Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

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Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

• Lezione 4
• Derivati e Leverage

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Contratti forward

• Lacquirente al tempo t definisce lacquisto al
  prezzo F di un lotto del titolo S, definito il
  sottostante, per consegna (delivery) al tempo T.
• Al tempo T il valore del contratto per
  lacquirente è la S(T) - F

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Contratti forward ingredienti

• Data delloperazione 16/03/2005
• Prezzo a pronti ENEL 7,269
• Prezzo BOT scadenza 16/05/2005 99,66
• Prezzo forward Enel
• 7,269/0,9966 7,293799 7,2938
• Posizione lunga (acquisto) in un contratto
  forward acquisto di 10000 Enel forward per
  consegna il 16 maggio 2005 al prezzo di 7,2938.
• Valore del contratto forward alla data 16/05/2005
• 10000 ENEL(15/09/2005) 72938
• Esempio se si verifica ENEL(15/09/2005) 8
  euro, la posizione lunga (chi ha acquistato il
  contratto forward) incasserà 80000 72938 7062
  euro. Se invece il prezzo scenderà a 7 euro, la
  posizione lunga pagherà 70000 72938 2938

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Derivati e leverageUn altro esempio di
arbitraggio

• I contratti derivati implicano leverage
• Alternativa 1
• Forward 10000 ENEL a 7,2938 , 2 mesi
• Dopo 2 m. Valore 10000 ENEL 72938
• Alternativa 2
• Acquisto 10000 ENEL con debito 72938 di valore
  nominale per rimborso a 2 mesi.
• Dopo 2 m. Valore 10000 ENEL 72938

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Costruzione sintetica di un forward

• Un posizione lunga/corta in un contratto lineare
  (un forward) è equivalente a una posizione dello
  stesso segno sul sottostante e una posizione di
  debito/credito per un ammontare pari al prezzo e
  scadenza alla data di consegna.
• Nel nostro caso abbiamo che, alla data di origine
  delloperazione, 16/03/2005, il valore del
  contratto forward CF(t) è
• CF(t) 10000 x 7,269 0,9966 x 72938 0
• Allorigine il contratto forward vale zero per
  costruzione, perché il prezzo di consegna è
  fissato pari al prezzo forward.

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Un giorno dopo

• Data di valutazione 17/03/2005
• Prezzo a pronti ENEL 7,340
• Prezzo BOT scadenza 16/05/2005 99,656
• Prezzo di consegna (delivery price) osizione
  lunga (acquisto) in un contratto forward
  acquisto di 10000 Enel forward per consegna il 16
  maggio 2005 al prezzo di 7, 2938.
• Valore del contratto forward
• 10000 ENEL(17/03/2005) 0,99656 x 72938
• 73400 72687 713

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Contratti futures

• Contratti lineari su mercati organizzati
• Standardizzazione di prodotti e delivery dates
• Scambio col meccanismo del margine
• Deposito allaccensione della posizione
• Regolamento giornaliero (marking-to-market) e
  attribuzione di profitti e perdite sul margine
• Presenza della clearing-house
• Esempio il futures su Enel il 16/3/05 alla
  chiusura valeva 7,290

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Copertura del rischio

• Consideriamo la seguente posizione
• Lungo 10000 Enel (prezzo PEnel)
• Corto forward su 10000 Enel a T mesi
• Valore della posizione allorigine
• 10000 PEnel forward
• 10000 PEnel 10000 PEnel v(t,T) 10000
  PEnel /v(t,T)
• 10000 PEnel
• Valore della posizione a 3 mesi
• 10000 PEnel/ v(t,T)
• Il valore della posizione a tre mesi è uguale al
  prezzo forward di Enel. Abbiamo costruito
  sinteticamente un investimento privo di rischio

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Speculazione

• Consideriamo la seguente posizione
• Lungo 1000 Enel (prezzo PEnel)
• Lungo forward su 1000 Enel a T mesi
• Valore della posizione allorigine
• 1000 PEnel forward
• 10000 PEnel 10000 PEnel v(t,T) 10000
  PEnel /v(t,T)
• 10000 PEnel
• Valore della posizione a T mesi
• 2000 PEnel 1000PEnel /v(t,T)
• Abbiamo raddoppiato lesposizione a Enel
  costruendo sinteticamente debito (leverage) pari
  a 1000PEnel /v(t,T).

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Prodotti non lineari opzioni

• Opzione call (put) europea conferisce al tempo t
  il diritto, ma non lobbligo, di acquistare
  (vendere) al tempo T (tempo di esercizio)
  ununità di S al prezzo K (strike o prezzo di
  esercizio).
• Payoff della call a T max(S(T) - K, 0)
• Payoff della put a T max(K - S(T), 0)

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Valutazione di unopzione call
Tempo t Tempo T Tempo T
Prezzo H L
Y(t) Y(H) Y(L)
C (Y,tT,K) Max(Y(H)-K,0) Max(Y(L)-K,0)
v(t,T) 1 1
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Esempio ispirato a Enel
T 16 maggio 2005
t 16 marzo 2005
Enel (H) 7,500 v(T,T) 1 Call (H) 0,100
Enel 7,269 v(t,T) 0,9966 Call(Enel,t7,400,T)
?
Enel(L) 7,100 v(T,T) 1 Call (L) 0
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Relazioni arbitraggio tra i prezzi

• Consideriamo un portafoglio con
• Una posizione in ? unità di Y
• Un posizione di investimento/indebitamento W
• Poniamo
• ? max(Y(H) K,0)max(Y(L)K,0))/(Y(H)Y(L))
• Al tempo T
• Max(Y(H) K,0) ? Y(H) W
• Max(Y(L) K, 0) ? Y(L) W

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Opzioni Call

• Per K Y(H) Y(L) il ? è uguale a zero. Di
  conseguenza anche W è uguale a zero. Lopzione è
  out-of-the-money, e non verrà esercitata.
• Per Y(H) Y(L) K abbiamo ? 1 e W K.
  Lopzione call è in-the-money e verrà esercitata
  con probabilità 1 per questo motivo corrisponde
  a una posizione lunga in un contratto forward.
• Unopzione call corrisponde a una posizione lunga
  nel sottostante finanziata con debito.

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Call(Enel,16/03/057,400, 16/05/05)

• Consideriamo un portafoglio con
• ? (0,100 0)/(7,500 7,100) 0,25 Enel
• W 0,25 x 7,100 1,775 (leverage)
• Notiamo che al tempo T
• C(H) 0,100 0,25 x 7,500 1,775
• C(L) 0 0,25 x 7,100 1,775
• Il principio di non arbitraggio implica che alla
  data di valutazione 16/03/05 sia
• Call(Enel,t) 0,25 x 7,269 0,9966 x 1,775
  0,048285
• Una call su 10000 azioni Enel per strike price
  7,400 vale quindi 4828,5 e corrisponde a
• Una posizione lunga in 2500 azioni ENEL sul
  mercato a pronti
• Debito (leverage) per 17750 di nominale al
  16/05/05

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Un altro esempio di arbitraggioPut-Call Parity

• Portafoglio A opzione call v(t,T)Strike
• Portafoglio B opzione put sottostante
• Data di esercizio della call T
• Prezzo strike call Prezzo strike put
• Al tempo T
• Valore A Valore B max(sottostante,strike)
• da cui abbiamo che il valore dei portafogli A e
  B deve essere lo stesso in ogni t lt T, che
  implica
• Call v(t,T) Strike Put Sottostante

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Opzioni put

• Utilizzando la relazione di parità put-call è
  agevole ottenere
• Put Call Y(t) v(t,T)K
• e dalla scomposizione precedente
• Put (? 1)Y(t) v(t,T)(K W)
• Il risultato è che il delta di unopzione put
  varia tra zero e 1 e la posizione nel titolo
  privo di rischio varia tra zero e K.

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Put(Enel,16/03/057,400, 16/05/05)

• Il valore del delta della put e della posizione
  nel titolo privo di rischio sono
• ? 1 0,25 1 0,75 Enel
• K W 7,400 1,775 5,625 investimento nel
  titolo risk-free
• Il principio di non arbitraggio implica che alla
  data di valutazione 16/03/05 sia
• Put(Enel,t) 0,75 x 7,269 0,9966 x 5,625
  0,154125
• Una contratto put su 10000 azioni Enel per strike
  price 7,400 vale quindi 15412,5 e corrisponde a
• Una posizione corta in 7500 azioni ENEL a pronti
• Credito per 56250 di nominale al 16/05/05