PRODUCTOS NOTABLES

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PRODUCTOS NOTABLES

• Matemáticas Preuniversitarias
• Dra. Ma. de Lourdes Palacios
• y M. en I. Norma Castañeda

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Resolvamos el siguiente problema escrito en verso

• Unas niñas muy precoces,
• al cuadrado se elevaron.
• Y como eran muy audaces
• por dos se multiplicaron.
• Que ya eran muchas sintieron
• y por eso se restaron
• doce veces lo que fueron.
• Las que al principio empezaron
• con eso se contentaron
• y treinta y dos ahora son.
• Ahora quiero que me digas
• sin miedo y sin compasión
• Cuántas eran al principio
• de este cuento juguetón?

Alejandro Bravo Margarita Espinosa
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CUADRADO DE UNA SUMA (ab)2a22abb2
Para calcular el área del cuadrado que se
muestra, multiplicamos las longitudes de sus
lados (ab)(ab)a2ababb2a22abb2
a
ab
a2
b
ab
b2
b
a
a2
(ab)2
2ab
b2
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CUADRADO DE UNA DIFERENCIA (a-b)2a2-2abb2
En la siguiente figura queremos encontrar el área
del cuadrado cuyo lado mide a-b. Al área
delcuadro de lado a le restamos la suma de las
áreas de los rectángulos con lados a y b y
sumamos el área del cuadro de lado b.
(a-b)2
a
b
b2
a2
(a-b)2
-2ab
b2
a- b
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PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIFERENCIA (ab)
(a-b)a2-b2
Queremos encontrar el área de la parte sombreada
del cuadro que se muestra.
a- b
b(a-b)
a(a-b)
a
b
a- b
b
a(a-b)b(a-b)a2-abab-b2a2-b2
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PRODUCTO DE (ab) (ac)a2a(bc)bc
Para encontra el área del rectángulo de la
figura, sumamos el área del cuadrado de lado a
más el área de los rectángulos con lado a, b a,
c y b, c, respectivamente.
ac
a2
a
b
ab
bc
a
c
a2
(ab)(ac)
ab
ac
a2a(bc)bc
bc
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Ejercicios

• Interés simple. La fórmula Apprt expresa el
  saldo de una cuenta de ahorros al final de un
  tiempo específico. Despejar a p de la fórmula.
• Electrónica. En electrónica se usa la fórmula
  r1r2rr2rr1 para relacionar la resistencia
  combinada, r, de dos resistores conectados en
  paralelo. La variable r1 representa la
  resistencia del primer resistor y r2 la del
  segundo. Despejar r2 de la ecuación.

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Ejercicios de redacción.

• Explica cómo determinar el máximo factor común de
  dos números naturales.
• Explica cómo reconocer si un número es primo.

Algo para razonar.

• Elije dos números naturales. Divide su producto
  entre su máximo factor común. Al resultado se le
  llama mínimo común múltiplo de los números que
  elijiste. Porqué?
• Al número 6 se le llama número perfecto porque la
  suma de todos sus divisores es el doble de 6
  123612. Comprueba que 28 también es un número
  perfecto.

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Ejercicios de taller

• Geometría. Calcula el perímetro de rectángulo que
  se muestra.

2. Geometría.Calcula la altura del triángulo
que se muestra. Su área es de 162 centímetros
cuadrados.
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Ejercicios de taller

• Tiempo de vuelo. Despúes de cuantos segundos
  llegará un objeto al piso, si se arrojó en línea
  recta hacia arriba con una velocidad inicial de
  160 pies por segundo?
• Balística. Con una honda se pueden obtener
  velocidades iniciales de 128 pies por segundo. A
  los cuántos segundos una piedra, arrojada
  verticalmente con la honda, estará a 192 pies del
  piso ?

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Ejercicios de taller

• Diseño de una alberca. Los reglamentos de
  construcción indican que la alberca rectangular
  que se muestra debe estar rodeada por un pasillo
  de ancho uniforme, que tenga un área mínima de
  516 pies cuadrados. La longitud de la alberca es
  de 10 pies menor qu el doble de su ancho. De qué
  ancho debe ser el pasillo?

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Ejercicios

• Calcula el volumen de una esfera cuando r21.23
  centímetros. Redondea tu respuesta a centésimas.
  La fórmula del volumen de la esfera es
  

2. Calcula el volumen de un cono cuando r12.23
metros y h14.7 metros. Redondea tu respuesta a
centésimas. La fórmula del volumen del cono es

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Proyecto 1.

• Manuel tiene una tienda de cebos junto al
  Río Limpio. Está entre dos vueltas pronunciadas
  del río y la zona que rodea la tienda se ha
  puesto de moda como lugar de campamento y
  excursionismo. Manuel quiere producir mapas de la
  zona para los visitantes. Pero, aunque conoce
  bien la región, casi no tiene idea de las
  distancias reales de un lugar a otro. Lo que sabe
  es que
• La Catarata, una bella caída de agua del Río
  Limpio, está hacia el este de su tienda.
• El Balcón, una famosa roca para escaladores, está
  hacia el oeste de su tienda, al lado del río.
• Los Almacenes Generales, el único abastecedor
  importante de campismo de la zona, está sobre el
  río, a cierta distancia hacia el oeste y norte de
  la tienda de Manuel.

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Proyecto 1 (cont.)

• Manuel contrata a un aerofotógrafo para
  tomar paisajes del área y se encuentra con
  algunos resultados sorprendentes. Si considera
  que su tienda es el origen de un sistema de
  coordenadas, y que el eje y va de norte a sur y
  el eje x de este a oeste, entonces, en el dominio
  (las unidades son millas), el río
  sigue la curva .
• A Manuel le gustaría mostrar las posiciones
  exactas, en relación con su tienda, de la Gran
  Catarata y del Balcón. Determínaselas y explícale
  por qué lo que le dices debe estar correcto.

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Proyecto 1 (cont.)

• Manuel y Almacenes Generales midieron la
  distancia entre sus negocios y resultó que los
  almacenes están a 0.7 millas al oeste de la
  tienda de carnadas. Como está sobre el río, está
  también un poco al norte. Ellos deciden que, para
  promover sus negocios, se unirán para desmontar
  algunos lugares de campamento en la región que
  bordea la vereda directa que va desde las dos
  tiendas y el Balcón, y entre los almacenes y el
  Balcón. Si desmontan un campamento por cada 40
  acres totales de área, cuántos campamentos
  pueden tener? (Sugerencia Una milla cuadrada
  equivale a 640 acres)
• Una vereda va en línea recta hacia el sureste
  (siguiendo la recta y-x) desde la tienda de
  Manuel hasta el río. A qué distancia al este y
  al sur debe estar un excursionista que la recorra
  cuando llega al río ?

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Proyecto 2

• El gasto con el que pasa un fluido por
  un tubo cilíndrico, o cualquier conducto
  cilíndrico (por ejemplo, una arteria) es
• Velocidad de flujo
• en donde p es la diferencia de presiones
  entre los dos extremos del tubo, L es la longitud
  de tubo, R es su radio y n es la constante de
  viscosidad, una función de lo espeso que es el
  fluido. Como la variable r representa la
  distancia al centro del tubo, . (Ver
  ilustación). En la mayor parte de los casos, p,
  L, R, y n son constantes, de modo que V es
  función de r.

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Proyecto 2 (cont.)

• Se puede demostrar que la velocidad de un
  flujo que pasa por un tubo depende de su
  distancia al centro (o de su distancia a la
  pared).
• Se tiene un tubo con 5 cm de radio y 60 cm de
  longitud. Supón que p15 y n0.001 (ya que la
  viscosidad aproximada del agua es 0.001). Calcula
  la velocidad del fluido en el centro del tubo.
  Las unidades de V son centímetros por pulgada.
• Supón el mismo caso, pero ahora el fluido es
  aceite lubricante, con una viscosidad igual a
  0.15. Contesta lo que se pide en la parte a, pero
  además determina en qué lugar del tubo la
  velocidad del aceite es de 15 cm por segundo.
  Toma nota de que el aceite es mas espeso que el
  agua.

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Proyecto 2 (cont.)

• c. Los médicos emplean varios métodos para
  aumentar el flujo de sangre en las arterias. El
  paciente debe tomar una droga que le adelgace la
  sangre (baja su viscosidad), o una que le dilate
  sus arterias, o bien puede someterse a una
  angioplastia, que es un procedimiento quirúrgico
  para ampliar la luz o el hueco por el que pasa la
  sangre. Explica por qué con cada una de las
  medidas anteriores la velocidad V de la sangre
  aumenta a determinada distancia r del centro de
  la arteria.