Diapositiva 1

1
Números primos y Ley de Benford
Bartolo Luque y Lucas Lacasa ETSI
Aeronáuticos Dpto. Matemática Aplicada y
Estadística Universidad Politécnica de
Madrid Octavio Miramontes Instituto de
Física UNAM
Madrid 25 de Julio de 2006
2
1. Números primos
3
Qué es un número primo?
Un entero mayor que uno se llama número primo si
solo tiene como divisores a 1 y a él mismo.
"primo" "de base"
4
Hay dos hechos sobre la distribución de los
números primos de las que espero convencerles
tan fuertemente que queden permanentemente
grabadas en sus corazones. La primera es que, a
pesar de su sencilla definición y de su papel
como ladrillos en la construcción de los números
naturales, los números primos pertenecen a la
clase más arbitraria y perversa de los objetos
estudiados por los matemáticos crecen como malas
hierbas entre los números naturales, parecen no
obedecer otra ley que las del azar, y nadie puede
predecir donde brotará el siguiente. El segundo
hecho es incluso más sorprendente, pues afirma
justo lo contrario que los números primos
exhiben sorprendentes regularidades, que hay
leyes que gobiernan su comportamiento, y que
obedecen estas leyes con precisión casi militar.
Don Zagier, "The first 50 million primes"
Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19
5
(No Transcript)
6
El teorema fundamental de la aritmética
El teorema fundamental de la aritmética muestra
que los primos son los ladrillos básicos con los
que están construidos los enteros. Dice Todo
entero positivo mayor que uno puede ser escrito
de forma única como el producto de primos, con
los factores primos en el producto en orden de
tamaño no decreciente. (Euclides, Elementos).
7
Cuántos primos existen?
Euclides demostró que siempre existe al menos un
primo entre n y (n! 1) de la siguiente manera
(a) n! y (n! 1) no tienen factores comunes.
(b) O bien (n! 1) es primo o bien es
factorizable (b.1) Si (n! 1) es primo queda
demostrada la afirmación. (b.2) Si (n! 1)
puede descomponerse en factores, por (a) ninguno
de ellos puede dividir a n! De modo que
cualquier factor de (n! 1) estará entre n y (n!
1). (b.2.1) Si el factor es primo queda
demostrada la afirmación. (b.2.2) Si el factor
no es primo, entonces por el mismo argumento
(b.2), será mayor que n y podemos volver a
descomponerlo hasta encontrar finalmente un
primo mayor que n.
8
Ausencia aparente de un patrón regular en la
secuencia de números primos
Por ejemplo, hay nueve primos entre 9.999.900 y
10.000.000
Pero entre los cien enteros siguientes, desde
10.000.000 a 10.000.100, hay solo dos
10.000.019 y 10.000.079.
9
Los matemáticos griegos probaron, alrededor del
300 antes de nuestra era, que existen infinitos
primos y que están espaciados de manera
irregular, es decir que la distancia entre dos
primos consecutivos puede ser arbitrariamente
larga.
10
(No Transcript)
11
The Counting Prime Function
"Cuántos primos hay menores que un número x?"
Así los primos menores o iguales a 25 son 2, 3,
5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23 de modo que ?(25) 9.
12
La distribución de números primos parece ser
aleatoria. Por ejemplo, hay probablemente
infinitos primos gemelos y existen gaps
arbitrariamente largos entre primos.
13
It is evident that the primes are randomly
distributed but, unfortunately we don't know
what 'random' means. R.C. Vaughan
14
Sin embargo, la función p(x) exhibe un
sorprendente "buen comportamiento".
15
"For me, the smoothness with which this curve
climbs is one of the most astonishing facts in
mathematics." Don Zagier, "The first 50 million
primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977)
1-19
16
Here is order extracted from confusion,
providing a moral lesson on how individual
eccentricities can exist side by side with law
and order.
17

Observemos que cuando pasamos de un orden de
magnitud al siguiente el cociente n/p(n) se
incrementa aproximadamente 2,3.
22.0 - 19.7 2.3
Gauss formuló la conjetura de que p(n) es
aproximadamente igual a n/Ln n.
18
(No Transcript)
19
Legendre
En 1798 Legendre publica la primera conjetura
significativa sobre la forma funcional de ?(x),
cuando en su libro Essai sur la Théorie des
Nombres escribe que
20
http//mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.ht
ml
21
The logarithmic integral function Li(x)
Zagier en su artículo dice al respecto "within
the accuracy of our picture, the two coincide
exactly."
22
Se sabe que Li(x) no es siempre mayor que ?(x),
pero eso ocurre por primera vez alrededor de
10320!
23
(No Transcript)
24
Antes de la existencia de los ordenadores...Tablas
de D. N. Lehmer primos hasta 10.006.721
25
Prime Counting Function -- from Wolfram
MathWorld.htm
26
El teorema de los números primos
En 1896, de la Valee Poussin y Hadamard probaron
simultáneamente lo que se había sospechado
durante mucho tiempo, el teorema de los números
primos
El número de primos que no excede a x es
asintótico a x/log x.
27
El teorema nos dice que x/log x es, hasta cierto
punto, una buena aproximación a p(x) . Al decir
que "a(x) es asintótico a b(x)" o "a(x) b(x)"
decimos que el límite de a(x)/b(x) es 1 cuando x
tiende a infinito. Pero, observemos que
a(x)  b(x) no significa que a(x) - b(x) sea
pequeño.
28
El teorema de los números primos implica que
podemos usar x/(log x - a) (con cualquier
constante a) para aproximar ?(x).  Chebychev
demostró que la mejor elección era a 1.
29
La función de Riemann R(x)
Los números de Möbius se definen como cero
cuando n es divisible por un cuadrado y como
(-1)k en caso contrario. Donde k es el número de
distintos factores primos de n.
30



-2
1
1
-5
1
2
-10
0
3
-17
2
4
-38
-5
5
-130
29
6
-339
88
7
-754
97
8
-1701
-79
9
-3104
-1828
10
-11588
-2318
11
-38263
-1476
12
-108971
-5773
13
-314890
-19200
14
-1052619
73218
15
-3214632
327052
16
-7956589
-598255
17
-21949555
-3501366
18
-99877775
23884333
19
-222744644
-4891825
20
-597394254
-86432204
21
-1932355208
-127132665
22


23
31
(No Transcript)
32
Recordemos que p(x) es una función escalonada.
Sin embargo la función Riemann R(x) es una
aproximación suave. Podemos interpretar a R(x)
como la densidad media de los números primos. E
interpretar entonces la diferencia R(x) - p(x)
como fluctuaciones locales.
33
Are Prime Numbers Regularly Ordered? Z. Gamba, J.
Hernando and L. Romanelli Physics Letters A 145,
no. 2,3 (2 April 1990), 106-108.
Consideran R(x) - p(x) como una "señal" y
calculan sus exponentes de Lyapunov para decidir
si el "mecanismo" que la crea es caótico o no.
Los autores concluyen "...a regular pattern
describing the prime number distribution cannot
be found. Also, from a physical point of view,
we can say that any physical system whose
dynamics is unknown but isomorphic to the prime
number distribution has a chaotic behaviour."
34
Apéndice I Densidad límite o natural
35
Densidad límite o natural
Si contamos el número de enteros pares inferiores
a n, tenemos que hay exactamente n/2 si n es par
y (n1)/2 si n es impar. De modo que cuando n
tiende a infinito la densidad de números pares
tiende a 1/2.
Decimos entonces que los números pares tienen una
densidad límite o natural igual a 1/2.
36
Densidad límite o natural
Exactamente los mismo pasa para los impares
Los múltiplos de 3 tienen densidad límite 1/3.
Los números no múltiplos de 3 tienen densidad
límite 2/3. Y en general los múltiplos de r gt 0
tendrán densidad límite 1/r y los no múltiplos
de r (1 - 1/r).
37
No existencia de la densidad límite
(1) Un conjunto dado de números no tiene por qué
tener siempre una densidad límite. Consideremos
como ejemplo el conjunto D 1, 4,5,6,7,
16,17,18,...,31, 64,65,... obtenido
reagrupando todos los naturales m comprendidos
entre 22N (incluido) y 22N1 (excluido) para N
0, 1, 2, 3, ... Están incluidos 20, 21) 22,
23) 24, 25) 26, 27)... Están excluidos (21,
22 (23, 24 (25, 26...
38
Dificultades de la densidad límite
La densidad de los elementos de D inferiores a
un número n será
Pero esta densidad no posee límite para n 22N
es 3/8 y para n 22N1 es 5/8. Oscila
continuamente...
39
Densidad límite o natural nula
Otra aparente dificultad es que ciertos conjuntos
puedan tener densidad límite nula. No se trata de
una paradoja y es fácil encontrar ejemplos
sean los cuadrados C 0, 1, 4, 9, 16, ... ,
m2. El número de cuadrados inferiores a un
número n es exactamente el número de enteros
inferiores a vn, número, que es inferior a vn
1. La densidad de cuadrados es inferior entonces
a (vn 1)/m que tiende a cero cuando n tiende a
infinito.
40
Densidad límite o natural nula
Decimos que un conjunto infinito que tiene una
densidad límite nula es un conjunto que se
rarifica. Y es el caso de la densidad de los
números primos. Se trata de un conjunto que
aunque es infinito se hace cada vez más y más
tenue, y su densidad límite se hace nula.
41
Teorema de rarefacción de Legendre
El conjunto de los números primos admite una
densidad límite nula.
42
Teorema de rarefacción de Hadamard-Poussin
Existe una función simple f(x) tal que
Los dos teoremas de rarefacción anteriores nos
dicen que si existe una función tal, tendrá que
cumplir que f(x)/x tiene límite cero cuando x
tiende a infinito y la suma de las inversas de
f(x) será infinita.
43
2. Ley de Benford
44
Primer dígito significativo
0,0174
299.959
1,74 10-2 1,74 1
2,99959 105 2,99959 2
45
Las barras negras representan las frecuencias de
aparición como primer dígito significativo (d
1,2,3,...,9) en una lista de N 201 constantes
físicas.
46
En barras blancas aparecen las frecuencias de
aparición como primer dígito de los números 1 a 9
en el tamaño en bytes de N 1.295.777 ficheros.
47
Simon Newcomb (1835-1909).
Note on the frequency of use of the different
digits in natural numbers. Amer. J. Math. 4
(1881) 39-40.
48
Frank Benford
1
Sampls
9
8
7
6
5
4
3
2
Title
335
5.1
4.2
5.5
8.6
7.2
11.3
10.7
16.4
31.0
Rivers, Area
3259
2.2
3.7
4.1
6.2
7.2
8.1
14.2
20.4
33.9
Population
104
10.6
2.9
1.0
5.8
10.6
8.6
4.8
14.4
41.3
Constants
100
5.0
5.0
6.0
6.0
8.0
10.0
12.0
18.0
30.0
Newspapers
1389
4.1
4.8
3.2
4.1
10.6
14.6
16.2
18.4
24.0
Specific Heat
703
4.7
4.4
5.7
6.4
8.3
9.8
12.8
18.3
29.6
Pressure
690
3.6
5.1
5.1
7.0
8.1
10.8
11.9
18.4
30.0
H.P. Lost
1800
3.2
2.8
4.1
5.1
6.7
10.8
15.4
25.2
26.7
Mol. Wgt.
159
1.9
2.5
5.0
5.0
8.2
12.6
13.8
23.9
27.1
Drainage
91
5.5
4.4
3.3
4.4
6.6
4.4
5.5
18.7
47.2
Atomic Wgt.
5000
8.9
8.0
7.2
6.8
6.6
6.8
9.7
20.3
25.7
      ,       
560
5.6
7.3
7.0
8.4
8.3
7.5
14.3
14.8
26.8
Design
308
4.2
4.9
5.5
6.5
7.1
7.5
12.4
18.5
33.4
Reader's Digest
741
3.1
5.5
4.7
5.5
9.8
10.1
10.1
18.8
32.4
Cost Data
707
4.8
5.8
5.1
7.4
8.1
9.0
14.4
17.5
27.9
X-Ray Volts
1458
3.0
5.6
4.9
6.4
7.4
9.8
12.6
17.6
32.7
Am. League
1165
5.4
4.7
5.2
7.0
6.6
8.7
14.1
17.3
31.0
Blackbody
342
5.0
5.0
5.6
6.4
8.5
8.8
12.6
19.2
28.9
Addresses
The law of anomalous numbers. Proc. Am. Philos.
Soc. 78 (1938) 551-538.
900
5.5
7.1
6.8
8.8
8.5
10.0
12.0
16.0
25.3
    ,             
418
4.1
4.8
7.2
6.5
6.7
9.4
15.7
18.6
27.0
Death Rate
1011
4.7
4.9
5.1
6.4
8.0
9.4
12.4
18.5
30.6
Average








Probable Error
49
(No Transcript)
50
Las barras representan las frecuencias de
aparición como primer dígito de los números 10 a
99 en los N 1.295.777 ficheros medidos. La
línea continua representa la ley de Benford
generalizada para dos dígitos.
51
Invarianza de base y de escala en la densidad de
probabilidad
Theodore Hill
Invarianza de escala
Invarianza de base
No toda lista de números que cumple la Ley de
Benford proviene de una distribución invariante
de escala. Pero seguro que es invariante de base.
52
Procesos multiplicativos
53
? -1
5 décadas
5 décadas
54
Para una lista de números que siga una
distribución de probabilidad en forma de ley de
potencias N-1, tendremos que la probabilidad del
primer dígito significativo es independiente de
la década y sigue la ley de Benford
Normalizando
55
The demonstration of Benfords Law (and also for
the distribution of the second digit) was done in
1996 by Professor Theodore Hill (School of
Mathematics, Center for Applied Probability,
Georgia Institute of Technology) in his article
A Statistical Derivation of the
Significant-Digit law. Hill later showed there
was a kind of central limit theorem that applied
to a wide variety of distributions--that
combinations of distributions tend towards the
distribution predicted by Benfords law even when
the original distributions do not Hill1996.
56
Benford1938 F. Benford, "The law of anomalous
numbers," Proc. Amer. Math. Soc., 78 (1938)
551--572. (Annotation available) CK1984 D.
Cohen and K. Talbot, "Prime numbers and the first
digit phenomenon," J. Number Theory, 18 (December
1984) 261--268.  MR 85j11014 Cohen1976 D.
Cohen, "An explanation of the first digit
phenomenon," J. Combin. Theory, Ser. A, 20 (1976)
367--370.  MR 5310698 DF1979 P. Diaconis and
D. Freedman, "On rounding percentages," J. Amer.
Stat. Assoc., 74 (1979) 359--364.  MR 81d62014
Hill1995 T. Hill, "Base-invariance implies
Benford's law," Proc. Amer. Math. Soc., 1233
(March 1995) 887--895. (Annotation available)
Hill1996 T. Hill, "A statistical derivation of
the significant-digit law," Statistical Science,
104 (1996) 354--363.  MR 98a60021 (Annotation
available) Knuth97 (sect. 4.2) D. E. Knuth,
Seminumerical algorithms, 3rd edition, The Art of
Computer Programming volume 2, Addison-Wesley,
Reading MA, 1997. This book is an excellent
reference for anyone interested in the basic
aspects of programming the algorithms mentioned
in these pages. Matthews1999 R. Matthews, "The
power of one," New Scientist, (1999) 26--30.  10
July. A simple account of Benford's law.
Newcomb1881 S. Newcomb, "Note on the frequency
of use of the different digits in natural
numbers," Amer. J. Math., 4 (1881) 39--40.
Nigrini1992 M. Nigrini, "The detection of
income evasion through an analysis of digital
distributions," Ph.D. thesis, Dept. of
Accounting, Univ. Cincinnati, Cincinnati OH,
(1992) Nigrini1996 M. Nigrini, "A taxpayer
compliance application of Benford's law," J.
Amer. Taxation Assoc., 18 (1996) 72--91.
Raimi1976 R. A. Raimi, "The first digit
problem," Amer. Math. Monthly, 837 (1976)
521--538.  MR 5314593
57
Apéndice II Se cumple la ley de Benford para
los números primos?
58
Se cumple la ley de Benford para los números
primos? Prime FAQ, Chris K. Caldwell
Si tomamos muchos números primos al azar,
comenzarán por los dígitos 1, 2,..., 9 con la
misma frecuencia o el dígito 1 será más común
como sugiere la ley de Benford?
En el "caso de que haya una respuesta", el 1
como primer dígito significativo aparece más a
menudo. De hecho log 2 veces (alrededor del 30)
como predice la ley de Benford.
59
Repetimos Se cumple la ley de Benford para los
números primos?
Decíamos "Si tomamos muchos números primos al
azar..." Qué significa "tomar primos al
azar"? No es sencillo hacerlo de modo que se
satisfagan las leyes básicas de la
probabilidad. Veamos un ejemplo...
60
Tomemos un entero al azar...
Sean A,B ? N y P(A), P(B) las probabilidades de
tomar al azar un número del conjunto A, B
respectivamente. Entonces debe cumplirse (1)
P(N) 1 (2) 0 lt P(A) lt 1 (3) Si A y B son
disjuntos, entonces P(A?B)P(A)P(B) Sea
A1,2,3,...,n, P(A)1. Si cada número es
igualmente probable, por el axioma (3) tenemos
que P(A) nP(1). Y entonces, P(1) 1/n
para todo natural n y la probabilidad de tomar un
entero al azar es cero.
61
Tomemos un entero al azar...
De modo que cuando decimos toma un entero al azar
no lo podemos hacer del conjunto de los naturales
con todos los números igualmente probables.
Raimi1969 and Raimi1976 Opciones? Definir
densidades límite o naturales. Vimos que no
teníamos problemas con los pares o los primos,
pero intentémoslo con los números naturales que
comienzan por 1
62
El cociente oscila a medida que n crece y no
existe el límite...
63
Para sortear el problema se ha sugerido tomar el
valor promedio como densidad. Y en ese caso,
efectivamente, se obtiene la ley de Benford.
64
Y lo mismo ocurre para los primos
Flehinger1966.  
65
Una manera de sortear las probabilidades nulas
para cada número que nos impiden "tomar un
número al azar" es asignar probabilidades
distintas de cero (que los matemáticos llaman
densidades) a cada entero, de modo que la suma
de las densidades sea 1. Esto implica que todos
los números no son igualmente probables y a
menudo se escogen de modo que los números más
pequeños son más probables que los grandes.
66
Ejemplo la densidad zeta, d(A) de un cjto. A
Cuando existe la densidad límite o natural
coincide con la densidad zeta Diaconis.  .
Para los naturales y también para los números
primos sus respectivas densidades zeta siguen la
ley de Benford Serre1973.
67
Otro ejemplo la densidad logarítmica
Y de nuevo cumple la ley de Benford para los
naturales y también para los números
primos Whitney1972. . De hecho Cohen y Katz
han mostrado que para cualquier "densidad
razonable" para los primos se cumple la ley de
Benford Cohen1976. CK1984.  .
68
Ejemplos (1) Factores primos de números de
Lucas y Fibonacci
25. 000 factores primos mayores que un millón,
David Broadhurst
First Digit of factors of Lucas and Fibonacci
numbers
69
Ejemplos (2) Generalized Repunit Numbers
926.663 factores primos mayores que un 105, Andy
Steward
First Digit of Generalized Repunit Prime Factors
Second Digit of Generalized Repunit Factors
70
Li(x) no tiene primitiva analítica simple. Pero
podemos aproximar Li(x) por una función gracias a
un teorema de análisis que nos dice que dos
funciones para las cuales sus derivadas se
comportan de la misma manera en el infinito
implica que las funciones mismas se comportan
igual en el infinito. Busquemos entonces una
función cuya derivada se comporte en el infinito
como la derivada de Li(x) que es de hecho 1/Ln x.
Por ejemplo x/Lnx ya que su derivada es 1/Lnx
- 1/Ln2x se comporta como 1/Lnx en el infinito.
71
Números primos y Benford Generalizado
Bartolo Luque y Lucas Lacasa ETSI
Aeronáuticos Dpto. Matemática Aplicada y
Estadística Universidad Politécnica de
Madrid Octavio Miramontes Instituto de
Física UNAM
Madrid 25 de Julio de 2006
72
1. Patrones en los números primos
73
(No Transcript)
74
En 1963 el gran matemático polaco Stanislaw M.
Ulam (1909-1986), aburrido durante una charla
científica en un congreso, comenzó a garabatear
sobre una hoja cuadriculada. Se le ocurrió,
comenzando por el número 1, disponer los números
naturales en forma espiral de la siguiente
manera 17 16 15 14 13
18 5 4 3 12
19 6 1 2 11
20 7 8 9 10 21
22... y distinguir los primos del resto de
números (en nuestro ejemplo los primos están en
negrita y subrayados). Sorprendentemente los
primos parecían disponerse con mucha más
frecuencia de lo esperado a lo largo de
diagonales. Tal vez había encontrado un patrón en
el caos de la distribución de números primos...
75
an2 bn c
76
Jean-Francois Colonna La espiral de Ulam
generalizada mostrando 1024 números naturales
77
La espiral de Ulam nos ofrece evidencia visual de
que existe algún orden oculto en la distribución
de los números primos. Es un magnífico ejemplo de
cómo un experimento gráfico puede producir
resultados matemáticos inesperados. Y como apunta
Ivars Peterson en su libro Mathematical Trek,
también nos muestra que es verdad que no solo
hay misterio sino también belleza en la
distribución de números primos.
78
Random First Digit Prime Walk
1
2
8
3
7
4
6
5
79
"Al azar" del 1 a 10.000.000
80
"Al azar" de los primos comprendidos entre 1 y
10.000.000 (unos 70.000 primos)
81
Si los números primos están distribuidos "al
azar", entonces para un número suficientemente
grande de ellos, la distribución de probabilidad
sus primeros dígitos significativos d
1,2,3,,9 debería ser equiprobable p(d) 0
,1111...
Tabla de valores p(d) y diferencias con 0,1111
82
Para los dos primeros dígitos significativos d
10,11,12,,98,99 esperaríamos p(d) 0
,01111...
83
Para los tres primeros dígitos significativos d
100,101,102,,998,999 esperaríamos p(d) 0
,001111...
84
Para los cuatro primeros dígitos significativos d
1000,1001,1002,,9998,9999 esperaríamos p(d)
0 ,0001111...
85
Para los cinco primeros dígitos significativos d
10000,10001,10002,,99998,99999 esperaríamos
p(d) 0 ,00001111...
86
DISCUSSION ON BENFORDS LAW AND ITS
APPLICATION LI ZHIPENG, CONG LIN AND WANG HUAJIA,
Oct 2004
3.3.2 The Prime-number Series The prime number
series is rather uniform below 100000, with the
probability of each possible first significant
digit being between 12.5 and 10.4. Moreover,
using the upper and lower bounds of function p(n)
from the prime number theorem, it can be shown
that the prime number sequence approximates a
uniform distribution.
87
(No Transcript)
88
2. Benford Generalizado
L. Pietronero, E. Tossati, V. Tossati and A.
Vespignani. Explaining the uneven distribution
of numbers in nature the laws of Benford and
Zipf. Physica A 293 (2001) 297-304.
89
Cualquier lista de números que siga una
distribución de probabilidad en forma de ley de
potencias tendrá una probabilidad del primer
dígito significativo independiente de la década
Ley de Benford Generalizada (BG)
Normalizando
90
(No Transcript)
91
(No Transcript)
92
(No Transcript)
93
(No Transcript)
94
(No Transcript)
95
(No Transcript)
96
Ley de Benford Generalizada (BG)
97
(No Transcript)
98
(No Transcript)
99
Nota parece que haya una dependencia de a con N,
a(N) Explorar minimizando para p(N) en Mapple.
100
(No Transcript)
101
(No Transcript)
102
(No Transcript)
103
Error relativo
104
3. Modelo de Cràmer
105
God may not play dice with the universe, but
something strange is going on with the prime
numbers. Paul Erdös
106
Modelo de Cràmer versión estadística de la
distribución de números primos
Sucesión de urnas con i bolas cada una.
Ln i bolas 1 bola es negra y (Ln i -1) bolas
son rojas.
Posición de los primos
107
(No Transcript)
108
(No Transcript)
109
Ceros de Riemann y Benford Generalizado
Bartolo Luque y Lucas Lacasa ETSI
Aeronáuticos Dpto. Matemática Aplicada y
Estadística Universidad Politécnica de
Madrid Octavio Miramontes Instituto de
Física UNAM
Madrid 25 de Julio de 2006
110
B. Riemann
Ueber die Anzahl der Primzahlem unter einter
gegebenen Grösse (1859)
111
La función zeta ?(s)
Euler la llamó función zeta en 1737. Consideró
que s era un real mayor que 1.
112
Repitamos la operación para el siguiente primo 3.
113
Producto de Euler para la función zeta.
114
La contribución genial de Riemann fue conectar
los ceros de esta función con el comportamiento
asintótico de p(x). Por prolongación analítica
extendió la función al plano complejo, fuera de
la singularidad z 1. Gran parte del trabajo se
debe al descubrimiento de una ecuación funcional
que relaciona zeta(z) con zeta(1-z), en una
simetría respecto al eje Re(s)1/2.
115
La función zeta ?(s) de Riemann
Bernhard Riemann hacia 1859 generalizó la función
zeta a números s x iy complejos. Aquí vemos
una representación gráfica del módulo de la
función z de Riemman ? (s). Obsérvese el polo
en s 1.
116
Aquí vemos una representación gráfica del módulo
de la inversa de la función z de Riemman 1/?
(s). De este modo podemos ver fácilmente los
ceros de la función z como polos. Los ceros
parece que vayan paralelos y cercanos al eje
imaginario.
117
Hipótesis de Riemann
Los pares negativos (-2, -4, -6, etc.) son ceros
de la función zeta, los llamados ceros triviales.
La hipótesis de Riemman afirma que todos los
demás ceros, llamados no triviales, tienen parte
real igual a ½. Es decir, que son de la forma ½
iy.
Grafica de y frente al módulo
118
Los 10.000 primeros millones de ceros de la
función zeta están en la línea crítica ½ (Mayo
2002).
119
(No Transcript)
120
Aproximando p(x) usando los primeros 500 ceros de
la función zeta.
121
Aproximando p(x) usando los primeros 500 ceros de
la función zeta ahora en el intervalo 190 a 230.
122
(No Transcript)
123
(No Transcript)
124
(No Transcript)
125
(No Transcript)
126
3. Modelo de Hawkins
Criba estocástica de Erastótenes
127
1 Cross out 1 it is not prime.
128
2 Leave 2 cross out multiples of 2
129
3 Leave 3 cross out multiples of 3
130
4 Leave 5 cross out multiples of 5
131
5 Leave 7 cross out multiples of 7
132
6Leave 11 cross out multiples of 11
133
All the numbers left are prime
134
(No Transcript)
135
(No Transcript)
136
Let us turn, finally, to the question of twin
prime pairs. It is thought that there are an
infinite number of such pairs, though this is
still an open question.Why do we believe it is
true, even though there is no proof? First of
all, there is numerical evidence we find more
prime pairs whenever we look for them there does
not seem to be a region of the natural number
system so remote that it lies beyond the largest
prime pair. But more than that, we have an idea
how many prime pairs there are. We can get this
idea by noticing that the occurrence of prime
pairs in a table of prime numbers seem to be
unpredictable or random. This suggests the
conjecture that the chance of two numbers n and n
2, both being prime, acts like the chance of
getting a head on two successive tosses of a
coin. If two successive random experiments are
independent, the chance of success on both is the
product of the chances of success on either for
example, if one coin has probability 1/2 of
coming up heads, two coins have probability 1/2 x
1/2  1/4 of coming up a pair of heads. Now the
prime number theorem, which has been proved, says
that if n is a large number, and we choose a
number x at random between 0 and n, the chance
that x is 1 prime will be "about"  1/log n. The
bigger n is, the better is the approximation
given by  1/log n to the proportion of primes in
the numbers up to n. If we trust our feeling
that the occurrence of twin primes is like two
coins coming up heads, then the chance 1 that
both x and x 2 are prime would be about 1/(log
n)2. In other words, there would be about n/(log
n)2 prime pairs to be found between 0 and n. This
fraction approaches infinity as n goes to
infinity, so this would provide a quantitative
version of the prime pair conjecture.For reasons
involving the dependence of x 2 being prime on
the supposition that x is already prime, one
should modify the estimate n/(log n)2 to
(1.32032..)n/(log n)2.Appended is a comparison
between what has been found and what is predicted
by this simple formula. The agreement is
remarkably good, but the final Q.E.D. is yet to
be written.

137
Lu(x)
(11) Reinterpretar el integrando de las
distribuciones de primer dígito como densidad de
la distribución asociada. (12) Derivar counting
function para la distribución de primos. Ver que
se cumplen los teoremas de números primos,
comparar con aproximación de Legendre.
138
(15) Asumir 1/ln(n) como densidad de la
distribución (lo que daría la Li como counting
function), y ver que la distribución de primer
dígito obtenida a partir de esa densidad
efectivamente concuerda también (realizar ajustes
6, 8, 9, 10). (16) Demostrar que (15) funciona
porque podemos aproximar densidades logarítmicas
a densidades potenciales con exponente
variable. (17) Demostrar que efectivamente, toda
distribución cuya densidad se rarifica (densidad
asintótica nula) acepta una distribución de
primer dígito en términos de BG (cuyo exponente
variará con el tamaño de la muestra según una
forma funcional que dependerá de la forma
funcional de la densidad).
139
Modelos multiplicativos/Cribas estocásticas
CiberEratóstenes Proceso dinámico...
(18) Proceso dinámico para generar primos a
través de procesos multiplicativos que generen
BG. --relación con modelos de cribas
(eratóstenes-hawkins).
(19) Multifractalidad. (20) Búsqueda de primos
gigantes. Ventajas de este pattern. Relación
entre los primos de Mersenne que son Benford y la
distribución de primos total que es BG con
exponente variable. (21)...
140
La función zeta de Riemman está profundamente
conectada con la distribución de los números
primos. Helge von Koch probó en 1901 que la
hipótesis de Riemann es equivalente a
La distribución de ceros no triviales de la
función zeta de Riemann sobre la línea crítica
es "la dual" de la distribución de los números
primos.
141
El teorema de los números primos (II)
Como demostraron Hadamard y de la Valee Poussin,
de forma equivalente, el teorema de los números
primos dice que
para alguna constante positiva a y
El error está de hecho íntimamente conectado con
la hipótesis de Riemann.
142
La distribución de ceros no triviales de la
función zeta de Riemann sobre la línea crítica
es "la dual" de la distribución de los números
primos.
La función zeta de Riemman está profundamente
conectada con la distribución de los números
primos. Helge von Koch probó en 1901 que la
hipótesis de Riemann es equivalente a
En otras palabras la hipótesis de Riemann nos
dice que Li(x) es una buena aproximación.
143
While the expression n/log n is a fairly simple
approximation for p(n) , it is not terribly
close, and mathematicians have been interested in
improving it. Of course, one does this at the
price of complicating the approximant. One of the
most satisfactory approximants to p(n) is the
function R(n) 1 åk1  1/kz(k1) (log n)k
/k! where z(z) designates the celebrated Riemann
zeta function z(z) 1 1/2z 1/3z  1/4z
.... The accompanying table shows what a
remarkably good approximation R(n) is to p(n)
144
Esto es R(x)
145
La función de Riemann R(x)
Los números de Möbius se definen como cero
cuando n es divisible por un cuadrado y como
(-1)k en caso contrario. Donde k es el número de
distintos factores primos de n.
146
(No Transcript)
147
zeros
(13) Derivar counting function para la
distribución de ceros de Riemann. Comparar con
estimaciones en la literatura. Modelo de Cràmer
para zeros
148
(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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