Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

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Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

• Lezione 11
• Prodotti Strutturati di Tasso

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Derivati di tasso
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Formula di Black

• La formula di Black, che viene utilizzata per le
  opzioni sui futures, è in effetti un semplice
  modo di riscrivere la formula di Black e Scholes
  utilizzando il prezzo forward come sottostante,
  piuttosto che il prezzo spot.
• Ricordando ancora che il prezzo forward è
  definito come F(Y,t) Y(t)/v(t,T) e le formule
  di Black e Scholes otteniamo immediatamente
• Call v(t,T)F(Y,t)N(d1) KN(d2)
• Put v(t,T) F(Y,t)N( d1) KN( d2)
• Per motivi tecnici che non spieghiamo in questo
  corso lutilizzo del prezzo forward piuttosto che
  di quello a pronti è un criterio di largo
  utilizzo nei derivati su tassi di interesse e su
  titoli obbligazionari, e questo rende la formula
  di Black largamente utilizzata.

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Opzioni su titoli di debitoUtilizzo

• Opzioni su titoli di debito sono utilizzate
  soprattutto per modificare il piano di rimborso
  dei titoli obbligazionari (titoli
  extendible/retractable)
• Titoli putable titoli che contengono una put sul
  titolo, a disposizione dellinvestitore,
  tipicamente per un rimborso al nominale (es. i
  vecchi CTO)
• Titoli callable titoli che contengono una call
  sul titolo, a disposizione dellemittente, per
  richiamare il debito (presente in molti titoli
  corporate)
• Titoli exchangeable cambio del piano di rimborso

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Exchangeable bond
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Opzioni su titoli obbligazionariValutazione

• Il principio di fondo della valutazione di
  opzioni su titoli obbligazionari è che il
  sottostante cui è riferita lopzione è il prezzo
  forward del titolo, piuttosto che il suo prezzo a
  pronti, e anche la volatilità deve essere
  riferita al prezzo forward.
• Intuitivamente, questo conduce a utilizzare la
  formula di Black. Unopzione call su un coupon
  bond con scadenza T e cedola fissa c, per
  esercizio al tempo ? e strike K è dato da
• Call v(t,?)F(P(t,Tc),t)N(d1) KN(d2)
• dove
• F(P(t,Tc),t) P(t,Tc) I(t, ?)/v(t,?)
• e I(t,?) è il valore attuale del flusso di
  interessi che verrà maturato dal titolo tra la
  data corrente e quella di esercizio dellopzione.

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Il portafoglio di replica

• Consideriamo unopzione call su un titolo
  P(t,Tc) con scadenza T e cedola c per un
  ammontare nominale L e data e prezzo di esercizio
  ? e K rispettivamente.
• Il valore dellopzione corrisponde a
• Una posizione lunga per LN(d1) di valore nominale
  del titolo
• Una posizione corta in un flusso di cedole di
  ammontare cLN(d1) con scadenze ti ? ?
• Una posizione corta in uno ZCB per un ammontare
  nominale LKN(d2) e scadenza ?.

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La volatilità del prezzo forward

• La variabile chiave per la valutazione delle
  opzioni su titoli obbligazionari è la volatilità
• Nel modello di Black la volatilità è riferita a
  variazioni percentuali del fattore di sconto,
  nellassunzione che questo sia distribuito
  normalmente.
• Poiché sul mercato è quotata la volatilità del
  tasso, la volatilità del fattore di sconto è
  recuperata calcolando
• Vol. sconto vol.tasso x duration x tasso
• dove il tasso di rendimento e la duration sono
  riferiti al contratto a termine che costituisce
  il vero sottostante del contratto.
• Si noti che in generale la formula coinvolge il
  fattore di rischio, che in questo caso è
  rappresentato dal tasso interno di rendimento, e
  dalla sensitività del fattore di sconto a questo
  fattore di rischio, la duration.

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Contratti derivati su tassiCap e floor
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Opzioni su tassi di interesseUtilizzo

• Le opzioni su tassi di interesse sono utilizzate
  per porre un limite superiore (cap) o inferiore
  (floor) al valore di una cedola indicizzata
• Un cap/floor è un portafoglio di opzioni call/put
  sul tasso di interesse, tipicamente definito
  sullo scadenzario di un flusso di cedole
  indicizzate
• La singola opzione del portafoglio è chiamata
  caplet/floorlet. Lutilizzo è
• Tasso indice max(Tasso Indice Strike, 0)
• Tasso indice max(Strike Tasso Indice, 0)

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Call Put v(t,?)(F Strike)

• Ricordando la relazione di parità tra put e call
  e applicandola a cap/floor otteniamo
• Caplet(strike) Floorlet(strike)
• v(t,?)cedola attesa strike
• v(t,?)f(t,?,T) strike
• Questo suggerisce immediatamente che il
  sottostante del caplet e del floorlet deve essere
  il tasso dinteresse forward, e la volatilità
  deve essere quella riferita a tale tasso.

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Opzioni su tassi di interesseValutazione

• Ciascuna delle opzioni sui tassi di interesse
  caplet /floorlet sono prezzate individualmente e
  sommate per ottenere il valore del cap/floor
• Una ricetta semplice consiste nellutilizzare la
  formula di Black Scholes avendo cura di
• Considerare il tasso forward e la volatilità
  corrispondente anziché il tasso spot
• Il valore così ottenuto viene scontato
  utilizzando il fattore di sconto corrispondente
  alla data di esercizio

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Cap/Floor copertura

• Utilizzando la formula di Black, otteniamo
• Caplet (v(t,tj) v(t,tj1))N(d1) v(t,tj1)
  KN(d2)
• Floorlet
• (v(t,tj1) v(t,tj))N( d1) v(t,tj1) KN(
  d2)
• La formula suggerisce immediatamente una
  strategia di replica o copertura basata su
  posizioni lunghe (corte) sulla scadenza tj e
  corte (lunghe) sulla scadenza tji per caplet
  (floorlet)

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Cap/FloorConvezioni di mercato

• I contratti tipicamente scambiati sul mercato
  sono con cadenza trimestrale sotto la scadenza di
  un anno e semestrali per scadenze più lunghe
• Un cap/floor è detto at-the-money se il prezzo
  strike è uguale al tasso forward swap definito
  sullo stesso scadenzario del contratto.

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Swaption

• Le swaption sono opzioni che consentono di
  entrare in un swap fisso contro variable a un
  tasso strike, ad una data prefissata.
• Una payer-swaption dà il diritto a entrare in un
  payer swap e corrisponde a unopzione call,
  mentre una receiver-swaption dà diritto a entrare
  in un receiver swap e corrisponde a unopzione
  put.

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Cap/floor e swaption

• Come cap e floor, anche la swaption è definita
  at-the-money se lo strike è uguale al tasso
  forward swap su un contratto per lo stesso
  scadenzario.
• Si noti che mentre un cap è un portafoglio di
  opzioni, una swaption è unopzione su un
  portafoglio (unopzione basket).
• Per questo motivo una swaption vale sempre meno
  del corrispondente cap (stesso scadenzario e
  strike)

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Swap e forward start swap

• Un swap permette al detentore di scambiare un
  flusso di pagamenti fissi con un flusso di
  pagamenti indicizzati.
• Il tasso swap è il tasso fisso stabilito
  allorigine, in modo che, scambiato con pagamenti
  indicizzati, rende il valore del contratto pari a
  zero.
• Un swap forward è un swap che inizia ad una data
  futura, diciamo tn
• Il tasso forward swap è il tasso fisso, stabilito
  in t, che, scambiato con un flusso di cedole
  indicizzate, rende il valore del swap forward
  pari a zero.

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Swaption

• Una swaption fornisce al detentore il diritto, ma
  non lobbligo, di entrare in un contratto swap ad
  una data futura tn con un tasso swap pari a Rs.
• Date di reset tn , tn1,tN per il swap, con
  pagamenti dovuti alle date tn 1 , tn 2,tN
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• Definiamo ?i ti 1 ti il tempo tra le date
  di pagamento e di reset delle cedole ed una
  combinazione lineare di fattori di sconto

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Il pay-off di una swaption

• Una swaption con strike Rs dà al detentore il
  diritto di entrare in un swap nel quale paga
  fisso e riceve variabile può essere vista come
  una sequenza di pay-off
• ?i maxR(tnn,N) - Rs ,0
• dove R(tnn,N) è il tasso swap che verrà
  osservato al tempo di esercizio tn mentre il
  valore attuale del pay-off sarà,
• A(tnn,N) maxR(tnn,N) - Rs ,0

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e la valutazione

• Il valore della swaption è calcolato quindi
  usando
• Swaption A(tn,N) EAmaxR(tnn,N) - Rs ,0
• Notate che il sottostante dellopzione è un
  tasso, piuttosto che un prezzo. Se assumiamo che
  esso abbia distribuzione log-normale, possiamo
  recuperare il prezzo utilizzando ancora una volta
  la formula di Black
• Swaption A(tn,N) BlackS(tn,N),K,tn,?(n,N)

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Swaption ricetta di valutazione

• La valutazione della swaption è complessa, ma la
  ricetta finale è simile a quella utilizzata per
  la valutazione di cap e floor.
• Possiamo utilizzare la formula di Black, avendo
  cura di
• Considerare il tasso forward swap e la volatilità
  corrispondente anziché il tasso swap
• Scontare il risultato così ottenuto utilizzando
  la somma dei fattori di sconto sullo scadenzario
  del swap sottostante.

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Swaption copertura

• Utilizzando la formula di Black, otteniamo
• Swaption
• (v(t,tj) v(t,tN))N(d1) ?iv(t,ti) KN(d2)
• La formula suggerisce immediatamente una
  strategia di replica, suggerita o copertura
  basata su
• Una posizione lunga sulla scadenza di pagamento
  del primo flusso per un ammontare N(d1)
• Una posizione corta in corrispondenza del
  pagamento dellultimo flusso per un ammontare
  N(d1)
• Una posizione corta in un portafoglio di titoli
  sullo scadenzario per un ammontare N(d2)

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Esercizio su un contratto swap

• Scadenzario
• Data iniziale 24/12/2001
• Prima scadenza 24/12/2002
• Seconda scadenza 24/12/2003
• Scadenza finale 24/12/2006
• Periodicità cedole trimestrale, act/360
• Data primo fixing Euribor 20/12/01
• Data primo fixing Libor US 20/12/02

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I flussi di pagamento

• La banca paga Euribor 3 mesi, posticipato
• Il cliente paga
• Dalla data iniziale alla 1a scadenza 2.85
• Dalla 1a alla 2a scadenza
• 4.20 se Libor US lt 5.25
• Libor US se Libor US ? 5.25
• Dalla 2a scadenza alla scadenza finale
• 5.20 se Libor US lt 6.25
• Libor US pagato in Euro se Libor US ? 6.25