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TEMA 1 SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES
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HABILIDADES

• Define el concepto de sistemas de ecuaciones
  lineales.

• Describe el concepto de solución de un sistema
  de ecuaciones lineales y de conjunto solución.

• Clasifica un S.E.L. de acuerdo con su conjunto
  solución.

• Interpreta geométricamente los diversos tipos de
  S.E.L. para los casos de dos incógnitas.

• Describe los diferentes tipos de transformaciones
  elementales en un S.E.L.

• Describe el método de eliminación de gauss en
  forma matricial.
• Define el concepto de S.E.L. homogéneos.

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Introducción Multitud de fenómenos naturales,
sociales, económicos o técnicos se comportan
linealmente, es decir presentan la forma Ax b,
lo cual se reduce al problema de resolver un
sistema de ecuaciones lineales.
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• Ejemplo
• En economía, la función demanda expresa la
  cantidad de piezas de cierto producto que se
  venden en función de su demanda. Con frecuencia,
  ella y sus variables forman una ecuación lineal.

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• Se dice que la mayor parte del tiempo que los
  ordenadores actuales dedican a resolver problemas
  matemáticos, que tienen que ver con la
  industria y el comercio, se emplea en el
  tratamiento de sistemas de ecuaciones lineales,
  así tenemos
• Modelos económicos lineales.
• La programación lineal.
• Circuitos eléctricos.
• Cadenas de Markov.

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EJEMPLO
Una firma de transporte posee tres tipos de
camiones A, B y C. Los camiones pueden
transportar dos clases de maquinaria pesada. El
número de máquinas de cada clase que puede
transportar cada camión se encuentra en el
siguiente cuadro
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camiones
camiones
Máquinas
Máquinas
A B C
A B C
clase 1 2 1 1 clase 2
0 1 2
clase 1 2 1 1 clase 2
0 1 2

Si la firma debe transportar 32 máquinas de
clase 1 y 10 máquinas de clase 2, cuántos
camiones se requieren para satisfacer el total de
transporte y cuál es la solución más económica,
sabiendo que el costo de transporte por camión es
el mismo?
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Interpretación geométrica en R2 de una ecuación
lineal
Ecuación general de una recta
Ax By C 0
La gráfica de toda ecuación de primer grado con
dos incógnitas en el sistema de coordenadas
rectangulares XY, es una recta y viceversa.
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Ecuación de la recta
La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada
en el origen b, es
(xy)
b
y mx b
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ECUACIÓN LINEAL
Es aquella ecuación que tiene la forma
a1 x1 a2 x2 an xn b ai
coeficientes, xi incógnitas, b término
independiente
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales en las
incógnitas x1 , x2 ,..., xn es un conjunto
finito de ecuaciones lineales en dichas
incógnitas
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SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES
Una sucesión finita de números reales es una
solución de un S.E.L si es solución de cada
ecuación del sistema.
Al conjunto de todas las soluciones se le llama
conjunto solución del S.E.L.
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    SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES
CON DOS INCÓGNITAS  
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Consiste en despejar una
incógnita de una de las ecuaciones y sustituir
esta expresión en la otra ecuación, con lo cual
obtendremos una sola ecuación de primer grado
con una incógnita cuya resolución ya nos es
familiar.
Ejemplo resuelva el sistema   3x ? 2y 7 5x
? 4y ?3
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MÉTODO DE ELIMINACIÓN Este método
consiste en buscar eliminar una incógnita sumando
ambas ecuaciones. Esto se consigue multiplicando
cada ecuación por un número real no nulo, de tal
manera que los coeficientes de una de las
incógnitas sean opuestos. Finalmente se suma las
dos ecuaciones para obtener una ecuación de
primer grado con una sola incógnita.
Ejemplo resuelva el sistema   4x 3y
6 3x 5y ?1
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CLASIFICACIÓN DE LOS SEL

• COMPATIBLE DETERMINADO.- Cuando admite una sola
• 
  solución.

Ejemplo El sistema x y 5 x ?
y 3 es determinado, la única solución es el
par formado por x 4 e y 1.
Las rectas son secantes El punto de corte es la
única solución del sistema. En este caso el par
ordenado (4 1). C.S. (4 1)?
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1. Compatible Indeterminado si admite un número
   ilimitado de soluciones.

Ejemplo El sistema x y 5 3x 3y 15
admite infinitas soluciones.
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Incompatible es cuando el sistema no admite
solución.
Ejemplo El sistema x y
5 3x 3y 12  no admite ninguna solución.
En este caso, las rectas resultantes son
paralelas. C.S. ?
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CUADRO RESUMEN
COMPATIBLE
Indeterminados infinitas soluciones.
Determinados solución única.
INCOMPATIBLE
CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO
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Método Matricial
Sea el sistema
Se tiene
Matriz Aumentada del sistema.
Matriz del sistema.
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OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS
1. Intercambiar dos filas cualesquiera de la
matriz. NOTACIÓN Fi X Fj 2. Multiplicar
cualquier fila de la matriz por una constante
diferente de cero. NOTACIÓN c.Fi 3.
Reemplazar cualquier fila de la matriz por el
resultado de sumarle a ella un múltiplo de
cualquier otra fila. NOTACIÓNFi cFjc 0
c 0
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MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS
Sea A una matriz. Si B se obtiene de A mediante
una sucesión finita de operaciones elementales de
filas se dice que A y B son equivalentes por
filas y se escribe A B
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Matriz escalonada por fila
Componente guía Es el primer elemento no nulo de
una fila, comenzando esta de izquierda a derecha.
Definición Una matriz se llama escalonada por
filas si
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Observación Si además en la definición
anterior, se cumple que 1. Todas las
componentes guías son 1. 2. Cada columna que
incluye una componente guía contiene ceros
en los demás elementos, la matriz se llama
escalonada reducida por filas

EJEMPLOS
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MÉTODO DE GAUSS (forma matricial)
1.Representar el sistema mediante su matriz
ampliada.
2.Mediante operaciones elementales filas reducir
la matriz ampliada a una forma escalonada.
3.Obtener el sistema equivalente que resulta.
4. Resolver el sistema por sustitución regresiva
tomando las variables libres necesarias.
Nota Si en el 2do paso se obtiene la matriz
escalonada reducida, el 4to paso se simplifica
enormemente (Método de Gauss-Jordan)
Donde No de var. libres no de incóg. - no de
ecuaciones
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OBSERVACIONES
1. Un sistema compatible es determinado si y sólo
si su forma escalonada tiene tantas filas no
nulas como incógnitas.
2. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene más
incógnitas que ecuaciones y ya está en su forma
escalonada, entonces hay infinitas soluciones, es
decir es indeterminado.
3. Un sistema lineal de ecuaciones es
incompatible si y sólo si su matriz
escalonada por fila tiene alguna fila de la
forma 0 0 ...0 c con c 0.
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Sistemas homogéneos
Son los que tienen todos sus términos
independientes nulos.
TEOREMA Todo sistema homogéneo es compatible.
SISTEMA HOMOGÉNEO
Determinado La única solución es la solución
trivial.(todas las incógnitas son ceros)
Indeterminado Existen infinitas soluciones.
Además de la
trivial, existen otras soluciones.
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Problemas de aplicación

• Para la resolución de cada problema se
• debe emplear la siguiente estrategia
• Identificar las incógnitas del problema
  asignándoles variables.
• Formular un modelo matemático que permita
  relacionar las variables de las incógnitas con
  los datos del problema, analizando las
  limitaciones que presente.
• Resolver el modelo matemático obtenido.
• Formular la respuesta del problema.

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CONCLUSIONES
Forma escalonada
Incompatible
NF NI
Determinado
Indeterminado
NF lt NI