Diseo y anlisis de experimentos

1
Diseño y análisis de experimentos

• CO-4311 Estadística para la Calidad,
  Productividad y Simulación.

2
El papel de la estadística en el aseguramiento de
calidad

• Para mejorar es necesario hacer cambios.
• Los cambios deben basarse sobre buenos datos
  del sistema.
• Una vez obtenidos los datos, necesitamos
  convertirlos en información (en respuestas a
  preguntas).
• La estadística es la ciencia que estudia ambos
  aspectos.

3
El papel de la estadística en el aseguramiento de
calidad

• En muchos sistemas físicos es posible identificar
  unas variables de entrada (explicativas) que
  sirven de insumo a un proceso que a su vez
  produce una respuesta.

Variables explicativas
Proceso
Variables de respuesta
4
El papel de la estadística en el aseguramiento de
calidad

• En este tipo de situaciones nos interesa entender
  como los cambios en las variables explicativas
  afectan a la respuesta. Los datos que
  necesitamos para ello son mediciones de la
  variable de respuesta correspondientes a
  diferentes valores de las variables explicativas.

5
Formas de obtención de los datos

• La obtención de los datos sobre los cuales basar
  nuestras decisiones puede hacerse por observación
  (sin control sobre el valor de las variables
  independientes) o experimentalmente (controlando
  el valor de las variables independientes).
• La primera alternativa involucra el uso de
  registros históricos, mientras que la segunda el
  de experimentos diseñados.

6
Experimentos diseñados

• Un experimento diseñado es una prueba o serie de
  pruebas en las cuales se inducen cambios
  deliberados en algunas variables de entrada del
  sistema mientras otras se mantienen fijas, de
  manera de identificar las fuentes de los cambios
  en las variables de salida.

7
Definiciones básicas

• Unidad experimental es el sujeto u objeto sobre
  el cual se toma una medición de la variable de
  respuesta.
• Un punto del diseño es una combinación de valores
  de las variables explicativas para las cuales se
  toma una medición de la variable de respuesta.
  En otras palabras, estamos hablando de una
  condición experimental

8
Definiciones básicas (cont)

• Los tratamientos son las variables explicativas
  cuyo efecto sobre la respuesta nos interesa
  estudiar.
• Las variables explicativas cuya influencia sobre
  la respuesta no interesa al experimentador se
  denominan variables de ruido.
• Cuando las variables explicativas son categóricas
  se les llama factores.

9
Definiciones básicas (cont)

• Ejemplo 1 Se está interesado en estudiar la
  influencia de la presión y la temperatura de
  moldeo de un nuevo tipo de plástico sobre su
  dureza, para lo cual se decide tomar muestras de
  2 m2 (cada una de las cuales representa una
  unidad experimental) producidas a 200, 300 y 400
  psi de presión y 200 y 300 ºF de temperatura.

10
Definiciones básicas (cont)

• En este caso la temperatura y la presión
  representan los tratamientos del experimento y
  los mismos son factores
• El diseño comprende seis puntos (200psi,200ºF),
  (300psi,200ºF), (400psi,200ºF), (200psi,300ºF),
  (300psi,300ºF) y (400psi,300ºF).
• No hemos identificado ninguna variable de ruido
  para este problema.

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Ventajas de los experimentos diseñados

• Elegir los puntos del diseño tiene múltiples
  ventajas
• Se pueden controlar variables de ruido
• Las variables de ruido que se conocen pueden
  incluirse en el estudio en forma de bloques y
  covariables, o manteniendo su valor durante a lo
  largo de las distintas corridas.
• Para reducir la influencia de las variables de
  ruido cuya presencia se desconoce, la asignación
  de los tratamientos a las unidades experimentales
  se debe hacer en forma aleatoria.

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Ventajas de los experimentos diseñados

• Con datos históricos el rango de los tratamientos
  puede ser muy reducido, con lo que el ruido puede
  enmascarar los cambios en la respuesta.

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Ventajas de los experimentos diseñados

• Se puede reducir el tamaño muestral, simplificar
  el análisis y obtener mejor información
• Se puede lograr que los estimadores del modelo
  tengan propiedades atractivas (como por ejemplo
  la ortogonalidad). Esto hace que se logren
  estimaciones más eficientes con menos datos.
• Se pueden elegir que factores o interacciones han
  de despreciarse, en caso que esto sea necesario.
• En los datos históricos es posible que el efecto
  de algunas variables sea indistinguible
  (confusión de efectos).

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Etapas de un experimento
Identificación del problema Objetivo
(Hipótesis/Pregunta). Escoger variables de
respuesta. Identificar variables
explicativas. Vínculo entre VE y VR (modelo)
Diseño del experimento (dónde medir?)
Análisis de resultados (respuesta a la pregunta)
Recolección de la muestra (medición)

• El diseño del experimento está influenciado por
  el modelo para analizar los datos.

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Modelaje de sistemas

• Una vez recabados los datos, nuestro interés se
  centra en identificar las causas de los cambios y
  contestar preguntas sobre el comportamiento del
  sistema.
• La herramienta principal para lograr este fin son
  los modelos.

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Modelaje de sistemas (cont)

• Anteriormente estudiamos como utilizar modelos
  físicos en los cuales teníamos componentes
  estocásticos.
• Sin embargo, en muchos casos no se dispone de
  modelos físicos, o tales modelos son tan
  complicados que no son útiles en la práctica. Se
  hace necesario entonces desarrollar modelos
  empíricos, los cuales funcionan como cajas
  negras.

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Modelaje de sistemas (cont)

• En los cursos básicos de estadística se
  estudiaron los modelos lineales (los cuales
  incluyen a los modelos de regresión y de análisis
  de varianza como casos particulares) y se
  diseñaron herramientas para estimarlos y probar
  hipótesis sobre ellos. Vamos ahora a utilizar
  este mismo tipo de modelos para analizar los
  datos provenientes de experimentos diseñados.

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Diseños factoriales a dos niveles

• Son diseños en los cuales las variables
  explicativas son factores (es decir, son
  categóricas o se han categorizado).
• Para cada factor se consideran solo dos niveles,
  genéricamente alto () y bajo (-).
• Todas las variables explicativas involucradas son
  tratamientos
• El número de puntos diferentes para un diseño con
  k factores es n 2k.

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Modelos asociados

• Por ser un conjunto de datos con tratamientos
  categóricas, el modelo lógico a utilizar es un
  modelo de análisis de varianza con k vias que
  incluya todas las interacciones entre factores.
• También puede utilizarse un modelo de regresión
  lineal con variables codificadas, el cual resulta
  equivalente al modelo ANOVA.

20
Definición de efecto

• En el ámbito de los diseños 2k se denomina efecto
  de una variable (o de una interacción) a la
  diferencia entre la respuesta esperada que se
  obtiene en el nivel alto de la variable y la
  respuesta esperada que se obtiene en el nivel
  bajo de la misma.

21
Diseños 22

• Llamaremos A y B a las variables explicativas,
  así como a sus efectos.
• La interacción entre ambos factores y el efecto
  correspondiente la denotaremos AB.
• Las condiciones experimentales pueden ubicarse en
  un cuadro.

22
Nomenclatura de diseños 22

• Para denotar los puntos experimentales se utiliza
  una palabra compuesta por las letras minúsculas
  correspondientes a los factores que deban
  colocarse a nivel alto. El punto que corresponde
  a todas las variables en nivel bajo se denota (1).

23
Nomenclatura de diseños 22 (cont)

• Así, los puntos en orden estándar son
• En algunos casos se usa la misma nomenclatura
  para el valor de la variable de respuesta
  obtenida en ese punto, pero esto puede inducir a
  errores.

24
Estimación en diseños 22

• La forma más sencilla de estimar los efectos en
  este diseño es usar un modelo de regresión con la
  estructura
• donde

25
Estimación en diseños 22 (cont)

• Así se obtienen como estimadores
• donde el punto indica la suma sobre todas las
  réplicas obtenidas en el mismo punto.

26
Estimación en diseños 22 (cont)

• Este modelo de regresión es equivalente a ajustar
  un modelo de análisis de varianza de 2 vías
• donde se utilizan las restricciones
• cumpliéndose así las relaciones

27
Estimación en diseños 22 (cont)

• Recordemos que en este modelo m representa la
  media general de todas las observaciones y los
  demás coeficientes la diferencia respecto de esta
  media general que se produce en la respuesta para
  cada nivel de la variable correspondiente. Así

28
Estimación en diseños 22 (cont)

• El estimador del efecto de A que obtuvimos
  anteriormente puede escribirse
• Es decir, el promedio de todas las observaciones
  a nivel alto de A menos el promedio de todas las
  observaciones a nivel bajo de A. Esto está en
  línea con nuestra definición de efecto.

29
Estimación en diseños 22 (cont)

• El mismo efecto también puede escribirse
• El primer paréntesis representa el cambio de
  respuesta que produce la variable A cuando B está
  en nivel bajo y la segunda el mismo cambio cuando
  B esta en alto.

30
Diseños 2k

• El espacio de condiciones experimentales puede
  representarse mediante un cubo (para k 3) o
  pares de cubos (para k gt 3).

k 3
k 4
D
C
C
C
B
B
B
A
A
A
31
Nomenclatura de diseños 2k

• La forma de denotar los puntos es la misma que el
  diseño 22. En cuanto al orden estándar de un
  diseño 2k, este puede hallarse duplicando el
  orden estándar de un 2k-1, uno para el nivel bajo
  de la nueva variable seguido del otro para el
  nivel alto de la nueva variable.

32
Nomenclatura de diseños 2k

• Por ejemplo, para k 3 y k 4.

33
Estimación en diseños 2k

• Un modelo de regresión con k variables de la
  forma
• puede utilizarse para estimación en este problema.

34
Algoritmo de los signos

• Podemos usar la ortogonalidad del diseño para
  simplificar la fórmula de los estimadores mínimo
  cuadráticos. De hecho es fácil probar que estos
  se pueden escribir como un múltiplo del producto
  escalar de dos vectores

35
Algoritmo de los signos (cont)

• Por ejemplo, en un diseño 23, el estimador del
  efecto de la interacción ABC viene dado por
• La columna ABC se obtiene multiplicando las
  columnas de A, B y C.

36
Análisis de diseños 2k

• Si se toma más de una réplica entonces se utiliza
  una tabla de análisis de varianza de k vías para
  determinar cuales efectos son significativos. La
  suma de cuadrados de cada variable tiene 1 grado
  de libertad y puede obtenerse a partir del efecto
  mediante la fórmula

37
Análisis de diseños 2k (cont)

• Ejemplo 2 se desea estudiar el efecto de la
  rapidez de corte (A), la configuración (B) y el
  ángulo de corte (C) sobre la duración de una
  herramienta. Se eligen dos niveles para cada
  factor y se realizan tres réplicas en cada
  condición experimental. Los resultados se
  muestran en la tabla anexa.

38
Análisis de diseños 2k (cont)

• Se desea estimar los efectos de cada factor,
  determinar cuales son significativos sobre la
  respuesta y recomendar condiciones de operación.

39
Análisis de diseños 2k (cont)

• El estimador y la suma de cuadrados para cada
  efecto pueden calcularse con el algoritmo de
  signos. El SST 2095,334 y SSE 482,667 se
  obtienen como en el análisis de varianza
  tradicional.

40
Análisis de diseños 2k (cont)

• Con a 0.05 tenemos Fref (1,16) 4,49 y la
  tabla muestra que son significativos la
  interacción AC (y por tanto A y C) y el efecto
  principal B.

41
Análisis de diseños 2k (cont)

• Es claro que el factor B debe estar en nivel
  alto. Para determinar que hacer con A y C,
  nótese que de los tres efectos (A, C y AC) el que
  tiene el menor valor absoluto es A. Eso quiere
  decir que debemos colocar C y AC en condiciones
  óptimas y sacrificar (si es necesario) la
  contribución de A. Esto se logra colocando C en
  alto y A en bajo (vea los signos de los efectos).

42
Análisis de diseños 2k (cont)

• Finalmente, es necesario estudiar los residuos
  del modelo para verificar las hipótesis de
  normalidad.

43
Análisis de diseños 2k (cont)

• Los residuos parecen ser homocedasticos, aunque
  tienen una cola izquierda un poco menos pesada
  que la normal, lo que indica una distribución
  asimétrica. Es necesario tener cuidado con las
  conclusiones anteriores mientras no se haga un
  estudio más detallado sobre los residuos.

44
Análisis de diseños 2k (cont)

• Si se dispone de solo una réplica del experimento
  entonces la suma de cuadrados del error es nula y
  no es posible utilizar una tabla de análisis de
  varianza para determinar cuales efectos son
  significativos.

45
Análisis de diseños 2k (cont)

• Si se supone que no hay ningún efecto
  significativo y que los errores cometidos en cada
  medición siguen una distribución normal con media
  0 y varianza s2, entonces para todos los efectos

46
Análisis de diseños 2k (cont)

• Esto sugiere dos posibilidades para realizar el
  análisis
• Utilizar un gráfico cuantil cuantil de efectos
  contra la districión normal y considerar
  significativos los que no esten sobre la línea.
• Utilizar un estimador de s2 (o bien externo, o
  bien obtenido a partir de los datos en forma
  robusta) para calcular intervalos de confianza.
• Ambas técnicas suponen pocos efectos
  significativos.

47
Análisis de diseños 2k (cont)

• Ejemplo 3 En un estudio sobre el rendimiento de
  un proceso se consideran cuatro factores cada uno
  a dos niveles tiempo (A), concentración (B),
  presión (C) y temperatura (D). Los niveles
  utilizados son

48
Análisis de diseños 22 (cont)

• Los resultados se pueden observar en la siguiente
  tabla. Como solo se dispone de una réplica del
  experimento es posible estimar los efectos pero
  no se puede calcular una tabla de análisis de
  varianza.

49
Análisis de diseños 22 (cont)

• Usando el algoritmo de los signos se obtienen los
  efectos estimados para cada factor. Una
  inspección preliminar indica que la temperatura y
  algunas de sus interacciones son los factores más
  importantes.

50
Análisis de diseños 2k (cont)

• Del gráfico de efectos se observa que los efectos
  más importantes son efectivamente A, C, D, AC y
  AD.

51
Análisis de diseños 2k (cont)

• Los gráficos de residuos para el modelo que
  contiene solo los efectos significativos

52
Análisis de diseños 2k (cont)

• En este caso, también se puede construir el
  gráfico de residuos contra el tiempo

53
Análisis de diseños 2k (cont)

• Otra forma de analizar estos datos es obtener una
  estimación de la varianza de los efectos usando
  un estimador robusto como el MEDA (en inglés se
  le llama MAD), el cual viene definido por
• Este es un estimador insesgado de s para la
  distribución normal

54
Análisis de diseños 2k (cont)

• En nuestro ejemplo los yi corresponden a los
  efectos (cuya varianza queremos estimar). Por
  tanto
• y luego de restar este valor a cada efecto, tomar
  el valor absoluto y calcular la mediana de estos
  nuevos valores tenemos

55
Análisis de diseños 2k (cont)

• Así, el intervalo (-2,2239 2,2239) es una
  región de rechazo a un nivel de confianza
  aproximado de 95. Con esto vemos que son
  significativos los efectos de A, D, AC y AD. El
  efecto C, aunque es grande, no excede el
  intervalo de confianza, pero lo vamos a
  considerar significativo porque la interacción AC
  lo es (principio de jerarquía).

56
Construcción de un gráfico cuantil - cuantil

• Cada par ordenado a graficar corresponde al
  cuantil de cada distribución calculado al mismo
  nivel de probabilidad. Estos pares deben caer
  sobre una línea recta si ambas distribuciones son
  iguales.
• Las probabilidades suelen escogerse de tal manera
  que los cuantiles empíricos correspondan con las
  observaciones (esto con el fin de minimizar los
  cálculos).

57
Construcción de un gráfico cuantil cuantil
normal

• Ordenar los datos (x1, x2, xn) de menor a
  mayor. Llamaremos el rango i de una observación
  a su posición en la muestra ordenada (el dato más
  pequeño tiene rango i 1, etc).
• Asignar a cada dato una probabilidad acumulada de
  i/(n 1).
• Calcular los cuantiles de una normal estándar
  para cada probabilidad i/(n 1).

58
Construcción de un gráfico cuantil cuantil
normal

• Ejemplo 4 Considere la muestra formada por 2,3
  3,5 2,8 4,7 2,1 1,3 4,5 8,0
• Los cálculos se pueden resumir en la tabla

59
Construcción de un gráfico cuantil cuantil
normal

• Y el gráfico cuantil cuantil normal
  correspondiente es

60
Construcción de un gráfico cuantil cuantil
normal

• Se puede observar que la distribución empírica es
  asimétrica y que de hecho la cola derecha es más
  pesada que la de una normal.
• También es posible observar que la mediana de las
  observaciones está alrededor de 3,5.

61
Proyección de diseños 2k

• Gracias a su ortogonalidad, un diseño 2k en el
  cuál n factores (n lt k) son no significativos
  corresponde a 2n réplicas de un diseño en el cuál
  participan solo k - n factores.

bc
abc
c
C no significativo
ac
ab
b
b
abc
bc
C
ab
B
B
(1)
a
A
c
ac
A
a
(1)
62
Proyección de diseños 2k (cont)

• Ejemplo 3 (continuación ) usando el gráfico
  cuantil cuantil vimos que la concentración (B)
  parece no tener efecto sobre el rendimiento.
  Podríamos pensar entonces que nuestros resultados
  provienen de un diseño 23 con dos réplicas en los
  factores A, C y D, tal y como se muestra en la
  siguiente tabla.

63
Proyección de diseños 2k (cont)
64
Proyección de diseños 2k (cont)

• Podemos ahora construir una tabla de análisis de
  varianza para estos 3 factores.

65
Proyección de diseños 2k (cont)

• Esta tabla confirma los resultados obtenidos
  mediante el gráfico cuantil cuantil tanto la
  interacción ACD como la interacción CD son no
  significativas, pero el resto de los coeficientes
  del modelo si lo son.

66
Ventajas y desventajas de los diseños 2k (cont)

• Los diseños 2k son preferibles a los experimentos
  donde se inducen cambios en un factor a la vez
• En estos últimos no es posible estudiar la
  interacción.
• Estos últimos tienen una eficiencia menor, ya que
  se requieren más observaciones para lograr la
  misma precisión en la estimación.

67
Ventajas y desventajas de los diseños 2k (cont)

• Por ejemplo, se desea estudiar la influencia de
  la presión y la temperatura sobre la viscosidad
  de un producto. Bajo el esquema un factor a la
  vez, estudiaríamos primero la temperatura

68
Ventajas y desventajas de los diseños 2k (cont)

• Ahora, estudiaríamos la presión partiendo del
  mejor punto encontrado en el experimento
  anterior. Así, la condición óptima sería (250,
  590) y cada estimación del efecto estaría basada
  en dos observaciones.

69
Ventajas y desventajas de los diseños 2k (cont)

• Si usamos un diseño 2k podríamos advertir que la
  interacción es importante y por tanto el óptimo
  estaría en (220,590) y cada estimación del efecto
  sería calculada usando cuatro observaciones.

70
Ventajas y desventajas de los diseños 2k

• La principal ventaja es que son experimentos
  pequeños y baratos, ya que tienen la menor
  cantidad de puntos necesarios para estimar
  interacciones entre variables.
• La desventaja es que no proveen suficiente
  información para estudiar en profundidad la
  curvatura de la superficie.

71
Ventajas y desventajas de los diseños 2k (cont)

• Los experimentos factoriales a dos niveles se
  encuentran ampliamente difundidos y suelen usarse
  en las primeras etapas de la experimentación para
  reducir el número de variables explicativas a
  considerar.
• Sin embargo, los resultados que se obtienen con
  ellos suelen complementarse posteriormente.

72
Diseños 2k fraccionados

• A pesar de que un diseño 2k con una réplica es el
  diseño con la menor cantidad de puntos necesarios
  para estimar interacciones, en algunos casos este
  diseño puede ser demasiado grande.
• Suponga por ejemplo un problema en el cual se
  tienen 7 variables explicativas, y cada punto
  requiere un día de trabajo perdido. Esto
  significa 128 días!!

73
Diseños 2k fraccionados (cont)

• Una alternativa razonable es experimentar solo en
  algunos puntos del diseño.
• El precio a pagar será la necesidad de despreciar
  el efecto de algunas de las interacciones, ya que
  no podrán ser estimadas sino conjuntamente con
  otras.
• Trataremos de mantener la ortogonalidad del
  diseño, por lo que la fracción será una potencia
  negativa de 2.

74
Diseños 2k fraccionados (cont)

• Como ejemplo, partamos de un diseño 23, y
  supongamos que solo es posible realizar cuatro
  mediciones. Esto es un diseño 23-1.
• Cuáles puntos escogería?

75
Diseños 2k fraccionados (cont)

• Supongamos que escogemos (1), a, b, c.
• El diseño que se obtiene no es ortogonal.
  Verifíquelo!

76
Diseños 2k fraccionados (cont)

• Supongamos que escogemos a, b, ac, bc.
• La columna de A es igual a la columna de B
  multiplicada por -1 (B -A). Los efectos de
  ambos factores son inseparables. Pero son
  efectos principales!

77
Diseños 2k fraccionados (cont)

• Supongamos que escogemos a, b, c, abc.
• Aquí A BC, B AC y C AB. De nuevo existen
  efectos confundidos, pero al menos los efectos
  principales están separados.

78
Confusión de efectos

• Los efectos de dos variables están confundidos
  cuando es imposible saber cual de ellas produce
  los cambios en la respuesta.
• Este es el caso cuando los cambios de nivel en
  ambas variables se producen al mismo tiempo y en
  magnitudes proporcionales.

79
Confusión de efectos (cont)

• Desde el punto de vista de la teoría de los
  modelos lineales, este es un problema de
  multicolinealidad (algunas columnas de la matriz
  de diseño son combinaciones lineales exactas de
  otras columnas).
• Cualquier estimación de efectos será entonces una
  suma (algebraica) de los efectos de ambas
  variables.

80
Confusión de efectos (cont)

• Siempre que se realice fraccionamiento de diseños
  2k se producirá confusión entre efectos. Este es
  el precio a pagar para poder reducir el número de
  experimentos a realizar.
• Tenemos ahora que determinar cual factor es el
  influyente dentro de la estructura de confusión.

81
Confusión de efectos (cont)

• Una heurística razonable se basa en el principio
  de dispersión de efectos cuando existen varias
  variables, es probable que el sistema o proceso
  sea influido principalmente por algunos de los
  efectos principales e interacciones de orden
  inferior. En otras palabras, si ha de
  despreciarse algo, deben ser las interacciones de
  orden más alto.

82
Confusión de efectos (cont)

• En consecuencia, las siguientes reglas se
  utilizan para interpretar las confusiones
• El efecto principal o la interacción de menor
  orden en una confusión es la que se considera
  significativa.
• Si hay dos interacciones del mismo orden que
  puedan ser significativas, se preferirá aquella
  que dependa de efectos que aparecen ser
  influyentes en otros coeficientes.

83
Confusión de efectos (cont)

• En general, para un diseño 2k-p
• se estiman 2k-p 1 coeficientes, cada uno de los
  cuales representa la confusión de 2p efectos e
  interacciones. Cada uno estos coeficientes
  deberán interpretarse usando la heurística
  anterior.
• Los 2p efectos restantes se mantienen a nivel
  fijo y por lo tanto no se pueden estimar. Son
  los que aparecen en la relación de definición, y
  están confundidos con la media general.

84
Relación de definición

• Retomemos el diseño 23-1
• La columna ABC contiene únicamente 1. Esto
  puede escribirse
• Esta expresión se llama relación de definición o
  ecuación generadora.

85
Relación de definición (cont)

• Esta relación indica el conjunto de todas las
  columnas iguales a la identidad.
• Esta relación resume toda la estructura de
  confusiones. Para mostrarlo, definamos la
  siguiente álgebra para cualquier par de factores
  F1 y F2
• F1I F1
• F1F1 I
• F1 F2 F2 F1

86
Relación de definición (cont)

• Por ejemplo, para el diseño 23-1 con relación de
  definición ABC I tenemos BC A , B AC y AB
  C , que coincide con los resultados que
  habíamos obtenido a partir de la inspección de la
  tabla.
• Nótese que la otra mitad del diseño, conformada
  en este caso las puntos (1), ab, ac y bc, tiene
  por relación de definición -ABC I.

87
Relación de definición (cont)

• Un diseño 2k-p tiene siempre una relación de
  definición conformada por 2p palabras (incluyendo
  la identidad), de las cual p son independientes.
  Esto quiere decir que las 2p p palabras
  restantes se pueden formar multiplicando entre si
  las p palabras independientes.
• Nota alguna relación con el número de efectos
  confundidos en cada coeficiente?

88
Relación de definición (cont)

• Una familia de diseños fraccionados comprende
  todos los diseños que tienen las mismas palabras
  en la ecuación de definición (excepto por los
  signos).
• La fracción principal de la familia es la que
  tiene todas las palabras independientes con
  signos positivos.
• Las demás fracciones son denominadas fracciones
  complementarias.

89
Resolución

• La resolución de un diseño fraccionado viene dada
  por el orden de la interacción más baja
  confundida con algún efecto principal más uno.
• Una forma sencilla de calcularla es buscar la
  longitud de la palabra más corta en la relación
  de definición.

90
Resolución (cont)

• La resolución suele denotarse usando números
  romanos colocados como un subíndice del tipo de
  diseño. Así, un diseño con 6 factores que se
  investiga usando 16 corridas y que tenga
  resolución III se denota
• Se tiende a preferir diseños con resolución alta
  (recuerde la heurística).

91
Resolución (cont)

• La mínima resolución que se acepta en un diseño
  es III
• En un diseño 2k-p de resolución I al menos un
  factor se encuentra a nivel fijo. Este diseño es
  realmente un 2(k-s)-(p-s) donde el número de
  efectos principales solos en la ecuación de
  definición s han sido eliminados del diseño.
• En un diseño de resolución II dos efectos
  principales cambian al mismo tiempo, así que no
  es posible estudiarlos por separado.

92
Ejemplos

• Ejemplo 5 Suponga que se desea un diseño 25-2.
  Para definirlo es necesario escoger dos (p 2)
  palabras de la ecuación de definición, por
  ejemplo, ABC y CDE. Las otras dos (22 2)
  palabras son I y ABCCDE ABDE. Por tanto
• y es fácil ver que su resolución es III.

93
Ejemplos (cont)

• La estructura completa de confusiones es
• donde se confirma la resolución III.

94
Ejemplos (cont)

• La estructura de confusiones se puede escribir en
  forma de contrastes, los cuales indican cuales
  efectos se encuentran confundidos en cada uno de
  los coeficientes estimados por el algoritmo de
  los signos.

95
Ejemplos (cont)

• El número de puntos en este diseño es 8.
• Para encontrar los puntos correspondientes
  existen varios procedimientos. El más intuitivo
  (pero también el más largo) consiste tomar la
  matriz de diseño de un diseño 2k completo (en
  este caso un 25) y escoger las filas donde los
  efectos que aparecen en la relación de definición
  tengan el signo adecuado.

96
Ejemplos (cont)
97
Ejemplos (cont)

• Otro procedimiento más corto es posible si usamos
  la información contenida en la estructura
  completa de confusiones
• Escoja la interacción de orden más bajo
  confundida con un efecto principal (si hay más de
  una con el mismo orden escoja una cualquiera de
  ellas). En este caso podríamos escoger la
  interacción BC, confundida con el factor A.

98
Ejemplos (cont)

• Genere las columnas correspondientes a los
  factores involucrados en esta interacción usando
  el orden estándar. En este caso generaríamos las
  columnas B y C de la siguiente forma

99
Ejemplos (cont)

• Genere la columna correspondiente al nuevo factor
  multiplicando las columnas de la interacción
  asociada que identificó anteriormente. En este
  caso la columna de A se genera multiplicado las
  de B y C.

100
Ejemplos (cont)

• Repita el procedimiento hasta que haya completado
  todas las columnas de efectos principales. En
  nuestro ejemplo escogeríamos ahora la interacción
  CE, asociada con el efecto E.

101
Ejemplos (cont)

• Los puntos ahora se leen ahora de los signos de
  cada fila. Note que el resultado es el mismo que
  obtuvimos antes salvo por el orden, que es
  irrelevante.

102
Ejemplos (cont)

• En general, siempre se pueden elegir k- p
  columnas usando el orden estándar y generar las
  demás columnas correspondientes a los efectos
  principales asociándolas con interacciones
  adecuadas. El problema es que no pueden ser
  cualquier columnas en el ejemplo anterior no
  pueden elegirse A, B y C independientemente, ya
  que la estructura de confusiones requiere que C
  este confundida con AB.

103
Análisis de diseños 2k fraccionados

• Como en estos diseños es imposible estimar el
  error experimental a partir de los datos, las
  herramientas que se utilizan para analizarlos son
  las mismas que se utilizan para analizar diseños
  2k completos en los cuales se dispone de una sola
  réplica.
• Sin embargo es necesario recordar la heurística
  para interpretar los efectos.

104
Análisis de diseños 2k fraccionados (cont)

• Ejemplo 6 Se desea estudiar la influencia que
  tiene la concentración de cinco compuestos (A, B,
  C, D y E) en un nuevo detergente sobre el tiempo
  de disolución de la grasa. Para ello se utiliza
  el diseño 25-2 con ecuación generatriz ABC CDE
  ABDE I presentado en el ejemplo anterior.

105
Análisis de diseños 2k fraccionados (cont)

• Aplicando el algoritmo de los signos a estos
  datos (recuerde que el denominador para el
  cálculo de los efectos es la mitad del número de
  observaciones, en este caso 4) se obtienen los
  siguientes estimadores

106
Análisis de diseños 2k fraccionados (cont)

• Por simple inspección es claro que los efectos
  más importantes son el segundo (atribuible a B),
  el quinto (atribuible a E) y el sexto (que muy
  probablemente se debe a la interacción BE, dados
  los resultados anteriores). Para confirmar estos
  resultados realicemos un gráfico cuantil -
  cuantil de los efectos contra la normal.

107
Análisis de diseños 2k fraccionados (cont)

• Tenga cuidado interpretando este gráfico, cuáles
  puntos definen la línea?

108
Diseño de fracciones

• En la práctica es el investigador el que debe
  decidir cual relación generadora utilizar en cada
  caso. A continuación estudiaremos algunos
  criterios para la escogencia de la familia de
  fracciones.
• Si no existen restricciones sobre los puntos, se
  suele usar la fracción principal de la familia.

109
Diseño de medias fracciones

• Para diseños 2k-1 lo común es fijar el nivel de
  la interacción de nivel más alto, ya que esto
  conduce al diseño con la máxima resolución
  posible (que es en este caso igual al número de
  factores). Así por ejemplo, para un estudiar 7
  factores con 64 observaciones se suele utilizar
  la relación generadora ABCDEFG I, que da un
  diseño con resolución VII.

110
Diseño de fracciones generales

• Iterar el procedimiento para medias fracciones no
  necesariamente conduce a resultados óptimos. Es
  decir, escoger la mejor media fracción de la
  mejor media fracción no produce el mejor cuarto.
• Considere un diseño 25-2 donde se fija el nivel
  de la interacción de quinto orden y de una
  interacción cualquiera de cuarto orden (por
  ejemplo ABCD).

111
Diseño de fracciones generales (cont)

• La relación de definición que se obtiene entonces
  es
• es decir, un diseño con resolución I. Esto nos
  lleva a afirmar que los procedimientos de diseño
  que se basan en escoger filas del diseño completo
  son poco confiables para producir diseños con
  resolución alta.

112
Diseño de fracciones generales (cont)

• Un procedimiento más confiable consiste en partir
  de un diseño completo para k - p factores y
  asignar los factores adicionales a los grados de
  libertad que corresponden a las interacciones
  (usualmente se comienza con las de segundo
  orden).
• De esta manera se producen diseños con resolución
  al menos igual a III.

113
Diseño de fracciones generales (cont)

• Ejemplo 7 escojamos la relación de definición
  para un diseño 27-3. Para ello partimos de un
  diseño 24 (que ya tiene los niveles para las
  variables A, B, C y D) y asignemos los tres
  factores faltantes (E, F y G) a tres
  interacciones del diseño original (por ejemplo,
  podríamos utilizar AB, BC y CD).

114
Diseño de fracciones generales (cont)
115
Diseño de fracciones generales (cont)

• Los puntos se reasignan ahora a partir de los
  signos de las filas. Nótese que los nuevos
  puntos siempre contienen al menos las mismas
  letras que contenían originalmente. En otras
  palabras, solo hay que agregar a las etiquetas de
  los puntos originales los valores asociados con
  las tres columnas nuevas.

116
Diseño de fracciones generales (cont)
117
Diseño de fracciones generales (cont)

• Las palabras independientes de la relación de
  definición son ABE BCF CDF I, con lo cual
  la relación de definición completa es
• Es claro que el diseño tiene resolución III.

118
Diseño de fracciones generales (cont)

• Este método no garantiza resolución máxima.
  Algunos diseños que si la tienen

119
Diseños saturados

• El máximo número de efectos principales que
  pueden estudiarse con un diseño factorial
  fraccionado que tenga p puntos, de tal manera de
  tener resolución mayor o igual a III, es p - 1.
  En este caso, todos los grados de libertad
  disponibles son usados por efectos principales y
  por tanto se denominan diseños saturados.

120
Proyección en diseños 2k fraccionados

• Cualquier diseño factorial fraccionario de
  resolución R contiene diseños factoriales
  completos (o incluso réplicas de diseños
  factoriales) en cualquier subconjunto de R - 1
  factores. Considere por ejemplo un diseño 23-1
  con resolución III definido por la relación ABC
  I.

121
Proyección en diseños 2k fraccionados (cont)
122
Proyección en diseños 2k fraccionados (cont)

• Si el diseño es de resolución R, es posible
  obtener de todas formas diseños en subconjuntos
  con más de R - 1 factores, pero no en cualquier
  subconjunto, sino grupos cuya interacción no esté
  en la relación de definición.

123
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Una propiedad muy útil de los diseños 2k-p es que
  dos fracciones pertenecientes a la misma familia
  pueden combinarse para generar un diseño
  2k-(p-1).
• Para ver esto consideremos las dos fracciones de
  un diseño 23-1 con relación de definición I
  ABC.

124
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Los contrastes para la fracción principal
• Y para la fracción complementaria

125
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Entonces, aunque los efectos A y BC están
  confundidos tanto en A como en A, la forma en
  la que lo están cambia mientras que A
  representa la suma de los efectos, A representa
  su diferencia.
• Esto significa que si A y BC tienen el mismo
  signo entonces A es muy grande y A es pequeño,
  mientras que si A y BC tienen signos opuestos
  sucede lo contrario.

126
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Si usamos a los contrastes como ecuaciones y
  sumamos (o restamos) los pares equivalentes en
  ambos diseños tenemos

127
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Podemos predecir la estructura de confusiones del
  experimento conjunto. Esto se puede utilizar
  para desarrollar una metodología secuencial que
  escoja la mejor próxima fracción para separar
  efectos que estén confundidos.
• Podemos calcular los efectos separados sin
  necesidad de utilizar el algoritmo de los signos
  desde el principio.

128
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Ejemplo 8 se desea estudiar el tiempo que tarda
  el ojo humano en enfocarse, para lo cual se ha
  diseñado un aparato en el que se pueden controlar
  varios factores, tales como la agudeza visual
  (A), distancia del objeto al ojo (B), forma del
  objeto (C), nivel de iluminación (D), tamaño del
  objeto (E), densidad del objeto (F) y sujeto (G).

129
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• El investigador supone que solo unos pocos de
  estos factores influyen sobre la respuesta, por
  lo que decide usar un diseño saturado 27-4III
  donde las palabras independientes de la relación
  de definición son

130
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Los resultados obtenidos en cada punto del
  experimento pueden verse en la tabla anexa. Las
  corridas fueron realizadas en orden aleatorio,
  pero el mismo no se incluye.

131
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• El valor de los efectos está en la tabla
  adyacente. Para simplificar la notación no se
  han incluido las interacciones de orden tres o
  superiores (las cuales vamos a considerar no
  significativas).

132
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• La interpretación más sencilla de estos
  resultados es que los factores A, B y D son
  significativos. Sin embargo, y debido a la
  estructura de confusiones, también podrían ser
  significativos A, B y AB, o quizás A, D y AD o B,
  D y BD.
• Esto se debe a que el diseño es de resolución III
  y a que ABD aparece en la relación de definición.

133
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Si se hubiese asignado el nivel de iluminación al
  factor C en lugar del D, esta ambigüedad no
  hubiese aparecido (ya que el diseño se proyecta
  en un diseño 23 completo sobre ABC al no aparecer
  ABC en la relación de definición). Verifíquelo!
• Sin embargo, no se puede culpar al investigador
  ya que esto era muy difícil de prever.

134
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Es necesario correr un nuevo experimento. Sin
  embargo, desechar estos datos y utilizar el mismo
  diseño con los factores intercambiados como se
  sugirió antes es un desperdicio.
• Una opción preferible es escoger una fracción
  complementaria de la misma familia, de tal manera
  de separar los efectos principales de las
  interacciones.

135
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Para lograr esto se puede utilizar la fracción en
  la cual los signos de las columnas de todos los
  efectos principales invierten sus signos. Esto
  corresponde a la relación de definición
  (verifíquelo)
• Los puntos con su respectivo tiempo y los
  contrastes con sus estimaciones se pueden ver a
  continuación.

136
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
137
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Usando las mismas ideas sobre sumas y diferencias
  de contrastes tenemos

138
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Al combinar los resultados de los experimentos es
  posible afirmar con mayor certeza que los
  factores significativos son la distancia del
  objeto al ojo (B) y el nivel de iluminación (D).
• Conseguimos mejores estimaciones de los efectos
  principales, ya que cada una se basa en 16 datos,
  además de tener un diseño de resolución IV.

139
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• En resumen, podemos afirmar que
• Si se cambia el signo de únicamente de asociada
  con un efecto principal, con el diseño combinado
  se obtienen estimaciones de dicho factor y todas
  las interacciones de segundo orden que los
  contengan aisladas de otros efectos principales o
  interacciones de segundo orden. Sin embargo, no
  se garantiza que la resolución del diseño aumente
  (ni siquiera garantiza resolución IV).

140
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados

• Si se cambia el signo de todas las columnas
  correspondientes a los efectos principales en un
  diseño de resolución III, el diseño combinado
  tendrá resolución al menos IV, y por tanto, los
  efectos principales se encontraran aislados de
  las interacciones de segundo orden (es decir, los
  efectos principales no estará confundidos con
  interacciones de segundo orden, pero estas
  seguramente si lo estarán entre si). Esto se
  suele denominar plegamiento (folding).

141
Diseños 2k en bloques

• En muchas situaciones no es posible o práctico
  realizar todas las corridas de un experimento
  bajo condiciones uniformes (por razones de
  tiempo, capacidad, etc).
• En esos casos es necesario tomar en cuenta la
  fuente de esa variabilidad (variables de ruido) a
  través de bloques.

142
Diseños 2k en bloques (cont)

• Si es posible, se debe correr exactamente una
  replica del diseño completo en cada bloque. En
  este caso no existe ninguna restricción al número
  de bloques que se utilicen y no es necesario
  realizar ninguna consideración de diseño
  adicional. El análisis se realiza utilizando el
  modelo de analisis de varianza general.

143
Diseños 2k en bloques (cont)

• Si los bloques no son lo suficientemente grandes
  como para contener una réplica completa del
  diseño hay que utilizar un número de bloques que
  sea potencia de 2 (digamos 2s) y correr en cada
  uno de ellos la misma cantidad de observaciones
  (para mantener la ortogonalidad del diseño). En
  ese caso la estimación de los bloques se
  confundira con algunas interacciones.

144
Diseños 2k en bloques (cont)

• Para distribuir un diseño 2k en 2s bloques lo
  ideal es escoger una familia de diseños 2k-s con
  la máxima resolución posible y asignar cada una
  de las fracciones de la familia a uno de los
  bloques. Ya que los efectos que aparecen en la
  relación de definición son los que se confunden
  con el efecto de los bloques, el diseño que se
  obtiene es óptimo.

145
Otras herramientas y diseños de primer orden

• Diseños con confusiones parciales. Se sacrifica
  la ortogonalidad del diseño para poder estimar
  interacciones y/o efectos que de otro modo son
  inseparables. Son útiles en ciertas situaciones,
  pero la interpretación de la estructura de
  confusiones se vuelve muy complicada y por tanto
  deben utilizarse con mucho cuidado.

146
Otras herramientas y diseños de primer orden

• Diseños de Plackett-Burman. Permiten estudiar
  problemas con K N 1 variables usando N datos,
  donde N es multiplo de 4. Cuando N es potencia
  de 2 los diseños coinciden con los diseños 2k,
  pero en los demás casos la estructura de
  confusiones puede ser muy compleja, no son
  ortogonales y las propiedades de proyección no
  son atractivas.

147
Introducción a la metodología de superficie de
respuesta

• Cuando las variables explicativas de un proceso
  son continuas, los diseños que hemos estudiado
  hasta ahora no son suficientes para estudiar
  completamente la curvatura del sistema.
• Esto hace difícil la determinación de condiciones
  óptimas de operación y limita la comprensión del
  sistema.

148
Introducción a la metodología de superficie de
respuesta

• La metodología de superficies de respuesta es una
  combinación de técnicas de diseño y análisis de
  experimentos que, utilizadas en forma secuencial,
  permiten determinar condiciones de operación que
  son óptimos locales para el sistema.
• Usualmente se aplica en una segunda etapa de la
  investigación, cuando ya se ha reducido el número
  de variables.

149
Introducción a la metodología de superficie de
respuesta

• Las ideas fundamentales sobre las cuales se
  desarrolla la metodología son
• La mayor parte de las funciones que ocurren en la
  industria son funciones continuas y suaves, o en
  todo caso, sus discontinuidades son pocas y
  conocidas (cambios de estado).
• Una función compleja suave puede aproximarse
  localmente (es decir, en zonas pequeñas de la
  región de operación) mediante polinomios de orden
  bajo.

150
Introducción a la metodología de superficie de
respuesta

• Si la zona donde se realiza la aproximación local
  está lejos de la zona donde se encuentra un
  máximo local entonces un polinomio de primer
  orden deberá ser una buena aproximación. En
  cambio, si la zona está cerca del máximo local
  será necesario utilizar un polinomio de segundo
  orden para describir a la función.
• Estos últimos puntos pueden justificarse a través
  del teorema de Taylor.

151
Limitaciones de los diseños de primer orden (cont)

• Aproximaciones locales de una función

152
Codificación de variables

• La codificación de variables en niveles alto y
  bajo puede extenderse en el caso de variables
  continuas para incluir otros valores. Llamemos x
  a la variable original, x- al valor que habíamos
  denominado bajo, x al valor que habíamos
  considerado alto y x a la variable codificada.
  Entonces

153
Codificación de variables (cont)

• Note que si evalúa la relación anterior en x
  x o en x x- obtiene, respectivamente, x 1 o
  x -1. Para cualquier otro valor, la relación
  anterior interpola el valor de la variable en el
  sistema codificado.
• La principal ventaja de este cambio de unidades
  es que simplifica la notación y permite un
  desarrollo unificado de la teoría como una
  extensión de los diseños 2k.

154
Modelos a utilizar

• Digamos que queremos establecer un modelo con k
  variables explicativas x1, x2, , xk y
  variable de respuesta y. Un modelo de primer
  orden tiene la forma
• mientras que un modelo de segundo orden

155
Modelos a utilizar (cont)

• En ambos casos supondremos que los errores
  correspondientes a cada dato ei siguen una
  distribución normal con media 0 y varianza s2,
  por lo que las técnicas de modelos lineales serán
  aplicables.
• Nótese además que el modelo de primer orden está
  anidado en el de segundo orden.

156
Diseños para ajustar modelos de primer orden

• Lo común es comenzar la investigación usando un
  diseño 2k para ajustar un modelo de primer orden
  y verificar la presencia de interacciones o
  términos cuadráticos puros.
• Ahora bien, los diseños 2k que vimos
  anteriormente permitían estudiar los términos de
  interacción (los bjl), pero no los términos
  cuadráticos puros (los bjj).

157
Diseños para ajustar modelos de primer orden

• Una solución que permite evaluarlos es añadir
  observaciones en el centro del diseño (xi 0
  para todo i).
• Estos puntos centrales proveen grados de libertad
  adicionales para estimar el error, mantienen la
  ortogonalidad del diseño y permiten estimar el
  efecto de los términos cuadráticos puros (aunque
  estos se confunden entre si).

158
Diseños para ajustar modelos de primer orden

• Veamos todo esto a través de las matrices de
  diseño de un experimento 22.

b11 y b22 están confundidos entre si y con b0
b11 y b22 están confundidos entre si, pero no
con b0.
159
Diseños para ajustar modelos de primer orden

• Es claro de las tablas que los puntos centrales
  influyen solo en la estimación de la media
  general b0.
• Note que el diseño con los puntos centrales sigue
  siendo ortogonal, por lo que el algoritmo de los
  signos es válido.

160
Falta de ajuste en el modelo de primer orden

• La construcción de la tabla de análisis de
  varianza es similar a la del diseño 2k
• Como siempre, la suma de cuadrados totales
• Para los efectos lineales bi (i 1,,k) tenemos
• La suma de cuadrados del error es

161
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
(cont)

• La diferencia fundamental es que la suma de
  cuadrados del error se divide en tres
• Suma de cuadrados de la interacción
• La de los términos cuadráticos puros
• El error puro que se usa para la prueba

162
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
(cont)

• En las expresiones anteriores los subíndices f se
  refieren a los puntos que conforman el diseño
  factorial base, mientras que los subíndices c se
  refieren a los puntos centrales. Así por ejemplo
  nf 2k es el número de puntos en el diseño
  factorial y nc es el número de puntos centrales.
  Finalmente n nf nc el número total de
  observaciones.

163
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
(cont)

• Ejemplo 9 Se desea determinar el punto donde la
  densidad del producto elaborado por un proceso se
  hace máxima. Las variables que el ingeniero de
  proceso puede manipular son la presión y la
  temperatura. Actualmente, el proceso opera a
  530 psi y 130 C, y el ingeniero decide utilizar
  un diseño 22 con 4 puntos centrales, para luego
  determinar su ajuste.

164
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
(cont)

• Los puntos de operación y los valores de densidad
  obtenidos en ellos pueden verse en la tabla
  anexa. Note que se utilizaron las condiciones de
  operación actuales del sistema como punto central.

165
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
(cont)

• De la tabla de análisis de varianza es claro que
  no hay evidencia de curvatura.

166
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
(cont)

• Dos situaciones son posibles a este punto
• Si ningún término de segundo orden es
  significativo entonces estamos lejos de un máximo
  local de la función y debemos cambiar nuestra
  región de operación.
• En cambio, si algún término de segundo orden es
  significativo entonces debemos extender nuestro
  diseño.
• Estudiaremos cada una de las dos posibilidades.

167
Dirección de máximo cambio

• Si nos encontramos lejos del óptimo nos interesa
  cambiar nuestra región de operación en la forma
  más eficiente posible.
• Recordemos que la dirección de máximo crecimiento
  de una función viene dada por su gradiente,
  mientras que la de máximo decrecimiento es la
  dirección opuesta al gradiente.

168
Dirección de máximo cambio (cont)

• En nuestro caso podemos aproximar el gradiente de
  la función en el punto de operación (centro del
  diseño) por
• Esta expresión es válida tanto para el modelo de
  primer orden como para el de segundo.
  Demuéstrelo!

169
Dirección de máximo cambio (cont)

• Esto quiere decir que para incrementar la
  respuesta lo más rápido posible hay que modificar
  el punto de operación de tal manera que por cada
  cambio de b1 unidades (codificadas) en la
  variable x1 hay que cambiar la variable x2 en b2
  unidades (codificadas), la variable x3 en b3
  unidades (codificadas) y así sucesivamente.

170
Dirección de máximo cambio (cont)

• Como lo que interesa es la dirección del vector
  (y no su magnitud), pueden usarse también el
  vector unitario o un vector con una coordenada
  unitaria.
• Una vez encontrado el gradiente se realizan
  experimentos sobre esta dirección hasta que la
  misma deje de ser óptima, obteniéndose así un
  nuevo punto de operación a investigar.

171
Dirección de máximo cambio (cont)

• Ejemplo 9 (continuación) en base a los
  resultados de la regresión tenemos
• de lo cual sabemos que para incrementar la
  densidad tenemos que disminuir la presión en 6,4
  unidades codificadas por cada incremento en la
  temperatura de 14,1 unidades codificadas.

172
Dirección de máximo cambio (cont)

• Ahora bien, si escribimos las ecuaciones de
  codificación y las despejamos tenemos
• De los cual tenemos que una unidad codificadas de
  presión representa 6 psi y una unidad codificada
  de temperatura equivale a 4C.

173
Dirección de máximo cambio (cont)

• Así pues, por cada psi en que reduzcamos la
  presión debemos aumentar la temperatura en
• Supongamos ahora que el ingeniero de planta
  considera razonable variar la presión en 5 psi
  entre experimentos.

174
Dirección de máximo cambio (cont)

• La tabla muestra los nuevos puntos de
  experimentación y los resultados obtenidos.
  Ellos sugieren utilizar una presión de 485 psi y
  una temperatura de 196C como centro para un
  nuevo diseño.

175
Dirección de máximo cambio (cont)

• Podemos ver un gráfico de los experimentos.

176
Diseños para ajustar modelos de segundo orden

• Si existe falta de ajuste en el modelo de primer
  orden es necesario modificar nuestro de diseño
  experimental de modo de poder estimar todos los
  coeficientes bij y así apreciar la geometría del
  espacio en detalle.
• Aunque existen varias alternativas, vamos a
  estudiar principalmente los diseños centrales
  compuestos.

177
Diseños centrales compuestos

• Un diseño central compuesto consiste en un diseño
  factorial 2k codificado en la forma usual
  aumentado por nc puntos centrales y por 2k puntos
  axiales ubicados en las coordenadas codificadas
  (a,0,,0), (0,a,,0), , (0,0,,a) donde a es
  un valor a escoger.

178
Diseños centrales compuestos (cont)

• La representación gráfica y la matriz de diseño
  para k 2, a 1,414 y nc 3 son

179
Diseños centrales compuestos (cont)

• Note que si un diseño 2k probó tener problemas de
  ajuste, y si se supone que las condiciones en el
  sistema no han cambiado, basta con correr los
  puntos axiales para obtener el diseño central
  compuesto.
• Esto hace que sean relativamente económicos y por
  tanto que tengan gran popularidad.

180
Diseños centrales compuestos (cont)

• Los diseños centrales compuestos son ortogonales
  en los términos lineales y de interacción.
• Los estimadores de los términos cuadráticos puros
  son dependientes entre si, pero ortogonales al
  resto. Ahora bien, es imposible lograr