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REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA Análisis
a-priori de un Problema de Solución Numérica
Ascheri, María E. - Rechimont, Estela E.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad Nacional de La Pampa Uruguay 151 -
(6300) Santa Rosa - La Pampa - Argentina mavacheri
_at_exactas.unlpam.edu.ar rechimont_at_exactas.unlpam.ed
u.ar
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RESUMEN En este trabajo analizamos los registros
de representación semiótica y las funciones
semióticas que relacionan estos registros en un
problema relativo a las ecuaciones polinómicas.
Las representaciones juegan un rol fundamental
en los procesos de construcción de conceptos, por
lo que son importantes en la enseñanza, el
aprendizaje y la comunicación del conocimiento
matemático (Hitt, 1996). Con este análisis,
pretendemos dilucidar cuáles de los registros de
representación son de mayor peso a la hora de
incorporar o darle sentido al concepto relativo a
funciones polinómicas y a la determinación de las
raíces de las correspondientes ecuaciones.
Buscamos respuestas a Cuáles son los distintos
registros de representación puestos en juego en
la solución del problema? Cómo se suceden y
aparecen, y cuál es la necesidad de su
conversión? Cómo se coordinan en la actividad
conceptual? En qué medida la presentación del
tema desde una situación problemática es
beneficiosa para incorporar y dar sentido a la
determinación de las raíces de una ecuación
polinómica?
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• INTRODUCCIÓN
• El concepto de funciones polinómicas en una
  variable forma parte de los Contenidos Básicos de
  la Educación Polimodal del Sistema Educativo
  Argentino. En el Bloque 2 de los Contenidos
  Curriculares (1997), figura
• Funciones polinómicas en una variable.
  Operaciones. Raíces
• La determinación de las raíces de las ecuaciones
  correspondientes puede ser una tarea rutinaria o
  problemática (Chevallard, 1992), según sea el
  grado del polinomio considerado y los
  conocimientos previos que posee el alumno.
• Respecto de la investigación y resolución de
  problemas (Bloque 4), en este trabajo se indaga
  en cuanto a
• Formulación de problemas y situaciones.
• Creación y desarrollo de estrategias para la
  resolución de problemas.
• Predicción, estimación y verificación de
  resultados y procedimientos.
• Uno de los objetivos primordiales en el estudio
  de las funciones polinómicas es obtener habilidad
  y destreza en la determinación de las raíces de
  las ecuaciones correspondientes. Su importancia
  reside en que es imprescindible para analizar
  otros conceptos matemáticos determinación de
  asíntotas, obtención de puntos extremos,
  intervalos de monotonía, comportamiento de la
  función, etc.

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MARCO TEÓRICO A partir de la semiótica, teoría
lógica sobre los sistemas de signos, se observa,
en las investigaciones en Didáctica de la
Matemática, un empleo frecuente de la noción de
representación. El concepto de esta noción se
toma como equivalente a una señal externa, un
signo o marca, esquemas o imágenes mentales, que
muestran y hacen presente un concepto
matemático. Las representaciones matemáticas se
entienden como herramientas (signos o gráficos)
que hacen presentes los conceptos y
procedimientos matemáticos, con las cuales los
sujetos registran y comunican su conocimiento. De
aquí surge su interés didáctico. En Matemática,
no es posible estudiar los fenómenos sobre el
conocimiento sin recurrir a la noción de
representación. Dentro de las formas
convencionales de representación, suelen
distinguirse dos familias de sistemas
representaciones simbólicas y gráficas (Rico,
2000).Las representaciones simbólicas son de
carácter alfanumérico. Se pueden simular mediante
programas informáticos y la sintaxis se describe
por reglas de procedimientos. Las
representaciones gráficas incluyen las de tipo
figurativo, de carácter analógico, y su sintaxis
viene dada por reglas de composición y convenios
de interpretación.
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• Duval (1995) establece que no se deben confundir
  los objetos matemáticos con su representación.
  Define los registros de representación como un
  medio de expresión que se caracterizan por signos
  propios y por la forma en que se organizan. Por
  ejemplo, una notación, un símbolo o una gráfica
  pueden representar a un objeto matemático.
• Un registro de representación constituye los
  grados de libertad que puede disponer un sujeto
  para objetivarse él mismo una idea aún confusa,
  para explorar las informaciones o para
  comunicarlas a un interlocutor. Cambiar la forma
  de una representación en matemática es difícil y
  a veces imposible para los alumnos, y la
  comprensión de un contenido pareciera limitada a
  la forma de representación utilizada.
• Duval (1995) pone de manifiesto tres fenómenos
  estrechamente vinculados que deben tenerse en
  cuenta en la relación de enseñanza-aprendizaje
• Diversificación de los registros de
  representación semiótica. El lenguaje natural y
  el simbólico no pueden considerarse como formando
  un único y mismo registro, así como tampoco los
  esquemas, los gráficos cartesianos, las tablas o
  las figuras geométricas, los cuales son sistemas
  de representación diferentes entre sí.
• Diferenciación entre representante y
  representado. Ésta se asocia con la comprensión
  de lo que una representación representa, lo que
  permite integrarla con otras.
• Coordinación entre los diferentes registros de
  representación semiótica. La mayor dificultad
  para llevarla a cabo radica en la importancia de
  los fenómenos de no-congruencia entre las
  representaciones en diferentes sistemas
  semióticos.

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• Para el análisis del problema propuesto, se
  tienen en cuenta las siguientes entidades
  (Godino, en Prensa)
• Lenguaje (términos, expresiones, notaciones,
  gráficos, tanto oral como escrito). Esto es, las
  representaciones a las que hace referencia Duval.
• Situaciones (problemas más o menos abiertos,
  aplicaciones extramatemáticas, intramatemáticas,
  ejercicios,...).
• Conceptos Definiciones o descripciones
  (algoritmos, técnicas de cálculo, ...).
• Propiedades Enunciados o proposiciones.
• La actividad matemática surge cuando el sujeto se
  enfrenta a problemas en cuya solución hace uso de
  elementos ostensivos e intensivos de los que
  dispone. Estos elementos se considerarán en esta
  actividad.
• La relación entre la actividad matemática y los
  procesos de difusión del conocimiento se da a
  través de las funciones semióticas.
• Cuando no resulta posible usar las propiedades de
  los polinomios para resolver el problema, se
  suele recurrir a métodos numéricos.
• La comprensión de las relaciones entre
  representaciones mentales, computacionales y
  semióticas se logra, fundamentalmente, por la
  posibilidad de una clasificación de estos tipos
  de representación.

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El problema de la caja
En una fábrica de chocolates se decidió envasar
los bombones en un modelo de caja que sea un
prisma de base x cm, de altura (x-2) cm, de
profundidad (x10) cm y cuyo volumen sea igual a
957 cm3. Para poder armar esta caja se desean
conocer las medidas de sus lados. Para ello a)
Plantee la ecuación correspondiente, según los
datos del problema. b) Separe las raíces de esta
ecuación realizando, primero manualmente y luego
con la computadora, el gráfico de la función
polinómica resultante. c) En el apartado b)
localizó las raíces de la ecuación polinómica.
Utilizando estos datos y realizando 10
iteraciones del método de bisección, obtenga las
medidas de los lados de este prisma. d) Compruebe
los resultados obtenidos utilizando la
PC. Solución a) Sea Vprisma x (x 10) (x -
2) 957, de donde, x3 8x2 20x 957
0. Sea P(x) x3 8x2 20x 957. b) Para hacer
el gráfico manualmente primero se obtiene una
tabla de valores.
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Se observa que la única raíz real de esta
ecuación polinómica se encuentra entre 8 y 9.
Más precisamente, observando la gráfica que se
realiza utilizando el software Derive y cambiando
el rango de graficación, la raíz se visualiza
entre 8 y 8.5.

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c)  Método de bisección
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d) Con la computadora (se utiliza un programa
hecho en MATLAB) y según los datos del problema
número de iteraciones 10
a0 8 b0 8.5,
se obtiene x 8.3 y P(8.3)
0.0006. Luego, se llega a la conclusión
de que la base del prisma es de 8.3 cm, su
altura es de 6.3 cm y su profundidad es de 18.3
cm. Además, se puede comprobar que para estas
medidas de las aristas, se tiene Vprisma
957.907 cm3 957 cm3. Observación. Como es
una ecuación de orden 3 y las raíces complejas
aparecen de a pares, utilizando la
descomposición factorial de un polinomio, se
podrían obtener los valores de estas dos raíces
complejas conjugadas, si fuese de interés.
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Análisis didáctico de la solución del problema
Aquí se analizan los distintos registros de
representación utilizados en la situación
problemática propuesta con la finalidad de lograr
la comprensión y la aprehensión del concepto
Resolución Numérica de Ecuaciones
Polinómicas. En el enunciado de este problema se
detecta un registro verbal (el lenguaje común es
el utilizado para representar situaciones del
mundo real). En la posible solución, se observa
que subyacen los registros simbólicos (... un
prisma de base x cm ...), analíticos y
algebraicos (... Plantee la ecuación
correspondiente ...), tabular y grafical (...
separe las raíces ..., el gráfico ...), y
numérico (... realizando 10 iteraciones del
método de bisección ...). Así, se pasa de los
registros analíticos y algebraicos a los
algebraicos y numéricos a través del uso de un
método numérico. Las palabras y expresiones
usadas en el enunciado y en la solución que
desencadenan procesos interpretativos son las
siguientes volumen de un prisma, plantee, separe
y localice las raíces de una ecuación polinómica,
grafique la función polinómica, obtenga las
medidas de los lados utilizando un método
numérico, compruebe. Entra en juego la
utilización de la computadora como herramienta
colaboradora en los procesos de la enseñanza y el
aprendizaje de esta temática (por ejemplo, en la
parte del enunciado ... Compruebe los resultados
obtenidos utilizando la PC). Con la introducción
de ... realizando 10 iteraciones del método de
bisección ..., en este proceso se ha pasado a los
registros algebraico numérico.
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• En el apartado a) se destacan los siguientes
  registros de representación
• Ø Verbal el lenguaje común se utiliza para
  representar esta situación del mundo real.
• Ø Analítico se hace referencia al volumen del
  prisma, según la definición (el volumen del
  prisma es igual al área de la base por la altura
  del prisma).
• Ø Simbólico se da esta definición mediante
  expresiones simbólicas sustentadas por las reglas
  de la lógica formal (Vprisma x (x10) (x-2)
  957).
• Ø Algebraico se llega a la expresión final por
  medio de operaciones algebraicas (x3 8x2 20x
  957 0).
• En el apartado b) se destacan los siguientes
  registros de representación
• Ø Tabular corresponde a los valores numéricos
  de la función polinómica organizados en una tabla
  de valores.
• Ø Grafical corresponde a la representación en
  el plano cartesiano, incluyendo los convenios
  implícitos en la lectura de gráficos. Por
  ejemplo interpretación de ejes coordenados, de
  unidades, de corte o cruce de la gráfica con
  respecto al eje x, etc.

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En el apartado c) se destacan los siguientes
registros de representación Ø Simbólico se
dan el número de iteraciones (n), extremos de los
intervalos que contienen a la raíz de la
ecuación polinómica (an-1, bn-1), punto medio
(xn-1), valores de la función en los extremos y
punto medio (f(an-1), f(xn-1), f(bn-1)), a
través de expresiones simbólicas sustentadas por
las reglas del método de bisección. Ø Analítico
algebraico se obtiene el punto medio a partir
de la definición, utilizando la expresión
algebraica correspondiente. Ø Numérico se
realizan todas las evaluaciones que conllevan y
que están involucradas en el método de
bisección. Ø Tabular los valores numéricos
obtenidos se organizan en una tabla. Finalment
e, para facilitar y mejorar la comprensión e
interpretación de los resultados obtenidos
manualmente y para comprobar la validez de los
mismos, se utiliza la computadora. Las tareas de
computación son importantes en la enseñanza
aprendizaje de los métodos numéricos, pues
ayudarán a mejorar las habilidades de los
alumnos, tanto en el conocimiento de la teoría
como en la práctica de la temática involucrada.
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CONCLUSIONES El análisis a priori pone de
manifiesto que, debido a la complejidad, la
determinación de las raíces de la ecuación
polinómica requiere del uso de procedimientos
numéricos para su solución. Permite mostrar la
compleja trama de entidades y relaciones entre
los registros de representación en una actividad
matemática elemental. En este caso, la
utilización de herramientas computacionales
resulta ideal. Esta clase de análisis puede
ayudar a superar la creencia de que la solución
de algunos problemas es simple, al explicitar la
multiplicidad de registros que se ponen en juego
y observar que las conversiones de uno a otro
implican posicionarse en un determinado marco del
cual es necesario conocer sus reglas lógicas. Es
útil para describir los procesos de
interpretación y comunicación del saber
matemático e identificar las razones que pueden
condicionar el aprendizaje. Se espera que los
alumnos comprueben lo indispensable del uso de
las computadoras para resolver este tipo de
problemas, y tengan una demostración tangible de
cómo pueden ayudarles a realizar estas tareas que
conllevan una gran cantidad de cálculos.
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BIBLIOGRAFÍA Chevallard, Y., 1992, Concepts
fondamentaux de la didactique Perspectives
apportes par une approche anthropologique.
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(1). Duval, R, 1995, Sémiosis et pensée humaine,
Registres sémiotiques et apprentissages
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(Prensa), Un enfoque semiótico de la cognición
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Batanero, C., 1994, Significado institucional y
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325-355. Hitt, F., 1996, Sistemas semióticos de
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didácticos, Investigaciones en Matemático
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pp. 245-264. Ministerio de Cultura y Educación de
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J., 1968, La formation du symbole chez lenfant,
Neuchatel, Delachaux Niestlé. Rico, L., 2000,
Sobre las nociones de representación y
comprensión en la investigación en Educación
Matemática, Ponencia en IV SEIEM (Huelva, 2000),
Universidad de Granada, España.