Kuantum Mekanigi

1
Kuantum Mekanigi
2

• 1900 1930s
• Revolution in physics
• behaviour of light atoms cannot be explained by
  Newtons classical laws of physics
• needed to create a new physics

3
CLASSICAL PHYSICS
At the beginning of the 20th century
Discrete particles
Matter
Electromagnetic radiation
Continuous waves
The two were thought to be quite separate..
4
The beginning of building a new kind of physics
Max Planck (1900)
Matter cannot absorb/emit just any amount of
energy Energy can only be transferred in
multiples of discrete units (packets of energy),
called quanta.
Max Planck 1858-1947 Nobel Prize in Physics 1918
Energy is not continuous
Energy is quantized
5
Kilometre taslari
Siyahcisim isimasi (1900, Max
Planck) Fotoelektrik olay (1905, Albert
Einstein) Alfa saçilmasi ve atom modeli (1911,
Ernest Rutherford) Atom spektrumunun
açiklanmasi (1913, Niels Bohr) Madde dalgasi
kavrami (1923, Louis de
Broglie) Dalga denklemi (1926, Erwin
Schrödinger) Belirsizlik ilkesi (1926, Werner
Heisenberg) Relativistik kuantum mekanigi
(1932, Dirac)
6
De Broglie teorisi (1923) elektronun dalga
özelligi
De Broglie sadece fotonun degil elektron,
çekirdek, atom,top..v.s. gibi momentuma sahip
diger taneciklerin de dalga özelligi göstermesi
gerektigi varsayiminda bulundu
? tanecigin dalga boyu h Planck sabiti m
tanecigin kütlesi p tanecigin momentumu v
tanecigin hizi
Davisson ve Germer (1927) elektronun da foton
gibi kirinima ugradigini
gösterdiler
(elektron mikroskopu)
7
Wave properties of electrons
wave-particle dualism
photons have both wave and particle
properties electrons have both wave and particle
properties
Planck (1900)
(energy of a photon)
Einstein (1908)
m mass of a photon
h/photon momentum
DeBroglie (1929)
? h/mv h/electron momentum
8
The diffraction pattern caused by light passing
through two adjacent slits.
Slit sizes comparable to wavelength of light
Electron beams also show diffraction, And thus
show wavelike properties!
9
Comparing the diffraction patterns of x-rays and
electrons
In-phase diffraction
Bright lines
(Interatomic distances in Al(s) ?? of x-rays)
10
ÖRNEK 1) 40 g Golf topunun hizi 30 ms-1 dir. Bu
topa eslik eden dalga boyu nedir
?
2) Bir nötronun (m 1.674x10-27 kg) hizi 2000
ms-1 dir. Bu nötrona eslik eden dalga boyu
nedir?
11

1. If a ball with a mass of 0.450 kg is thrown at a
   speed of 102 km/h, what is its wavelength?

1 J 1 N?m 1 kg?m2?s-2
l h/mv (6.626x10-34 J?s)/(0.450kg)(______m?
s-1)
28.3
? l 5.20x10-35 m
v 102 km x 1000 m x 1 h . 1 h
1 km 3600 s 28.3 m?s-1

• Wavelength balls size (d 0.1 m)
• Wave properties NOT noticeable

1. If an electron (mass 9.109x10-31 kg) is traveling
   at 40.0 the speed of light, what is its
   wavelength?

l h/mv (6.626x10-34 J?s)/(9.109x10-31kg)(0.
400 x 2.998x108 m?s-1) 6.06x10-12 m
Diameter of a H atom is 0.7 Å wavelength of
electron is almost 10 of this distance! VERY
NOTICEABLE!
? l 0.0606 Å
12
WAVE-PARTICLE DUALITY..
All matter and energy shows both particle-like
and wave-like properties.
Large pieces of matter are mainly particle-like,
with very short wavelengths.
Small pieces of matter are mainly wave-like with
longer wavelengths.
MASS
Baseball
Proton
Photon
Electron
Particle-like
Wave-like
? ? object size ? behave as BOTH !!
13
Heisenberg Belirsizlik Ilkesi (1926)
Bir ölçüm yapilirken mutlaka bir hata yapilir.
Gelismis aletler ve ölçüm teknikleri ile bu
hata azaltilabilir. Heisenberg yapilacak hatanin
bir alt limiti oldugunu göstermistir.
?x Yerdeki belirsizlik ?p Momentumdaki
belirsizlik
h
?px??x ?
4?
Bir tanecigin yerini ve momentumunu ayni anda
sonsuz duyarlikta ölçebilmek imkansizdir.
Bu imkansizlik, ölçme isleminin kendisinden
kaynaklanir.
14

• ÖRNEK Hizdaki belirsizligi 1 olan 80 kg
  agirligindaki bir
• ögrencinin kampüsteki hizi 1.3
  m/s ise yerindeki
• belirsizligi ne olur?

Dp m Dv (80kg)(0.013 m/s) 1.04 kg.m/s
Çok küçük.nerede oldugu kesin olarak belli.
in ordinary life, wavelength is so short and
frequency so high that we are not directly aware
of the wave (geometrical optics limit).
15

• ÖRNEK 1Å yariçapli bir yörüngede bulunan
  elektronun
• hizindaki belirsizlik nedir?
  Konum belirsizligi 1

Dx (1 Å)(0.01) 1 x 10-12 m
çok büyük
16
Belirsizlik ilkesi

• SONUÇ
• Mikroskopik dünyada foton veya elektron kolayca
  tanimlanamaz.
• Foton ve elektron hem dalga hem tanecik özelligi
  gösterir.
• Mikroskopik dünyayi anlamaya çalisirken her
  ikisini birden dikkate almaliyiz.

17
Enerji-zaman belirsizlik bagintisi
?E??t ? / 2? h / 4?
Enerjideki belirsizlik
Zamandaki belirsizlik
ÖRNEK Uyarilmis bir enerji düzeyindeki yariömrü
1.6 x 10-8 saniye olan bir atom
temel düzeye indiginde 8000 Å dalgaboylu bir
foton yayinlamaktadir. Fotonun
enerjisindeki ve dalga boyundaki
belirsizlik ne olur?
? t 1.6 x 10-8 s
?E 2.1x10-8 eV
?E?1.6 x 10-8 h / 4?
?E hc/?
? 1x10-4 Å
18
KUANTUM MEKANIGI

• Klasik mekanigin alternatifleri
• Dalga mekanigi (Erwin Schrodinger)
• Matris mekanigi (Werner Heisenberg)
• Sonunda her iki mekanigin ayni oldugu
  gösterilmistir.
• Makroskopik dünyaya yaklasirken kuantum mekanigi,
  klasik mekanik ile bütünlesir. Buna karsiligi
  bulunma ilkesi (correspondence principle ) denir.

19
Kuantum mekanigi

• varsayim Bir fiziksel sistemin belirli bir t
  anindaki durumu
• ?(r,t) dalga fonksiyonu ile belirlenir.

Ilerleyen dalgaya, bir dalga fonksiyonu eslik
eder.
?(r,t) yer ve zamanin fonksiyonu olarak
dalganin genligi
? (psi), isik ile mukayese edilebilir

• Isik dalga gibi düsünülürse, isik siddeti
  elektrik alan siddetinin karesi ile orantilidir.
• Isik bir tanecik akimi gibi düsünülürse, isik
  siddeti foton sayisi ile orantilidir.
• ?Foton sayisi ve alan siddetinin karesi birbiri
  ile orantilidir.

20
? isik ile mukayese edildiginde, mutlak
degerinin karesi ?2, tanecik sayisi veya
benzeri bir sey olmalidir.
Uzayda bir yerde fotonlarin bulunma olasiligi E2
ile orantilidir. Uzayda bir yerde taneciklerin
bulunma olasiligi ?2 ile orantilidir.
?2 ?? bir tanecigin belirli bir yerde
bulunma olasiligi
Lokalize dalga paketi veya duran dalga
Tanecik (elektron)
?2(xyz) ? elektronun (x,y,z) de bulunma
olasiligi ?2(xyz), her zaman pozitiftir, ?
negatif olsada
21

• nin fiziksel gerçek bir çözümü için gereken bazi
  sartlar
• 1. ? dalga fonksiyonu tek degerli olmalidir.
• Uzayin herhangi bir noktasinda bir elektron
  için iki olasilik mevcut olmaz.
• 2. ? dalga fonksiyonu ve onun birinci türevi
  sürekli olmalidir.
• Uzayin tüm noktalarinda olasilik tanimli
  olmalidir ve bir noktadan digerine
• geçiste âni bir sekilde degisemez.
• 3. r sonsuza giderken ? dalga fonksiyonu
  sifira yaklasmalidir.
• Çekirdekten uzak mesafelerde, olasilik
  gittikçe küçülmelidir.
• 4. Uzayin herhangi bir yerinde elektronun toplam
  bulunma olasiligi 1 dir.
• Buna dalga fonksiyonunun normalizasyon sarti
  denir.
• ? ?. ? d? 1
  
• tüm
  uzay
• 5. Bir atomdaki tüm orbitaller birbirleriyle
  ortogonal olmalidir.
• ??A.?B d? 0

22
(No Transcript)
23
Kararli Dalga veya Duran Dalgastanding wave

• Dalga mekanigine göre, belirli bir enerji
  seviyesinde bulunan elektron duran dalga gibi
  kabul edilebilir.
• Çekirdegin etrafinda sadece belirli dalgalar
  mevcut olabilir. Bunlara kararli dalga veya duran
  dalga adi verilir.
• Her kararli dalga belirli bir enerji seviyesine
  sahiptir.
• Schrödinger H atomundaki elektronun enerjisini
  hesaplamak için duran dalgalari kullanmis ve bir
  esitlik gelistirmistir.

24

• Duran dalga

dügümler
Standing Electron waves in an atomic corral

• Duran dalga, gitar teli gibi, dalganin
• ilerlemedigi bir harekettir

?

• Duran dalga dügüm noktalari içerir ve
• bu noktalarda hareket etmez.

• Dalga boyunun tam veya yarim katlari
• duran dalgalara karsilik gelir.

? genlik, dalga yüksekligi
25

• de Broglie , Bohrun öngördügü izinli
  yörüngelerin duran dalga sartlarini saglayan
  yörüngeler oldugunu ileri sürmüstür.

Birinci harmonik
Ikinci harmonik
Üçüncü harmonik
not allowed
26
Madde Dalgalari ve Bohr Atomu Matter waves and
the Bohr model
If the radius of a Bohr orbit is r, the path
length of the electron around the atomic nucleus
is 2?r. If electrons act like waves, stable
orbits require path lengths of integer numbers of
wavelength n ? 2?r. Otherwise the electron
waves must decay from self-cancellation.
n 4
n 5
n 4.5
Kararli
Kararsiz
Kararli
2pr nl
Kararli Dalga Sarti
De Broglie

27
2. Varsayim Bir sistemin ?(r, t) dalga
fonksiyonunun zaman içindeki gelismesi
Schrödinger denklemi ile belirlenir.
Zamandan bagimsiz Schrödinger denklemi
Hamiltonian operatörü
Toplam enerji özdegeri
Toplam enerji operatörü
Kinetik enerji
Potansiyel enerji
28
Schrödinger Dalga Esitligi

• Tek dogrultuda (x) hareket eden (1D), kütlesi m
  olan bir tanecigin enerjisi

kinetik enerji potansiyel enerji
E tanecigin özdeger (eigenvalue) enerjisi ?
özfonksiyonlar (eigenfunction) m kütle x
konum ? ( h-bar) h/2p
29

• 3D boyutta Schrödinger esitligi

Laplacian operator (okunusu, del kare)
30
Potansiyel enerji ve Kuantlasma

• 1 boyutta (1D) serbestçe hareket eden bir
  tanecik düsünün.

Serbest Tanecik
Potansiyel E 0
Schrödinger Esitligi söyle olacaktir
0
Enerji araligi 0 dan sonsuza kadar degisir..
Kuantize degildir..
31
Kutudaki tanecik
Particle in a Box

• Bir potansiyel tarafindan sinirlandirilirsa
  tanecigin
• yeri ne olur?

Kutudaki tanecik
Potansiyel E
0 , 0 x a için
? , diger x degerlerinde
Bu durumda, tanecigin yeri kutunun boyutuna
göre sinirlanmistir.
32

• Dalga fonksiyonu neye benzer?

n 1, 2, .
Duran dalgalara
y
yy
33

• Enerjiler nasildir?

n 1, 2,
Enerji kuantizedir
E
a kutunun boyutu
y
yy
34

• ÖRNEK Bir boya molekülünün uzunlugu 8x10-10 m
  dir ve kutunun uzunlugu olarak kabul edilebilir.
  Buna göre, molekülün n 1 ve n 2 arasindaki ?E
  ve buna karsilik gelen isigin dalga boyu nedir?

a 8 x10-10 m
h 6.62 x 10-34 J.s
m 9.10 x 1031 kg
( denel 680 nm)
35

• Potansiyel enerji sinirlandirilirsa, sistemin
  enerjisi kuantlasir.

Hidrojen atomunda..
Schrodinger Equation
potential
Recovers the Bohr behavior