Presentacin de PowerPoint

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Diseño y análisis de algoritmos
Técnica de diseño Programación Dinámica II
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Temario

• Técnica de diseño Programación Dinámica
• Introducción
• Aplicaciones
• Multiplicación de Matrices
• Caminos mas cortos en grafo
• Arboles de búsqueda óptimos

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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
multiplicación de matrices en secuencia

• Problema
• Se desea calcular el producto matricial
• Por cada par de matrices pxq y qxr, se reqieren
  pqr multiplicaciones escalares
• Al ser el producto asociativo, se tienen varias
  fomas de realizar una multiplicación de una
  cadena de matrices.
• Ejemplo se quiere calcular el producto de ABCD,
  de las matrices
• Se pueden asociar de cinco formas distintas
  

El orden no es despreciable, pues el caso más
eficiente es casi 19 veces más rápido que el peor.
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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
multiplicación de matrices en secuencia

• Problema
• El problema consiste entonces
• Insertar los paréntesis de todas las formas
  posibles
• Calcular la cantidad de productos necesarios
• Obtener el menor entre todos ellos
• La cantidad de formas posibles T(n) de insertar
  paréntesis para n matrices, se puede deducir
• Cortando la secuencia en dos subsecuencias, entre
  la i ava y la (i1)- ésima matriz
• Entonces se tienen T(i)T(n-i)
  formas distintas
• Como i puede tomar valores entre 1 y n-1, la
  cantidad está dada por la siguiente recurrencia

Números llamados de Catalán.
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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
multiplicación de matrices en secuencia

• Problema
• Los números de Catalán crecen exponencialmente
• De hecho puede demostrarse que
• Por ejemplo
• n 1 2 3 4 5 10
  15
• T(n) 1 1 2 5 14 4862
  2674440
• Aplicación del principio de optimalidad
• Si el mejor modo de realizar el producto exige
  dividir inicialnente entre las
• matrices i e (i1)-ésima, los productos

deberán ser realizados de forma óptima, para que
el total también sea óptimo.
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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
multiplicación de matrices en secuencia

• Método
• Construir una matriz , 1ltiltjltn,
  (triangular superior) donde
• corresponde a la mínima cantidad de productos
  necesarios para la parte
• del producto total. Por lo que la solución
  viene dada en
• Para construir la matriz, se deben guardar las
  dimensiones de las Mi 1ltiltn en un arreglo d,
  0..n, de forma que Mi tiene dimensiones
• La diagonal s de contiene los
  tales que j-is
• Este último caso representa que para calcular
  , se intentan todas
  las posibilidades
  y se
  escoge la mejor.

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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
multiplicación de matrices en secuencia

• De forma más compacta si iltgtj y i ltj
• Para el ejemplo anterior
  ,d(13,5,89,3,34)

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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
multiplicación de matrices en secuencia

• Implementación

Funcion parentOpt(d0..nsalida
m1..n,1..n,mk1..n,1..n) m contiene el
número de multiplicaciones, mki,j guarda el
índice k para el que se alcanza el mínimo al
calcula mi,j Variables i,j,r,k,qentero Inicio
Para i 0 a n hacer mi,i0 Fin-Para Para
r 2 a n hacer Para i 1 a n-r1 hacer
jir-1 mi,jmax infinito
Para k i a j-1 hacer
qmi,kmk1,jdi-1dkdj si
qlt mi,j entonces mi,j q
mki,jk FIN-SI
FIN-para FIN-para FIN-para fin
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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
multiplicación de matrices en secuencia

• Solución en tiempo razonable , al menos
  polinomial, aunque necesita tres loops anidados,
  por lo que
• Queda abierto el problema de hacer un nuevo
  algoritmo, basado en la matriz mk, indicar en qué
  orden se multiplican las matrices.

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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
caminos mínimos en un grafo

• Problema
• Calcular los caminos de costo mínimo o mínima
  longitud entre todos los pares de nodos de un
  grafo dirigido, sin ciclos y pesos positivos.
• Principio de Optimalidad
• Si es un camino
  de costo mínimo o largo mínimo del nodo
• a , entonces
• es un camino de costo mínimo o
  largo mínimo del nodo a
• es un camino de costo mínimo o
  largo mínimo del nodo a
• Aplicación del Principio
• Si k es el nodo intermedio de mayor índice en el
  camino óptimo de i a j, entonces el subcamino de
  i a k es un camino óptimo, que además, sólo pasa
  por nodos de índice menor que k . Lo mismo
  sucede con el subcamino de k a j

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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
caminos mínimos en un grafo

• Sea C(i,j) el costo o largo de un arco (i,j) . Si
  no existe, infinito. Sea C(i,i)0
• Sea Dk(i,j) la longitud o distancia del camino
  más corto o de costo mínimo del nodo i al j que
  no pasa por ningún nodo mayor que k
• Sea Dk(i,j) la longitud del camino más corto de i
  a j. Entonces

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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
caminos mínimos en un grafo

• En resumen
• Se tiene la siguiente ecuación recursiva que
  define el método de PD.

• Ejemplo

25
0 5 -- 25 50 0 15 5 30 40 0 15 15 --
5 0
0 5 -- 25 50 0 15 5 30 35 0 15 15 20
5 0
0 5 20 10 50 0 15 5 30 35 0 15 15 20
5 0
1
4
15
5
15
5
5
50
30
15
2
3
0 5 20 10 45 0 15 5 30 35 0 15 15 20
5 0
0 5 15 10 20 0 10 5 30 35 0 15 15 20
5 0
40
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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
multiplicación de matrices en secuencia

• Implementación, algoritmo Foloyd, muy simple y
  conocido

Funcion floyd(G1..n,1..n) 1..n,1..n Variables
i,j,kentero D1..n,1..n Inicio DG Para k
1 a n hacer Para i 1 a n hacer Para j
1 a n hacer Di,jmin(Di,j, Di,k
Dk,j) FIN-para FIN-para FIN-para
devolver D fin
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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
multiplicación de matrices en secuencia

• Solución en tiempo razonable , al menos
  polinomial, aunque necesita tres loops anidados,
  por lo que
• El tiempo es comparable con n veces Dijsktra,
  pero por simplicidad se prefiere Floyd.
• Este algoritmo sólo encuentra las distancias
  entre cada par de nodos. Para obtener los nodos
  que implementen esa distancia, es necesario
  recordar para cada (i,j) cuál es al k que proveyó
  la mínima distancia.
• Ejercicio, implementar una solución en base a una
  matriz auxiliar P, que se modifica cada vez que
  se modifica D
• Cambiar línea min, por
• si Di,j gt Di,k Dk,j entonces
• Di,jDi,k Dk,j
• Pi,jk
• finSi

0 0 4 2 4 0 4 0 0 1 0 0 0 1
0 0
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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
Arboles binarios de búsqueda óptimos

• Problema
• Se usará un recorrido en orden del árbol para
  realizar la búsqueda. La estructura cumple que
  todo nodo tiene una clave mayor que los de su
  subarbol izquierdo y menor que los de su subarbol
  derecho.
• Se tiene un conjunto de claves distintas
• Pueden ser claves alfanuméricas(orenadas
  ascendentemente), almacenadas en un arbol binario
  de búsqueda.
• Se conoce la probabilidad
  , con la que se pide buscar la clave y
  su información asociada.
• Se conoce también la probabilidad
  , de búsqueda de una clave inexistente
  situada entre y
• Se tiene que
• Por lo que el problema radica en construir un
  árbol binario de búsqueda para almacenar las
  claves, que minimice el número medio de
  comparaciones para encontrar una clave o
  garantizar que no está.

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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
Arboles binarios de búsqueda óptimos

• Recordar que la profundidad de la raiz es 0, la
  de sus hijos 1, ...
• Si se construye un árbol donde la clave
  está en un nodo de profundidad , 1ltiltn,
  entonces se necesitan comparaciones
  para encontrarla.
• Si con probabilidad , 0ltiltn , se busca
  una clave que no está en el árbol, pero que en
  caso de estar , ocuparía un nodo de profundiadad
  , entonces se necesitan para
  asegirar que no está.
• Por lo tanto el número medio de comparaciones
  necesarias para encontrar una clave o garantizar
  que no está (función a minimizar) es

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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
Arboles binarios de búsqueda óptimos

• Para el ejemplo

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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
Arboles binarios de búsqueda óptimos

• Solución de programación dinámica
• Principio de Optimalidad
• Todos los subárboles de un árbol óptimo
  son óptimos con respecto a las claves que
  continen.
• Considerando un subárbol óptimo que contenga las
  claves
• La probabilidad de que una clave buscada esté o
  debiera estar en ese subárbol es
• Se denotará al número medio de
  comparaciones efectuadas en un subárbol óptimo
  que contiene las claves
  durante la búsqueda de una clave en el
  árbol principal (por convención ).
• Supongamos ahora que ocupa la raíz de ese
  subárbol.
• Sea entonces el número medio de
  comparaciones efectuadas en ese subárbol durante
  la búsqueda de una clave en el árbol principal.

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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
Arboles binarios de búsqueda óptimos

• Entonces
• , es el número medio de comparaciones en
  el subárbol izquierdo.
• , es el número medio de comparaciones en
  el subárbol derecho.
• ,es el número medio de comparaciones con
  la raiz.
• Ahora se trata de escoger la raiz de manera que
  se minimice

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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
Arboles binarios de búsqueda óptimos
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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
Arboles binarios de búsqueda óptimos

• Implementación

Tipos probP Arreglo 1..n real probQ
Arreglo 1..n real matCmatriz
0..n,0..,n real matSolmatriz
0..n,0..,n entero Funcion abbOPT(entrada p
probPq probQ salida CmatC rMatSol) C es la
matriz de comparaciones media. En cada componente
i , j de r se guarda el k para el que Ci,j
resulta mínimo Variables i,j,k,dentero
min,auxreal mMatc
Inicio Para i 0 a n hacer
Ci,i0 mi,iqi Para j i1
a n hacer mi,jmi,j-1pj qj
Fin-para Fin-para .....
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Técnica de diseño Programación Dinámica Problema
Arboles binarios de búsqueda óptimos
.... Para j 1 a n hacer
Cj-1,jmj-1, j rj-1, jj
Fin-para ya están determinados los árboles de 1
nodo Para d 2 a n hacer Para j d a n
hacer ij-d min100000000
Para k i1 a j hacer aux
Ci,k-1Ck, j si aux lt min
entonces minauxri, jk
fin-si Fin-para Ci,jmi,
jmin Fin-para Fin-para FIN.