TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE

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TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE
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Transformée de Fourier Discrète introduction
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Transformée de Fourier Discrète Théorème de
Shannon

• Signal à bande limitée
• X(f)TF (x(t)) X(f)0 pour -fmax lt f lt fmax
• pour échantillonner le signal x(t) sans perdre
  d information (ie, reconstruction sans erreur),
  il faut que
• sinon on observe un repliement de spectre

X(f)
x(t)
fmax
-fmax
f
t
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Transformée de Fourier Discrète périodisation de
la TFC par échantillonnage temporel
5
Transformée de Fourier Discrète repliement de
spectre dans le domaine fréquentiel
6
Transformée de Fourier Discrète définition
7
Transformée de Fourier Discrète propriétés
8
Transformée de Fourier Discrète discrétisation
T/FPériodisation T/F (1)
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Transformée de Fourier Discrète discrétisation
T/FPériodisation T/F (2)

• TEMPS FREQUENCE
• continu continu
• non périodique - Fourier Continue
• continu discret
• périodique - Série de Fourier
• discret continu
• Fourier - périodique
• discret discret
• périodique - périodique
• T.Fourier Discrète

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Transformée de Fourier Discréterésolution
fréquentielle

• x(n?T) signal
• n -N/2, N/2-1 ? N points
• ?T période d échantillonnage,
• fe1/ ?T fréquence d échantillonnage.
• fe?1/(2fmax) Shannon
• X(m ?f) TFD (x(n ?T)
• N points en fréquence
• ?f 1/N ?T résolution en fréquence
• si N ? ?f ?
• si N ? ?f ?

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Transformée de Fourier Discrète signaux de
longueur finie fenêtres (1)
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Transformée de Fourier Discrète signaux de
longueur finie fenêtres (1)

• Exemple de troncature dun signal par une fenêtre
  rectangulaire

N/2
0
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Transformée de Fourier Discrèteeffet d une
fenêtre rectangulaire sur une sinusoïde (2)
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Transformée de Fourier Discrèteeffet d une
fenêtre de Hanning sur une sinusoïde (3)
15
Transformée de Fourier Discrèteeffet des
fenêtres sur une sinusoïde (4)
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Transformée de Fourier Discrète résumé
échantillonnage temps/fréquence/fenêtre

• temps fréquence

Convolution/fenêtre (fuites)
Multiplication/fenêtre
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Transformée de Fourier Discrèteétude de l effet
de convolution Fenêtre rectangulaire(1)
wr(n??T)1 pour n0,N-1 ?Wr(m?f)?
?sin(N.2.pi.m?f)/sin(2.pi.m. ?f)? pour m0,N-1
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Transformée de Fourier Discrète convolution par
une fenêtre rectangulaire sinusoïde(2)

• Cas d une sinusoïde
• N points, ?T période d échantillonnage,
• fe1/ ?T, ?f1/ N?T
• la TFD sera définie pour 0, ?f, 2. ?f , 3.?f,.k.
  ?f N/2. ?f
• soit x(n ?T ) a.sin(2.pi.f0.n/N)
• cas 1 f0 k. ?f
• cas 2 k.?f ? f0 ? (k1).?f

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Transformée de Fourier Discrèteconvolution par
une fenêtre cas d une sinusoïde(3)
W(k-1)
W(k)
W(k1)
X(k ?f)
f(k)f0
f(k-1)
f(k1)
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Transformée de Fourier Discrèteconvolution par
une fenêtre cas d une sinusoïde(4)
W(k-1)
W(k)
W(k1)
X(k ?f)
f(k)
f(k-1)
f(k1)
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Transformée de Fourier DiscrèteFenêtres et leur
transformée de Fourier résumé (1)
Rectangulaire
Hanning
Blackman
Gaussienne
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Transformée de Fourier Discrètepropriétés des
fenêtres résumé (2)

• Fenêtre 1er lobe décroissance largeur lobe
• secondaire lobes secondaires principal
• (dB) (dB/décade) (?f)
• Rectangulaire -13 -20 1.
• Hanning -32 -60 1.5
• Hamming -43 -20 1.36
• Kaiser-Bessel -69 -20 1.8
• Flattop -93 0 3.7
• Gaussienne -69 -20 1.9
• rectangulaire bonne résolution en fréquence,
  dynamique faible
• Hanning compromis (utilisée en analyse du bruit
  et vibrations)

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Transformée de Fourier DiscrèteAlgorithmes
rapides FFT (Fast Fourier Transform)-(1)

• ? N Multiplications complexes, (N-1) additions
  pour chaque m
• ? N² multiplications complexes
• exemple N 1000 pts ? 1.000.000 (X) !!
• Algorithme FFT
• N2k ? ? N.log2(N) k.N
• exemple N1024 ? 10. 000 (X)
• Plusieurs types d algorithmes

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Transformée de Fourier DiscrèteAlgorithmes
rapides FFT (Fast Fourier Transform)-(2)

• Principe
• plusieurs algorithmes et architectures associés
  permettent de réaliser les calculs en temps réel.