Diapositiva 1

1

• Binomio de Newton

Raúl Plata Ortega
Instituto Técnico Industrial Piloto
raulpla_at_hotmail.com
2
Elevar potencias a cualquier cantidad

• Reglas para elevar a la "n" potencia a cualquier
  cantidad (Siendo "n" cualquier número Racional)

3
a) El número de términos es igual a " n1"

• b) El primer término comienza con un exponente "
  n " el cual, por cada término que coloquemos irá
  disminuyendo de uno en uno, mientras que el
  segundo término iniciará con un exponente cero e
  irá aumentando de uno en uno hasta alcanzar el
  valor igual a n, mientras el primer término
  descenderá hasta obtener un valor de cero en su
  exponente, con lo que queda igualado a 1
• Ej (xy)5 x5y05x4y110x3y210x2y35x1y4x0
  y5
• Teniendo en cuenta que x0 1 y y0 1
• Apreciemos que x va disminuyendo hasta
  cero y y comienza en cero y llega hasta n
  como exponentes.

4

• c) La suma de los exponentes siempre debe ser
  igual al exponente a que elevamos, en este caso "
  n "

• d) Para hallar el coeficiente de cada uno de los
  términos lo hacemos empezando por el primer
  término que debe ser igual a 1 de coeficiente por
  el primer término, éste elevado a la n potencia,
  entonces multiplicamos el coeficiente por el
  exponente del primer término y lo dividimos por
  el lugar que ocupe el término (1, 2, 3, etc)

Ej Para elevar a (xy)9 vamos a hallar los
primeros términos para no extendernos mucho
x9 ( Más el coeficiente por el exponente 9 y
dividido por el lugar que ocupa, o sea el
primero, todo esto es igual a 9, que es el
coeficiente siguiente.
Entonces aplicando las reglas anteriores tenemos
ya(xy)9 x9 9x8y 98 2 (lugar) x7y2
367 3 (lugar) x6y3.etc. así podríamos
elevar una cantidad a cualquier potencia.
5

• El número de veces que debe figurar en este caso
  x y "y" debe ser igual a la potencia a que
  estemos elevando o sea " n
• o sea que si la potencia a que elevamos es 6
  entonces x y "y" deben figurar 6 veces

f) La suma de todos los exponentes que figuren
en el polinomio debe ser igual a " n2 n ", o
sea que si la potencia a que elevamos es 5
entonces la suma de los exponentes debe ser
25530
Nota Otra forma de aplicar el binomio de
Newton es mediante el triángulo de Pascal
añadiéndole otras caras triangulares en donde
figuren las cuatro formas posibles que son
(xy)n (x-y)n (xy)-n (x-y)-n
Todas estas caras colocadas en una
pirámide de la siguiente forma
6
Cara frontal (xy)n
Cara lateral der. (x-y)-n
Cara posterior (x-y)n
Cara lateral Izq. (xy)-n
Para todas las caras (xy)n
7
Se puede apreciar que en cada una de las caras se
puede hacer la realización hasta la quinta
potencia mas o menos y al final tratar de colocar
una que sea general a cualquiera de los casos que
pueda incluirse en ella.
8
Para la base que es un cuadrado se coloca la
forma que generalice todos los casos o sea (xy)n
Para la forma (x-y)n utiliza los mismos términos
que (xy)n pero los signos van intercalados entre
, - , , -, etc.
Para la forma (xy)-n es igual a las dos
anteriores, con la diferencia que cada uno de los
términos irá bajo 1, ya que lo hacemos de la forma
Para que quede elevado a una potencia positiva
pero siempre con la unidad (1) de numerador
Para entenderlo mejor procedamos a explicarlo con
el siguiente ejemplo
1 (x-y)5

• (x-y)-5 X-5 - 5X-4y-1
  10X-3y-2 - 10X-2y-3 5 X-1y-4 - y-5

1 X5
1 5X4y
1 10X3y2
1 10X2y3
1 5 Xy4
1 y5

-

-
-

9
Para la demostración del triángulo es
conveniente realizarlo de una manera dinámica o
ya sea por medio de objetos.
10
Para iniciar el triángulo colocamos primero el
número 1 porque Pascal tomó el binomio de (Xy) y
lo elevó a la potencia 0 (cero) y recordemos que
cualquier número elevado a la potencia cero es
igual a uno.
11
Para el siguiente renglón o sea 1 1 según el
triángulo es porque(xy)1 xy con
coeficientes 1 y 1 respectivamente.
Demos una dimensión x y una y Y lo sacamos por
superficies

x2 xy xy y2 x2 2xy y2
12
Para la demostración del término siguiente de
(xy)3 como lo dice la palabra debe ser un cubo
que consta de los siguientes elementos.
Un cubo con las tres dimensiones de x gt x3
13
3 elementos con dos dimensiones de x y una de y
que será x2y y como son tres gt 3x2y
14
3 elementos con dos dimensiones de y y una de
x o sea xy2 Y como son 3 gt 3xy2
15
Un cubo con las tres dimensiones de y quedando y3
Uniendo de cualquier manera estos 8 elementos nos
resulta un cubo con xy de arista