PR

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Interpolación Polinómica
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Interpolación Polinómica

• Un problema de interpolación
• Interpolación lineal y cuadrática
• Forma normal del polinomio de interpolación.
• Forma de Lagrange.
• Forma de Newton.
• Tabla de diferencias divididas
• Evaluación y error del polinomio de interpolación
  
• Conclusiones y alternativas

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Un problema de interpolación

• Evolución de la temperatura diurna

22
20
18
16
Grados
14
12
10
8
6
6
8
10
12
14
16
18
20
22
4
Hora
4
Gráfico de la temperatura en Matlab
Hora t 6 8 10 12 14 16 18 20'
Temperatura T 7 9 12 18 21 19 15
10' plot(t,T,''), grid xlabel('Horas'),
ylabel('Grados')
5
Interpolación lineal
25

• Recta que pasa por los puntos (x0,y0) y (x1,y1)

20
15
Grados
10
5
5
10
15
20
Hora
6
Interpolación cuadrática
polyval(p,X) x50.122 ypolyval(p,x) plot(x,y)
X10214 Y12 18 21' Avander(X) cond(A) pA\Y
7
Desplazamiento del origen

• A4 -24 2 c-6,3'
• cond(A)
• p(A\c)
• pp' 18 polyval(p,X-12)

8
Forma normal del polinomio de interpolación

• Dados n1 puntos de abscisas distintas
  (x0,y0),..., (xn,yn), existe un único polinomio
  de grado no superior a n tal que P(xi) yi,
  i1,2,...,n

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Forma de Lagrange del polinomio de interpolación

• Polinomios de Lagrange
• Existencia del polinomio de interpolación.

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Forma de Newton del polinomio de interpolación

• Determinación algebraica
• Ventajas
• El sistema es triangular
• Permite añadir nuevos puntos sin rehacer todos
  los cálculos.

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Tabla de diferencias divididas
12
Tabla de diferencias divididas
13
Evaluación del polinomio de interpolación
14
Error de interpolación
15
Conclusiones

• El polinomio de interpolación suele usarse para
  estimar valores de una función tabulada, en las
  abscisas que no aparecen en la tabla.
• El aumento de grado no siempre mejora la
  aproximación.
• El polinomio es muy sensible a los errores de los
  datos.

• Alternativas
• Método de Mínimos Cuadrados
• Interpolación polinómica segmentaria. Splines