Interpolaci

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Interpolación de Lagrange
Interpolar estimar el valor desconocido de una
función en un punto, tomando un valor aproximado
de la función en puntos cercanos al
dado. Interpolación lineal se utiliza un
segmento que pasa por dos puntos conocidos
(xo,yo) (x1,y1). La pendiente que pasa por los
dos puntos es m(y1-yo)/(x1-xo). La recta que
pasa por los dos puntos es Si reemplazamos x
por xo y x1 P(xo)yo P(x1)y1 Lagrange descubrió
que este polinomio se puede escribir de la
siguiente manera
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Llamaremos
L1,0(x0)1 L1,1(x1)1 L1,0(x1)0 L1,1(xo)0
Usando esta notación, podemos escribir
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Ejemplo Consideremos yf(x)cos(x) en 0.0,1.2
vamos a usar x00 x11.2
para interpolar linealmente
gtgt x0.00.11.2' gtgt ycos(x) gtgt x00.0 gtgt
x11.2 gtgt y0cos(x0) gtgt y1cos(x1) gtgt
zy0(x-x1)/(x0-x1)y1(x-x0)/(x1-x0) gtgt
plot(x,y,x,z)
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La forma de generalizar la fórmula de Lagrange
para construir un polinomio PN(x) que tenga grado
menor o igual que N y pase por los N1 puntos
dados (xo,yo)(x1,y1)..(xn,yn) es la fórmula
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(No Transcript)
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clear fprintf('Interpolación de
Lagrange\n') ninput('Ingrese el número de puntos
') for i 1n fprintf('xd ',i) x(i)
input(' ') Ingreso por pantalla de los valores
x(i) fprintf('f(x(d)) ',i) f(i) input('
') ingreso por pantalla de los valores de
la función evaluada en los
x(i) end ainput('Ingrese el valor de x donde se
quiere evaluar el polinomio interpolante
') for k1n for i1n if ki
I(i)1 else I(i)(a-x(i))/(x(k)-x
(i)) end end fI(k)f(k)prod(I)
La función prod calcula el producto de los
elementos del vector I end fasum(fI)
La función sum calcula la suma de los
elementos del vector fI fprintf('f(1.2f)
3.6f',a,fa)
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La sintaxis de presentación indica que dentro
del argumento de la función se escribirá un
número punto flotante por lo menos 1 carácter y
dos dígitos decimales 1.2f El valor de la
función se escribirá en una amplitud de por lo
menos tres caracteres y seis dígitos decimales
3.6f
Polinomio interpolador de Newton
(1)
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(No Transcript)
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DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Definición las diferencias divididas de una
función f se definen como
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Ejemplo construir la tabla de dif.divididas.
Para f(x)cos(x).

0.0 1.0000000
1.0 0.5403023 -0.4596977
2.0 -0.4161468 -0.9564491 -0.2483757
3.0 -0.9899925 -0.5738457 0.1913017 0.1465592
4.0 -0.6536436 0.3363499 0.4550973 0.0879318 -0.0146568
P1(x)1 -0.4596977(x-0) P2(x)1 -0.4596977(x-0)
-0.2483757(x)(x-1) P3(x) 1 -0.4596977(x-0)
-0.2483757(x)(x-1)0.1465592x(x-1)(x-2) P4(x) 1
-0.4596977(x-0) -0.2483757(x)(x-1)0.1465592x(x-1)
(x-2) -0.0146568 x(x-1)(x-2)(x-3)
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(No Transcript)
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Ejemplo
X 0 0.1000 0.2000 0.3000
0.4000 0.5000 gtgt Ycos(X) Y 1.0000
0.9950 0.9801 0.9553 0.9211 0.8776 gtgt
newpoly(X,Y) gtgt C,Dnewpoly(X,Y) C -0.0021
0.0428 -0.0003 -0.5000 -0.0000
1.0000 D 1.0000 0 0
0 0 0 0.9950
-0.0500 0 0 0
0 0.9801 -0.1494 -0.4971
0 0 0 0.9553
-0.2473 -0.4896 0.0249 0
0 0.9211 -0.3428 -0.4773 0.0412
0.0408 0 0.8776 -0.4348 -0.4601
0.0571 0.0397 -0.0021 gtgt polyval(C,X) ans
1.0000 0.9950 0.9801 0.9553
0.9211 0.8776