PERTEMUAN KE-7 DERIVATIF

1
PERTEMUAN KE-7DERIVATIF
MATA KULIAH BERSAMA FMIPA UGM MATEMATIKA
KONTEKSTUAL

• Oleh
• KBK ANALISIS

2
DerivatifLatar Belakang dan Beberapa Penggunaan
Derivatif
3
Pengertian derivatif (turunan) (1)

• Di dalam matematika, pembahasan di dalam kalkulus
  dikelompokkan menjadi tiga bagian penting, yaitu
  limit, derivatif, dan integral.
• Derivatif merupakan salah satu gagasan terbesar
  yang memungkinkan kita menggambarkan dunia.
  Perlu beribu-ribu tahun merumuskan gagasan
  tersebut menjadi sesuatu yang berguna. Jadi tidak
  perlu takut jika kita perlu beberapa hari
  mengerti dan memahami derivatif.

4
Pengertian derivatif (turunan) (2)

• Derivatif dapat dipandang dari beberapa
  perspektif, tetapi semuanya mengarah pada satu
  hal, yaitu
• Derivatif menggambarkan pendekatan suatu grafik
  di suatu titik dengan garis lurus.
• Derivatif (kalkulus diferensial) melibatkan
  analisis fungsi, khususnya, penentuan laju ubah
  (instantaneous rates of change). Secara geometri,
  laju ubah dikaitkan dengan grafik fungsi. Laju
  ubah garis lurus adalah gradien atau arah garis
  tersebut.

5

• Masalah menentukan garis singgung kurva telah
  dipelajari oleh banyak matematikawan. Beberapa
  ahli yang mempelajari penentuan garis singgung
  diantaranya
• Gilles Persone de Roberval pada tahun1630 1640
  menentukan garis singgung kurva berdasarkan
  gerakan vektor di setiap titik pada grafik.
• Pierre de Fermat (pada saat yang hampir sama
  dengan Roberval) menggunakan ekstrem (maksimum)
  dan infinitesimal untuk menentukan garis
  singgung kurva. Fermat memberikan andil penemuan
  diferensial.
• Leibniz dan Newton secara tajam mendefinisikan
  metode penentuan garis singgung yang diterima
  hingga sat ini.

6
Gilles Persone de Roberval (1)
Gambar di samping menyatakan grafik parabola yang
menunjukkan komponen vektor gerak V1 dan V2 di
titik P. Roberval menentukan bahwa di titik P
pada parabola, terdapat dua vektor terkait dengan
gerak instantaneous. Vektor V1 yang mempunyai
arah sama dengan arah yang menghubungkan titik
fokus parabola (titik S) dan titik P. sedangkan
Vektor V2 tegak-lurus sumbu-y (garis yang
tegak-lurus dengan sumbu simetri parabola).
Garis singgung grafik di titik P merupakan
jumlahan kedua vektor, yaitu V V1 V2.
7
Gilles Persone de Roberval (2)

• Menggunakan metode jumlahan dua vektor tersebut,
  Roberval berhasil menentukan garis singgung
  sejumlah kurva, termasuk ellips dan sikloida.
  Namun, Roberval mengalami kesulitan
  menggeneralisasi metodenya untuk sebarang kurva

8
Pierre de Fermat

• Metode Pierre De Fermat untuk menentukan garis
  singgung dikembangkan sejak 1630.
• Meskipun metode yang digunakan tidak dirumuskan
  dengan tegas, metode tersebut hampir sama dengan
  metode yang digunakan Newton dan Leibniz.
• Fermat sangat terkenal dengan masalah maksimum
  Fermat dan Gradien garis singgung Fermat
  (Fermats maxima and tangent). Permasalahan
  inilah yang membawa pada derivatif.
• Pertama, Fermat memberikan teknik penentuan
  maksimum (Fermats maxima).
• Kedua, teknik penentuan maksimum mendasari
  penentuan gradien garis singgung.

9
Masalah maksimum Fermat

• Permasalahan maksimum Fermat Suatu segmen garis
  dibagi menjadi dua bagian. Dicari ukuran
  masing-masing bagian sehingga hasil kali panjang
  kedua bagian maksimum.

10
Suatu garis dengan panjang a satuan panjang
dibagi menjadi dua bagian. Katakan panjang kedua
bagian berturut-turut sebesar x dan (a - x).
Tujuan Fermat adalah memaksimumkan x (a - x).
Pada saat itu, pendekatan yang dilakukan Fermat
dikategorikan misterius, tetapi metode Fermat
dipahami dengan cara sangat sederhana dengan
pengertian limit.
Fermat menyelesaikan permasalahan dengan
mengganti x dengan x E dan menyatakan bahwa
saat nilai maksimum ditemukan, x dan x E akan
bernilai sama.
11

• Jadi diperoleh
• x(a - x) (x E)(a - x - E).
• Penyederhanaan yang dilakukan memberikan
• Fermat mengambil E 0, sehingga diperoleh
• Jadi untuk memperoleh hasil kali panjang kedua
  bagian maksimum, segmen garis tersebut haruslah
  dibagi menjadi dua bagian yang sama panjang.

12

• Meskipun hasil yang diperoleh Fermat benar,
  metode Fermat memuat lubang misterius. Fermat
  menyederhanakan masalah dengan mengambil E 0,
  sehingga pada langkah pembagian dengan E, Fermat
  melakukan pembagian dengan nol.
• Sebenarnya, saat Fermat merumuskan metodenya
  dengan mengambil E 0, Fermat memperhatikan
  nilai E mendekati (approaches) nol.
• Metode Fermat di dalam penentuan ekstrem
  maksimum tersebut dipahami dengan mudah
  menggunakan derivatif (metode yang sekarang
  dikenal).

13

• Dengan mengambil substitusi x E untuk x, Fermat
  menyatakan bahwa f(xE) f(x), atau f(xE) -
  f(x) 0.
• Diperhatikan bahwa f(x) merupakan polynomial
  yang dapat dibagi oleh E. Dengan demikian, metode
  Fermat dapat dipahami menggunakan pengertian
  derivatif untuk penentuan maksimum, yaitu

14

• Selanjutnya, menggunakan E yang misterius
  tersebut, Fermat melangkah mengembangkan metode
  menentukan garis singgung kurva. Diperhatikan
  grafik parabola berikut. Fermat menggambar garis
  singgung di titik x dan mengambil satu titik
  berjarak E terhadap x. Dengan memanfaatkan
  similaritas segitiga, diperoleh

sehingga
15

• Fermat kembali mengambil E 0 (di dalam kalkulus
  moderen, Fermat mengambil limit E mendekati 0)
  dan penyebut di ruas kanan nilai s identik dengan
  diferensialnya yang bersesuaian dengan metodenya
  menentukan nilai minimum.
• Dengan demikian, untuk menentukan gradien kurva,
  Fermat menentukan f(x)/s.
• Dengan metode tersebut, Fermat berhasil menemukan
  aturan (rumus) umum mendapatkan gradien garis
  singgung di titik x untuk fungsi
  mempunyai rumus . Namun untuk fungsi
  secara umum, Fermat belum mampu.

16
Leibniz

• Leibniz mendefinisikan derivatif fungsi y f(x)
  di x sebagai berikut

17
Selain terkenal dengan penentuan luas di bawah
kurva dengan integral, Leibniz menemukan hubungan
luas dan derivatif menggunakan konsep diferensial.
18
Perumumam (1)

• Gradien didefinisikan sebagai rasio perubahan
  vertikal dan perubahan horisontal yang terjadi
  antara dua titik sebarang pada garis.
• Gradien garis lurus antara dua titik pada garis
  tersebut selalu sama, sehingga laju ubah fungsi
  yang grafiknya berupa garis lurus bernilai
  konstan.
• Secara umum, laju ubah fungsi yang grafiknya
  bukan garis lurus berubah-ubah. Laju ubah di
  sekitar titik tertentu dapat didekati dengan
  gradien garis lurus melalui dua titik di sekitar
  titik tersebut.

19
Perumuman (2)

• Diberikan grafik fungsi f. Penentuan laju ubah f
  di titik (x,f(x)).
• 1. Dipilih titik (xh, f(xh)) yang dekat dengan
  (x,f(x)).
• 2. Dihitung gradien garis yang menghubungkan
  titik (x,f(x)) dan (xh, f(xh)) , yaitu f(xh)
  - f(x) / (xh) - x.
• Pendekatan menjadi lebih akurat diperoleh dengan
  mengambil h semakin kecil.
• Dengan menggunakan limit, untuk h mendekati nol,
  gradien garis pendekatan menjadi laju ubah fungsi
  di titik (x,f(x)). Laju ubah fungsi f di titik
  x, yang dikenal sebagai derivatif fungsi f di
  titik x, didefinisikan oleh

asalkan nilai limit ada.
20
Perumuman (3)

• Permasalahan laju ubah garis lurus (gradien garis
  singgung) berkembang menjadi laju ubah suatu
  kuantitas terhadap kuantitas lain. Masalah
  tersebut dikenal sebagai derivatif dari kuantitas
  pertama terhadap kuantitas kedua. Sebagai contoh,
  penentuan kecepatan jatuhnya bola pada saat
  tertentu merupakan permasalahan penentuan laju
  ubah posisi bola terhadap waktu.

21
Diperhatikan bahwa derivatif fungsi f merupakan
fungsi, sehingga masih dimungkinkan mempunyai
derivatif yang dikenal sebagai derivatif kedua
fungsi f.
22
Penggunaan Derivatif (1)
Derivatif digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan terkait laju ubah dan optimisasi.
Derivatif sebagai laju ubah dapat diterapkan
pada sebarang masalah laju ubah suatu kuantitas
terhadap kuantitas lain. Pemakaian pada masalah
teknik dan sains mempengaruhi kehidupan
sehari-hari. Sebagai contoh Laju ubah satelit
komunikasi ditentukan berdasarkan letaknya yang
tergantung waktu.
23
Transformational Communications Satellite System
(TSAT) milik USA
24
Penggunaan Derivatif (2)

• Percepatan jatuhnya suatu partikel ditentukan
  dari penurunan kecepatan terhadap waktu,
  sedangkan kecepatan jatuhnya partikel tersebut
  dihitung dari penurunan posisi partikel terhadap
  waktu.
• Gaya yang digunakan untuk mengalirkan gas alam
  melalui pipa untuk jarak yang panjang dilakukan
  dengan menurunkan tekanan gas terhadap jarak.

25
Penggunaan Derivatif (3)

• Aplikasi penting dari derivatif pada grafik
  melibatkan informasi dari derivatif pertama dan
  kedua, serta interpretasi geometrik yang terkait.
  
• Derivatif pertama memberikan laju ubah. Nilai
  derivatif pertama di suatu titik memberikan
  gradien garis singgung grafik (kurva) di titik
  tersebut. Dalam hal derivatif bernilai positif,
  fungsi merupakan fungsi naik. Dalam hal
  derivatif bernilai negatif, fungsi merupakan
  fungsi turun. Dalam hal derivatif bernilai nol di
  titik dengan absis x, garis singgung kurva di x
  berupa garis horisonal sejajar sumbu-x, sehingga
  terjadi perubahan naik turun fungsi di x
  (tergantung derivatif kedua).

26
Penggunaan Derivatif (3)

• Derivatif kedua memberikan laju ubah dari laju
  ubah, sehingga memberikan informasi kelengkungan
  (curvature) grafik fungsi.
• Derivatif kedua positif, fungsi cembung ke bawah
  (convex downward atau concave upward). Saat
  derivatif kedua negatif, grafik cekung ke bawah
  (concave downward atau convex upward).
• Informasi derivatif pertama dan kedua fungsi
  memampukan menggambar grafik tanpa melakukan plot
  beratus-ratus titik.

27
Penggunaan Derivatif (4)

• Derivatif mempunyai aplikasi pada masalah
  penentuan ekstrem (maksimum atau minimum) fungsi.
  Sebagai contoh, jika volume benda ditentukan,
  maka dapat ditunjukkan bahwa bola mempunyai luas
  permukaan terkecil daripada sebarang bentuk
  geometri di ruang dimensi-3. Hal ini memberikan
  interpretasi bentuk optimum air hujan berupa bola
  pejal dengan luas permukaan terkecil tetapi
  volume air terbesar.

28
Contoh masalah derivatif (1)

• Diambil kubus dengan panjang setiap sisi sebesar
  8 satuan. Berapakah diferensial volumenya jika
  Anda mempunyai kubus dengan panjang sisi sebesar
  7,99?

29
Contoh masalah derivatif (3)

• Hukum Newton untuk pemanasan (atau pendinginan)
  menyatakan bahwa laju ubah temperatur T suatu
  benda (misal kentang) proporsional terhadap
  selisih temperatur antara obyek dengan sekitarnya
  (misal oven), yaitu,
• Pada saat suhu oven dan suhu kentang
  di ruangan
• ( ) dimasukkan ke dalam oven saat t
  0. Diketahui termometer pengukur suhu pembakaran
  dimasukkan ke dalam kentang. Setelah 3 menit,
  suhu kentang menjadi
• . Berapa waktu yang diperlukan agar
  suhu kentang mencapai ?

30
Contoh masalah derivatif (4)

• Diketahui V (t) menyatakan volume tumor saat
  t. Pertumbuhan tumor diketahui memenuhi persamaan
  Gompertzian, yaitu
• dengan a dan b konstanta positif. Tunjukkan
  bahwa volume tumor naik monoton terhadap waktu
  dan mempunyai nilai berhingga untuk t mendekati1.
  Tentukan nilai limit tersebut.

31
Contoh masalah derivatif (5)
Jika banyaknya radioaktif isotop uranium-232
berkurang 25 setelah 30 tahun, berapa banyak
radioaktif tersebut setelah 100 tahun? Berapa
waktu paruh radioaktif tersebut?
32
Contoh masalah derivatif (3)

• OPTIMISASI
• Masalah optimisasi mengacu pada masalah ekstrem
  (maksimum atau minimum).
• Hendak dibuat persegi-panjang dengan keliling
  1000 cm. Tentukan ukuran panjang dan lebar
  persegi-panjang tersebut sehingga luasnya
  maksimum!

33
Contoh masalah derivatif (4)

• Cara terbaik menyelesaikan permasalahan adalah
  dengan membuat sketsa persegi-panjang yang hendak
  ditentukan ukurannya.

34
Contoh masalah derivatif (5)

• (i) Katakan panjang p cm dan lebar l cm. Luas
  dinyatakan dengan A dan keliling dinyatakan
  dengan K.
• (ii) Diperhatikan bahwa A p l dan K 2 l 2p.
• (iii) Menurut yang diketahui, 2 l 2p 1000.
• (iv) Diperhatikan bahwa A merupakan fungsi
  dengan dua perubah. Menggunakan (iii), A dapat
  diubah menjadi fungsi satu perubah, katakan dalam
  l (Saudara juga dapat menyatakan ke dalam
  perubah p saja).

35
Contoh masalah derivatif (6)

• (v) Subtitusi nilai l ke A, diperoleh

(vi) A merupakan fungsi dengan perubah bebas p.
Grafik fungsi A merupakan parabola dengan titik
balik maksimum (p, A), dengan
36
Contoh masalah derivatif (7)

• (vii) Untuk mendapatkan maksimum p, derivatif A
  terhadap p bernilai 0.
• (viii) Diperoleh panjang 250 cm dan lebar 250 cm.
• (ix) Dengan demikian luas maksimum sebesar 62.500
  centimeter persegi.

37
Derivatif lanjut

• Permasalahan di dalam kehidupan sehari-hari tidak
  hanya melibatkan fungsi satu perubah.
  Permasalahan derivatif untuk fungsi dua perubah
  atau lebih membawa diselesaikan dengan derivatif
  parsial.

Dimana Saudara menemukan RUMUS BERIKUT?
38
(No Transcript)
39
Contoh masalah derivatif fungsi dua perubah atau
lebih

• Kimia Fisika (Physical chemists) sifat-sifat
  termodinamika dari sistem kimia menggunakan
  konsep integral dan derivatif (derivatif parsial
  dan persamaan diferensial).
• Entropy
• The Maxwell relations for the Gibbs energy state
  function

40
Contoh masalah derivatif fungsi dua perubah atau
lebih

• Gibbs free energy and corresponding Maxwells
  relation

41
Pustaka

• The History of the Calculus and the Development
  of Computer Algebra Systems
• http//www.math.wpi.edu/IQP/BVCalcHist/calctoc.htm
  l
• Brendenberger, B.M.Jr., Mathematics, Vol. 1
  Ab-Cy, Macmillan reference USA, Thomson Gale,
  2002.