Programmazione Dinamica: tecnica risolutiva che conduce all

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Programmazione Dinamica tecnica risolutiva che
conduce allottimo, non fornisce algoritmi
risolutivi generali.

• Stadi fasi in cui il problema è scomposto (es.
  Unità temporali), s sia il generico stadio, n gli
  stadi
• Stati situazione del sistema in esame
  allistante (o stadio) considerato.
• Variabili di stato descrittori dello stato,
  rappresentate da un vettore. Se le variabili di
  stato (o stati) sono m, il Vettore di stato allo
  stadio s è

spazio degli stati (insieme dei possibili stati)
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• Decisione
• Trasformazione
• Politica ? insieme ordinato di decisioni, tante
  quanti sono gli stadi.
• ?? ?, ? spazio delle politiche (o insieme
  delle possibili politiche)

è una decisione (o variabile decisionale)
funzione di trasformazione
fine processo
prodotto cartesiano.
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• Profitto (o costo) guadagno (o costo ) associato
  ad ogni decisione(cambiamento di stato)
• obiettivo max (min) profitto (costo)
  complessivo.
• Funzioni di stato funzioni che, stadio per
  stadio, assumono valore ottimo della f.o.

funzione profitto associata allo stato iniziale ?
e alla politica ?
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Principio di ottimalità di Bellman
Data una politica ottima
Qualunque sia lo stato iniziale
e la decisione iniziale
le rimanenti decisioni
forniscono una politica ottima per i
restanti n-1 stadi
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Esempio investimento capitali
D capitale totale, I1,...,I5 profitto delle
n5 forme di investimento (stadi)
Hp. Ii D/5 , i1,...,5,D/5 quantità fissa
impiegabile in ciascuna forma
dinvestimento
Stessa quota per ogni stadio
Se si investe in 4 stadi
Se si investe in 3 stadi
n5 ? 31 possibilità n20 ? 106 possibilità
Se si investe in 2 stadi
Se si investe in 1 stadio
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Investimento capitali con PD
Ii quota impiegata nellinvestimento i , Alla
fine tutta la somma deve essere investita

• Allultimo stadio sn5 si deve investire tutto
  il denaro rimasto, se si è investito nelle prime
  4 forme, nellultima si investe il rimanente (da
  principio di Bellman)
• Se abbiamo investito nelle prime 3 forme,si
  decide quanto assegnare a I4 e lasciare per I5.
• Ad ogni stadio k non si tiene conto degli
  investimenti agli stadi precedenti, ma solo
  quelli agli stadi successivi (la politica deve
  essere ottima a prescindere dallo stato di
  partenza del k-esimo stadio).

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Relazioni ricorrenti

• Hp. Per l applicazione della PD
• Separabilità della F.O.
• Separabilità degli stati Proprietà Markoviana
  degli stati
• a stadio s , nello stato ? s , con decisione xs
  si passa a stato ? s1
• che dipende solo da xs e ? s ( indipendente da ?
  0 , ? 1 ,.., ? s-1 )

Relazione ricorrente
operatore per separabilità
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Numerazione inversa
Relazioni ricorrenti
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Problema della diligenza
Scelta corsa di costo min
Costi
f113
f211
1
2
3
4
10
s1
s2
s3
s4
s5
s5
s4
11
s4
s3
12
s3
s2
13
s2
s1
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Processi monodimensionali

1. Allocazione di una sola risorsa. Es.1

Hp.
Relazioni ricorrenti
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Analiticamente
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Profitto ottimo nel processo a 3 stadi è
quantità da allocare
Vale per
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(No Transcript)
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max intero contenuto in
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Esempi di problemi monodimensionali

• Problema dei trasporti
• Problema dello zaino
• Problema di sostituzione macchinario

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Sostituzione macchinario valutare periodo
migliore per la sostituzione
t età della macchina P(t)produttività
M(t)costo manutenzione S(t)costo
sostituzione
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Relazione ricorrente
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Esempioper una macchina che inizialmente ha 2
anni decidere anno per anno, per un periodo di 5
anni(stadi) se tenere(T) o cambiare(C) la macchina
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• Situazione
• iniziale

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5o anno
25
4o anno
26
3o anno
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Profitto max68
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Processi multidimensionali
Dimensione numero di variabili di stato per
ogni stadio Aumento calcoli ? tecniche di
riduzione Moltiplicatori di Lagrange,
Approssimazioni successive
Problemi bidimensionali
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Stadio s
Stadio 1
Stadio n
Processo a ritroso
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Esempio numericocaso bidimensionale
1o stadio
31
2o stadio
3o stadio
32
Sostituzione macchinario caso bidimensionale
33
(No Transcript)
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Affidabilità di circuiti
n
j
1
xj
xj numero di componenti in parallelo
p(xj ) prob di succeso allo stadio j cj costo
di un componente allo stadio j wj peso di un
componente allo stadio j
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var decisionale
var stato
1o stadio
Jo stadio
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(No Transcript)
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Problemi con più variabili decisionali
Es. Caso bidimensionale
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Metodi di riduzione moltiplicatori di Lagrange
P1
Problema non vincolato
P2
Teor.1 Sia x0 soluzione ottima per P2
soddisfacente gli m vincoli, allora x0 è
soluzione ottima per P1.
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monodimensionale
Fissato si risolve con la PD
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(No Transcript)
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Come si varia ? per trovare la soluzione ottima?
Teor.2 Quando aumenta da 0 a ?,
decresce
monotonamente.

• Procedimento iterativo
• i0
• Fissiamo un arbitrario valore
• Risolviamo con PD

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• Procedimento iterativo
• i0
• Fissiamo un arbitrario valore
• Risolviamo con PD
• Se
• Se
• Se

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Esempiocon moltiplicatori di Lagrange
Rilassando il vincolo di interezza i vincoli
sono soddisfatti con luguaglianza.
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Risoluzione con PD
Risolviamo il problema intero, rilassando il
primo vincolo
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o 3
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La soluzione trovata non soddisfa
allaumentare di decresce
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Approssimazioni Successive
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generico passo k
massimo globale?
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Esempio con approssimazioni successive
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primo passo (k0,iter 1), 1o stadio PD
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2o stadio PD (k0,iter1)
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3o stadio PD (k0,iter1)
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primo passo (k0,iter 2), 1o stadio PD
k1
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NOProblema dei trasporti con PD
Allo stadio k decidere quantità di merce da
trasportare da ogni deposito alla
k-esima destinazione. Variabili di stato
quantità di merce da allocare rimasta fino
a quel momento negli m depositi
dove