Diapositiva 1

1
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el
oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado
estacionario.
F
Es una fuerza constante capaz de entregar energía
para inducir oscilaciones?
Respuesta NO. Versión grafica del mismo
argumento.
Velocidad
F
2
El oscilador amortiguado disipa energía porque la
fuerza viscosa es SIEMPRE opuesta a la velocidad.
F
La fuerza viscosa esta contra fase con la
velocidad, resultando en una perdida de energia
(disipacion) en cada ciclo. Debido a esta perdida
de energia la velocidad disminuye con lo que la
perdida de energia en el proximo ciclo es menor y
asi siguiendo resultando, como ya vimos, en una
exponencial.
Velocidad
F
3
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el
oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado
estacionario.
F
F(t)
Una fuerza sincronizada con el desplazamiento
inyecta energia en el sistema. Un oscilador
forzado tiene una energia incial si la energia
disipada (porque la velocidad inicial no es
suficientemente grande) es menor que la inyectada
el sistema aumenta la energia en cada ciclo con
lo que la velocidad aumenta, la energia disipada
es mayor... El estado estacionario se alcanza
cuando se llega a una velocidad promedio (sin
signo) tal que la energia disipada (por la
viscosidad) es igual a la absorvida (entregada
por la fuerza externa).
Velocidad
F Viscosa
Forzado Ext
4
El oscilador amortiguado y forzado Newton aun...
F
F(t)
Como siempre, la ecuación diferencial (de Newton)
es el punto de partida para entender el
movimiento. Una vez más, y dado que esta es una
ecuación diferencial lineal, proponer una función
exponencial (con exponente real e imaginario)
convierte esta ecuación diferencial en una
ecuación algebraica en el exponente.
Reemplazando la exponencial genérica en la
ecuación diferencial, planteando la ecuación
algebraica y resolviéndola se obtiene
5
El oscilador amortiguado y forzado Solución
estacionaria.
F
F(t)
La solución a esta ecuación diferencial depende,
como las otras que hemos visto, de las
condiciones iniciales. Siendo una ecuación de
segundo orden quedan dos parámetros a ajustar
(físicamente, la velocidad y posición inicial).
La solución estacionaria de esta ecuación es
independiente de las condiciones iniciales tal
como sucede con las otras posiciones de
equilibrio que hemos visto. Así como en las
soluciones exponenciales el estado de equilibrio
corresponde a un punto fijo, aquí la solución
estacionaria de equilibrio corresponde a una
oscilacion.
6
El oscilador amortiguado y forzado Solución
estacionaria.
F
F(t)
Independiente de las condiciones iniciales
La solución a esta ecuación diferencial depende,
como las otras que hemos visto, de las
condiciones iniciales. Siendo una ecuación de
segundo orden quedan dos parámetros a ajustar
(físicamente, la velocidad y posición inicial).
La solución estacionaria de esta ecuación es
independiente de las condiciones iniciales tal
como sucede con las otras posiciones de
equilibrio que hemos visto. Así como en las
soluciones exponenciales el estado de equilibrio
corresponde a un punto fijo, aquí la solución
estacionaria de equilibrio corresponde a una
oscilacion.
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Una aproximación empírica a la solución
estacionaria.SIMULACIONES 1
F
F(t)
Independiente de las condiciones iniciales
Estudiar computacionalmente el comportamiento
asintotico de este problema fisico.
8
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Posición en el punto de equilibrio y velocidad
positiva y de modulo máximo
9
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Durante este cuarto de ciclo la posición es
positiva así como la velocidad. A medida que
aumenta la posición, la velocidad disminuye.
10
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Posición en el punto máximo (positivo), la
velocidad es 0 y cambia de signo.
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Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x
es positiva pero la velocidad es negativa.
12
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Medio ciclo completado, la posición vuelve a ser
la misma pero la velocidad se ha invertido.
Nótese que entre pi/2 y 3pi/2 se da la situación
inversa...
13
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Durante este cuarto de ciclo de la oscilación
tanto x como la velocidad son negativas.
14
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x
es NEGATIVA y la velocidad es POSITIVA.
15
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Luego de estos cuatro cuartos (cada uno de pi/2)
el ciclo se ha completado. Fase de 0 o de 2pi es
estrictamente lo mismo.
16
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
Velocidad Positiva
Velocidad Negativa
x
t
17
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
Velocidad Positiva
Velocidad Negativa
Fuerza
x
t
18
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
Velocidad Positiva
vgt0 Fgt0 E
vlt0 Fgt0 -E
vlt0 Flt0 E
vgt0 Flt0 -E
Velocidad Negativa
Fuerza
t
Si el movimiento y la fuerza están en fase, la
transferencia de energía es 0
x
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Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
Velocidad Positiva
vgt0 Fgt0 E
vlt0 Flt0 E
vlt0 Flt0 E
vgt0 Fgt0 E
Velocidad Negativa
Fuerza
t
La transferencia de energía es optima cuando la
diferencia de fase es un cuarto de ciclo, es
decir cuando la fuerza es proporcional a la
velocidad.
x
20
Una aproximación empírica a la solución
estacionaria.
F
F(t)
Independiente de las condiciones iniciales
Estudiar computacionalmente el comportamiento
asintotico de este problema fisico.
21
Una aproximación empírica a la solución
estacionaria.
F
F(t)
22
Solución analitica a la solución estacionaria.
F
F(t)
23
Una aproximación empírica a la solución
estacionaria.
F
F(t)
Conclusión 1 Tanto A como fi, quedan
determinadas por m,w,k,gama,F. Es decir estas no
son constantes libres de la ecuación diferencial.
La solución estacionaria es insensible a las
condiciones iniciales y depende solamente de la
relación entre el oscilador y el forzado.
24
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
25
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
26
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso).
F(t)
27
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
28
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
ENCONTRAR LAS TRES DIFERENCIAS
29
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
Conclusión 2 La energía del oscilador en el
estado estacionario es constante, se ha llegado a
un balance entre la energía disipada y absorbida
por ciclo. La energía del oscilador es igual al
cuadrado de la amplitud y por lo tanto depende de
los parámetros físicos del oscilador y de cierta
relación de coherencia entre estos y el
forzado.
30
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
k5,m1
g0.2
g0.2
Dos términos positivos. La función será máxima
cuando cada uno se minimice.
1)La amplitud (y por ende la transferencia de
energía) es máxima cuando la frecuencia del
forzado es igual a la frecuencia natural del
oscilador. 2) La amplitud máxima es inversamente
proporcional a la velocidad. Nótese que para
viscosidad cero es infinita. Porque?
31
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
g0.2
k5,m1
g0.2
32
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
Cambio de escala
k30,m1
g2
g0.5
g2
33
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
El ancho de la curva de amplitud escalea con la
viscosidad y disminuye con la raíz de la masa y
la constante elástica. Nótese que esta
comparación es equivalente al cociente para
determinar si un oscilador no forzado llega a
oscilar o no.
k30,m1
g2
g0.5
g2
34
Amplitud del forzado en función de la masa.
F(t)
m3
Aumentar la masa resulta en frecuencias mas bajas
y un mundo en aparencia mas viscoso.
m1
35
Espectro, una función de transferencia.
F(t)
Conclusión 3 Un objeto físico compuesto por una
masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador
forzado amortiguado) puede pensarse como un
objeto con una función de respuesta a una
entrada. Es un filtro, un procesador. Dada una
función de entrada cos(wt) responde con la misma
frecuencia multiplicado por un factor. Este
factor esta dado por el ESPECTRO o CURVA DE
RESONANCIA, que es característico y que establece
una huella digital del objeto. En realidad el
objeto es su espectro. La funcion de
transferencia, o espectro, tiene un maximo en la
frecuencia natural del oscilador y un ancho
proporcional a la viscosidad e inersamente
proporcional a su oscilaridad.
36
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
Conclusión 4 La función de transferencia, además
de definir una relación de amplitud, define una
relación de fase. Esta función, veremos, es tal
que progresa desde la sincronia hasta la
anti-sincronia (diferencia de pi) a medida que
crece la frecuencia del forzado. En el medio, al
pasar por la frecuencia del oscilador, la fuerza
es proporcional a la velocidad, lo que hace que
la transferencia de energía sea maxima.
37
Fase del forzado en función de los parámetros
físicos.
F(t)
k5,m1,g0.5
38
Fase del forzado en función de los parámetros
físicos.
F(t)
k5,m1,g0.5
39
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k30gama2m1
F(t)
40
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k30gama0.5m1
F(t)
41
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k30gama0.5m5
F(t)
42
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k60gama0.5m5
F(t)
43
Espectro, una función de transferencia Fase y
amplitud
k60gama0.5m5
F(t)
DILATACION
ROTACION
44
Espectro, una función de transferencia. Un
producto complejo.
DILATACION
ROTACION
45
Espectro, una función de transferencia compleja.
Conclusión 3 Revisitada Un objeto físico
compuesto por una masa, un resorte y un medio
viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede
pensarse como un objeto con una función de
respuesta a una entrada, la multiplicacion por un
numero complejo. Esto resulta en multiplicar la
amplitud por un factor, determinado por A(w) y
cambiar la fase por un fa factor determinado por
fi(w).
DILATACION
ROTACION