Diapositiva 1

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• IGUALDAD

Dos figuras son iguales cuando tienen sus lados
y ángulos iguales y dispuestos en el mismo orden.

• Igualdad por copia de ángulos

Dado el polígono ABCDE
1. Sobre una recta r se dibuja AB AB
2. Con centro en B se traza un ángulo igual al B
3. Se transporta el segmento BC BC
4. Se repite la operación con todos los vértices
2

• Igualdad por coordenadas

Dado el polígono ABCDE
1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y
2. Se proyectan los vértices sobre el eje X
3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y
4. Se trazan perpendiculares a X e Y
5. Se unen los vértices hallados
3

• Igualdad por radiación

Dado el polígono ABCDE
1. Se elige un punto O y se une con los vértices
del polígono
2. Con centros en O y O se trazan dos
circunferencias del mismo radio
3. Por copia de ángulos se trazan las rectas que
parten de O
4. Sobre cada recta se llevan las distancias
OA, OB, etc
4

• Igualdad por triangulación

Dado el polígono ABCDE
1. Se une un vértice con todos los demás
2. Por copia de triángulos se construyen todos
los que se han formado
5

• Teorema de Tales. División de un segmento en
  partes iguales

1. Por uno de los extremos A se traza una recta
cualquiera s
2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos
iguales, de longitud arbitraria, como número de
partes se quiera dividir el segmento
3. Se traza la recta t uniendo el último punto
con el extremo B del segmento dado
4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2,
3, ... de la recta s.
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• División de un segmento en partes proporcionales

1. Por uno de los extremos A se traza una recta
cualquiera s
2. Sobre la recta s se van llevando cada uno de
los segmentos CD, EF, GH e IJ
3. Se une el último punto J con el otro extremo B
mediante la recta t.
4. Se trazan paralelas a t por los puntos E, G e I
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• Producto y división entre dos segmentos

1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se
cortan en A
Producto entre dos segmentos
2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y
sobre la otra el segmento unidad AC y a
continuación el segmento CD
3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta
cortar a r en el punto E
4. El segmento BE es el producto de los segmentos
dados
1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se
cortan en A
División entre segmentos
2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y
sobre la otra el segmento AC y a continuación el
segmento unidad CD
3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta
cortar a r en el punto E
4. El segmento BE es el producto de los segmentos
dados
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• Dado un segmento, hallar su raíz cuadrada

Dado el segmento AB
1. Sobre una recta se toma el segmento AB y a
continuación el segmento unidad BC

2. Hallamos D, punto medio del segmento AC y
trazamos semicircunferencia de diámetro AC
3. La perpendicular al diámetro por el punto B
corta a la semicircunferencia en el punto E
4. El segmento BE es la raíz cuadrada del
segmento AB
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• Media proporcional

1. Sobre una recta se trasladan los segmentos
dados
2. Se traza el punto medio E del segmento AD y la
semicircunferencia de radio EA
3. La perpendicular trazada por B a la recta r
corta a la circunferencia en el punto F
4. El segmento BF es la media proporcional a los
segmentos dados.
10

• Tercera proporcional

1. Se trazan dos rectas r y s que se corten
2. A partir del punto A se lleva AB sobre r y CD
sobre s
3. Con centro en A y radio AD se describe un arco
4. Por el punto E se traza la paralela a BD
5. El segmento AF es la tercera proporcional
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• Cuarta proporcional

1. Se trazan dos rectas r y s cualesquiera que se
corten
2. A partir del punto A se lleva AB sobre la
recta r y CD sobre la recta s
3. Sobre la recta r y a continuación del segmento
AB se traslada EF
4. Por el punto F se traza la recta paralela a BD
5. El segmento DG es al cuarta proporcional
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• Potencia de un punto

Potencia de un punto
Eje radical
Potencia del punto P respecto de la
circunferencia de centro O es el producto de las
distancias de P a los dos puntos de intersección
de una recta secante
Eje radical de dos circunferencias es el lugar
geométrico de los puntos que tienen la misma
potencia respecto de ambas
p PA x PB
p MA x MB MC x MD
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• Eje radical de dos circunferencias (I)

Circunferencias secantes
Se determina uniendo los dos puntos A y B de
intersección de ambas circunferencias
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• Eje radical de dos circunferencias (II)

Circunferencias tangentes
Se determina trazando la recta tangente común a
ambas circunferencias
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• Eje radical de dos circunferencias (III)

Circunferencias exteriores
1. Se dibuja una circunferencia auxiliar secante
con las anteriores
2. Se halla el eje radical de las circunferencias
de centro O y O1
3. Se halla el eje radical de las circunferencias
de centro O y O2
4. Por el punto E se traza la perpendicular al
segmento O1O2
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• Centro radical de tres circunferencias

Dadas tres circunferencias
1. Se halla el eje radical e de las
circunferencias de centro O1 y O2
2. Se halla el eje radical e de las
circunferencias de centro O2 y O3
3. El centro radical O se localiza en la
intersección de los ejes radicales hallados
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SEMEJANZA
Dos figuras son semejantes cuando tienen sus
ángulos iguales y sus lados proporcionales.
A la relación entre los segmentos proporcionales
se le llama razón de semejanza.

• Semejanza directa por radiación

Dado el polígono ABCDE
Sea la razón de semejanza 2/3
1. Se elige un punto O y se une con todos los
vértices
2. La recta OA se divide en tantas partes como
indique el denominador de la razón de semejanza
(3) y a partir de O se toman tantas partes como
indique el numerador (2)
3. A partir del punto A se trazan paralelas
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• Semejanza por coordenadas

Dado el polígono ABCDE
1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y
2. Se proyectan los vértices sobre el eje X
3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y
4. Sobre dos nuevos ejes se llevan las distancias
OCx 2/3(OCx), OCy 2/3(OCY), ...
5. Se trazan perpendiculares a X e Y
6. Se unen los vértices hallados
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• Semejanza inversa por radiación

Dado el polígono ABCDE
Sea la razón de semejanza -2/3
1. Se elige un punto O y se une con todos los
vértices
2. La recta OA se divide en tantas partes como
indique el denominador de la razón de semejanza
(3) y a partir de O se toman, en sentido
contrario, tantas partes como indique el
numerador (2)
3. A partir del punto A se trazan paralelas
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• Escala gráfica

1. Sobre una cartulina se trazan dos rectas
paralelas
El objeto real se mide siempre con la regla
natural (E.11)
2. Se trasladan tantas unidades reducidas como
quepan
En el dibujo se mide con la escala gráfica
Se hace coincidir el extremo derecho del segmento
con una división entera
3. La primera división se divide en diez partes
iguales (contraescala)
Los decimales se observan en la contraescala
gráfica
4. Se numeran todas las divisiones
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• Escala transversal

1. Sobre una recta r se construye una escala
gráfica
2. Se trazan 10 rectas paralelas a r con
distancias iguales entre sí
3. Se trazan perpendiculares a r por los puntos
de división de la escala gráfica
4. En las contraescalas de la primera y última
paralelas se unen los puntos 1 y 2, 2 y 3, 3 y 4,
etc
Para medir, las unidades se observan en la escala
gráfica, las décimas en la contraescala inferior
y las centésimas en el número de la paralela
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• Triángulo universal de escalas

1. Se construye un triángulo de manera que uno de
los lados quede dividido en 10 cm
2. Se une cada uno de los puntos de división con
el vértice opuesto A
3. Otro de los lados se divide en diez partes y
se trazan paralelas al primer lado, donde van
formándose las diversas escalas
4. Por debajo de la escala natural se forman las
escalas de ampliación