acciones
  es X el coberturista no sabe si el precio subirá
  o bajará.
• Por tanto, en la práctica, las compras se harán a
  un precio X ? y las ventas se realizarán a un
  precio X - ?.
• De esta forma, cada compra y posterior venta
  implican un coste, adicional a los costes de
  transacción, de 2?.

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• Esta estrategia no funciona muy bien en la
  práctica, ya que si el precio de las acciones
  cruza el nivel X en muchas ocasiones, esta
  estrategia resulta bastante cara.

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10.3 Cobertura delta

• La ? de una opción se define como el cociente
  entre el cambio en el precio de la opción con
  respecto al cambio en el precio del activo
  subyacente.

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(No Transcript)
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• Si pasamos al límite, considerando que el
  subyacente puede tomar cualquier valor entre cero
  e infinito, ? se define como

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• Si la delta de una opción de compra es 0,6,
  cuando el precio de las acciones varía en una
  pequeña cantidad, el precio de la opción varía en
  un 60 de esa cantidad.
• Supongamos que el precio de las acciones es 100
  y el precio de una opción call 10 .
• Una opción es para la compra de 100 acciones.
• Un inversor ha vendido 20 opciones call, es
  decir, opciones para la compra de 2.000 acciones.
• La posición de este inversor podrá cubrirse
  comprando 0,6x2000 1.200 acciones.

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• De esta forma, el beneficio, o pérdida, de la
  posición en opciones se compensará con la
  pérdida, o beneficio, de la posición en acciones.
• Por ejemplo, si el precio de las acciones aumenta
  en 1 , se produce un beneficio de 1.200 en las
  acciones compradas. El precio de las opciones
  tenderá a subir en 1x0,6 0,6 , produciendo una
  pérdida de 2.000 x 0,6 1.200 .
• En este caso se dice que el inversor ha
  construido una cartera delta neutral (inmune a
  variaciones en el precio del subyacente).

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• Es importante tener en cuenta que la posición del
  inversor sólo permanece cubierta durante un
  periodo de tiempo relativamente corto, ya que
  delta varía a lo largo del tiempo.
• Por lo tanto, a medida que pasa el tiempo, cuando
  varía delta, para mantener la posición del
  inversor libre de riesgo habrá que reajustar el
  número de acciones que se mantienen.
• Las estrategias que implican hacer reajustes
  frecuentes e llaman coberturas dinámicas, para
  diferenciarlas de las coberturas estáticas
  (hedge and forget).

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• A partir de las fórmulas de Black-Scholes podemos
  obtener la expresión de la delta de opciones
  europeas sobre acciones que no pagan dividendos.
• Para opciones call

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• Para opciones put

• Lógicamente, la delta de una opción put es
  negativa, ya que el valor de la opción disminuye
  cuando aumenta el valor del subyacente y
  viceversa.

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• En la práctica, los operadores de opciones suelen
  reajustar sus carteras al menos una vez al día,
  para mantener su cartera libre de riesgo ante
  variaciones en el valor del subyacente.
• Hacer reajustes demasiado frecuentes no suele ser
  óptimo, debido a los elevados costes de
  transacción a los que nos enfrentaríamos al
  realizar continuas compras y ventas de activos.

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10.4 Theta

• La theta de una cartera de opciones, ?, es la
  tasa de variación del valor de la cartera con
  respecto al paso del tiempo, manteniendo el resto
  de variables constantes.

• Donde ? es el valor de la cartera, que puede ser
  una opción call, una opción put, o una cartera de
  opciones.

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• Theta mide, por tanto, el cambio en el valor de
  la opción a medida que pasa el tiempo.
• Tiene sentido cubrirse frente a variaciones en el
  precio del subyacente, pero no frente al paso del
  tiempo, ya que hay incertidumbre sobre el precio
  futuro de las acciones, pero no sobre el paso del
  tiempo.
• Sin embargo, muchos operadores utilizan theta
  como un estadístico descriptivo útil para
  gestionar una cartera.

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10.5 Gamma

• El coeficiente gamma, ?, de una cartera de
  opciones es la tasa de variación de la delta de
  dicha cartera respecto al precio del activo
  subyacente.

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• Si gamma es pequeña, la delta de la cartera
  variará poco ante variaciones del subyacente. Por
  lo tanto, se deberán realizar pocos ajustes para
  mantener la cartera libre de riesgo frente a
  variaciones en el precio del subyacente.
• Por el contrario, si gamma es alta, la delta es
  altamente sensible a variaciones en el precio del
  subyacente, con lo que será muy arriesgado
  mantener la cartera sin reajustar durante largos
  periodos de tiempo.

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10.6 Vega

• La vega de una cartera de opciones, ?, es la tasa
  de variación del valor de la cartera respecto a
  la volatilidad del subyacente.

• Donde ? es el valor de la cartera, que puede ser
  una opción call, una opción put, o una cartera de
  opciones.

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• En la práctica, las volatilidades de los activos
  varían con el tiempo.
• Por tanto, la cobertura vega tiene por objetivo
  mantener una cartera de opciones insensible ante
  variaciones en la volatilidad del subyacente.

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10.7 Rho

• El coeficiente rho de una cartera de opciones es
  la tasa de variación del valor de la cartera con
  respecto al tipo de interés.

• Donde ? es el valor de la cartera, que puede ser
  una opción call, una opción put, o una cartera de
  opciones.

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• Como ya se ha señalado, en la práctica los
  operadores suelen reajustar sus carteras al menos
  una vez al día para mantener sus carteras delta
  neutrales (inmunes ante variaciones en el precio
  del subyacente).
• Normalmente no es factible mantener las
  neutralidades gamma o vega de forma regular. Por
  tanto, es típico que los operadores vigilen estas
  medidas y si se hacen demasiado grandes, se toman
  medidas correctoras.