1
 Kontextuálne vyucovanie matematiky a v
prostredí pocítacových technológií (otvorená
hodina)   

2
Kam smeruje edukácia v modernej informacnej
spolocnosti

• V nadväznosti na výsledky a odporúcania výskumov
  (PISA)
• Úsilie o zredukovanie obsahov uciva v
  jednotlivých predmetoch, menej encyklopedických
  vedomostí ,
• Dôraz na chápanie - porozumenie a
  aplikovania poznatkov v praxi, menej memorovat
  viac aplikovat,
• Úsilie prepojit obsahy uciva jednotlivých
  vyucovacích predmetov, (nutnost transferu
  vedomostí, získaných pri vyucovaní jedného
  prírodovedného predmetu do oblasti iného
  predmetu),
• V oblasti vyucovania matematiky naliehavost
  ponúkat modernú, užitocnú a aplikovatelnú
  matematiku.

3
Didaktická formácia ucitela musí mat na zreteli

• Co nechceme
• Odovzdávat študentom nezáživným spôsobom sterilný
  súbor faktov, pojmov, vedomostí , informácií,
  nepoužitelný v každodennej praxi
• Co chceme
• Zvýšit efektivitu vyucovacieho procesu -
  vyucovanie metódou learning by doing -
  metódou tvorivej cinnosti, aktívnym zmocnovaním
  sa poznatkov experimentovaním,
• Klást dôraz na percepciu podstaty pojmov a ich
  vzájomných korelácii, vrátane
  interdisciplinárnych prepojení,
• Orientáciu na vedomosti a zrucnosti potrebné pre
  dobré uplatnenie sa v modernej spolocnosti,
  akcentovanie relevantných vedomosti
  aplikovatelných pri riešení problémov v
  reálnom živote,
• Formovanie študenta ako konštruktívneho,
  zainteresovaného a premýšlavého jedinca.

4
Matematika potrebuje ostatné vedné disciplíny a
naopak

• Ako ucitelia matematiky sme casto konfrontovaní
  otázkami študentov, ktorých zaujíma ako a kde
  môžu práve preberaný matematický poznatok
  využit v praxi. Ak chceme v takejto chvíli
  vhodne a inšpiratívne reagovat, musíme upriamit
  pozornost do sveta biológie, ekonómie, ekológie,
  chémie ci fyziky a ponúknut študentom uspokojivé
  vysvetlenie, uviest relevantný aplikacný príklad.
  
• Pri vyucovaní matematiky ucitel azda najviac
  pocituje
• potrebu súcinnosti s inými vednými
  odbormi.

5
Oblasti matematiky, ktoré sú najviac použitelné
aj v iných vedných disciplínach

• Matematické modelovanie
• Štatistické metódy
• Teória grafov
• Teória hier
• Optimalizacné metódy
• Lineárne programovanie
• Numerické metódy

6
Pocítacové technológie a kontextuálne vyucovanie

• V súcasnej dobe informacných technológií jasne
  vidíme, že všetky vedné disciplíny upriamujú
  svoju pozornost predovšetkým na informatiku a
  matematiku.
• Intenzívne vnímame, ako pocítacové technológie
  prenikajú do všetkých oblastí vedy, eliminujú
  rutinné a  stereotypné cinnosti, vytvárajú
  priestor pre kreatívne a komplexné vedecké
  skúmanie, posúvajú hranice poznania, umožnujú
  realizovat výskum na úplne inej úrovni, ako to
  bolo doposial.
• Na príklade matematického dynamického modelu a 
  pocítacovej simulácie rastu populácie organizmov
  chceme demonštrovat aká inšpiratívna a podnetná
  môže byt vzájomná kooperácia a kolaborácia
  matematiky, biológie a informatiky.

7
Matematický model a pocítacové simulácie

• Modelovanie je úcelové zobrazovanie vyšetrovaných
  vlastností originálu pomocou vhodne zvolených
  vlastností modelu. Jedná sa teda o reprodukciu
  vybraných vlastností sledovaného objektu na
  modely. Skúmanú skutocnost nazývame originálom,
  ci predmetom modelovania.
• Matematické dynamické modely sa používajú pre
  vyjadrenie evolúcie opisovaného systému
  prebiehajúcej v case na základe a priori
  definovaného pravidla.
• Modely rastu a vzájomných vztahov rôznych
  populácií sú dnes využívané v prírodných vedách
  a inžinierskych disciplínach, v biológii,
  chémii, ekológii,  ekonómii, ale aj v
  sociálnych vedách a slúžia tiež napríklad na
• urcovanie maximálnej úrody v
  polnohospodárstve,
• na pochopenie dynamiky biologických invázií,
• pre porozumenie dôsledkov pri ochrane životného
  prostredia,
• pre prognózovanie šírenia parazitov, vírusov a
  ochorení ,
• pre prognózovanie rozširovania sociálnych sietí,
  etnických skupín

8
Spojité modely rastu verzus celulárne automaty

• K najznámejším spojitým modelom rastu
  (využívajúcim jazyk matematickej analýzy a
  diferenciálnych rovníc) patrí Malthusova
  rovnica .
• Problémom klasických (spojitých) dynamických
  modelov je, že pri ich konštruovaní sa
  prijímajú pomerne zjednodušené predpoklady.
  Populácia sa chápe globálne, makroskopicky,
  ako celok, pricom sa nereflektujú viaceré
  faktory, ako napríklad rozmnožovanie a smrt
  jedincov, priestorové rozloženie, ci lokálne
  zmeny populácie - rozdiely sa jednoducho
  spriemerujú. Urcite pri mnohých úlohách je to
  správna intuícia, lahko však nájdeme príklady,
  kde takýto prístup vedie k nesprávnym záverom.
  (populácie s krátkou dobou života).
• Najjednoduchším alternatívnym riešením je
  mikroskopické modelovania rastu populácie,
  ktoré berie do úvahy ako priestorové rozloženie
  jedincov, tak podmienky zrodu, prežitia a 
  smrti subjektov. Takéto modelovanie rastu je
  možné realizovat prostredníctvom celulárnych
  automatov.
• V tomto momente registrujeme zásadný vstup
  pocítacových technológií do oblasti matematického
  modelovania biologických procesov a teda
  interdisciplinárne prepojenie matematiky,
  informatiky a biológie, (prípadne i  dalších
  vedných disciplín, v ktorých je možné aplikovat
  spomínaný model rastu populácie).

9
Celulárne automaty

• Pociatky sa spájajú s menami J.v. Neumann a S.
  Ulam a S. Wolfram (1959 - ) a jeho publikáciou
  A New Kind in Science (2002), v ktorej skladá
  hold tejto fascinujúcej štruktúre, a považuje
  ju za akýsi základný princíp mnohých javov vo
  svete.
• Celulárny automat (CA) (angl. cellular
  automaton) je dynamický systém a matematický
  model, ktorý stvárnuje evolúciu živého
  systému.
• Vo všeobecnosti ho môžeme charakterizovat
  pomocou troch základných parametrov
• štruktúrou siete, prostredníctvom ktorej
  simulujeme zvolené javy,
• špecifikáciou subjektov, ktoré žijú na tejto
  sieti,
• množinou pravidiel, podla ktorých sa riadi
  evolúcia subjektov siete.

10
Celulárny automat

• je tvorený bunkami,
• každá bunka môže nadobúdat najcastejšie dva stavy
  (binárny CA)
• jeden stav oznacuje plné pole ? živá bunka (1)
• druhý stav oznacuje prázdne pole ? mrtva bunka
  (0)
• Bunky môžu bud usporiadané do rôznych tvarov
• priamky hovoríme o lineárnych jednorozmerných
  (oznacenie 1D CA),
• pravidelnej mriežky (najcastejšie) hovoríme
  o dvojrozmerných 2D CA,
• trojrozmernej štruktúry (oznacenie 3D CA).

11
Živá bunka
Mrtva bunka

• Hodnoty stavov buniek sú urcené prechodovou
  funkciou. Bunka mení svoj stav podla
  zadefinovaného pravidla,
• Každá bunka má informáciu o sebe samej, ako aj
  o svojom okolí (lokálne informácie) a na základe
  toho koná a rozhoduje sa, co urobí v dalšom kroku
  (cykle, generácii).

12

• Okolie bunky
• Každá bunka má definované okolie, ktoré vplýva
  na jej rozhodovanie o zmene jej stavu.
• pre  1D CA je okolie definované ako pocet
  susedných buniek po oboch stranách bunky,
• pre 2D CA existuje niekolko typov okolí
  buniek. Najznámejšie sú

Lineárne okolie bunky
Moorovské okolie bunky
Neumanovské okolie bunky
Šestuholníkové okolie bunky
13
The Game of Life (Hra život) najznámejší
celulárny automat

• John Horton Conway (1937 - ).
• The Game of Life je na jednej strane
  jednoduchým, no  súcasne úžasne flexibilným
  modelom zrodu, evolúcie a vymierania kolónií
  živých organizmov.
• Conway dlho experimentoval, testoval rôzne
  pravidlá evolúcie buniek. Nakoniec urcil
  princípy, ktoré zarucujú velmi zaujímavý a
  súcasne nepredvídatelný rast kolónií
  organizmov. Posolstvo tejto hry je predovšetkým v
  nasledujúcom
• Aj jednoduché pravidlá môžu viest k zložitým
  a komplexným riešeniam.
• Pravidlá hry špecifikujú, za akých podmienok
• baktérie prežívajú do dalšej generácie,
• na mieste mrtvej sa rodí nová baktéria,
• živá baktéria umiera.

14
The Game of Life

• Hra využíva Moorovské okolie bunky a  tieto
  postuláty
• pre živé bunky ak má bunka okolo seba menej než
  2 bunky, potom umiera na osamelost,
• pre živú bunku ak má bunka okolo seba viac ako
  3 živé bunky, potom umiera z presýtenia,
  premnoženia,
• pre živú bunku ak má okolo seba 2 alebo tri
  živé bunky, potom bunka prežije do nasledujúcej
  generácie,
• pre mrtvu bunku ak má bunka v svojom okolí
  práve 3 živé bunky, potom príde k zrodu bunky
  (trojpohlavné rozmnožovanie), inak zostáva mrtva.

15

• Prvá generácia (krok, cyklus) sa realizuje pre
  zaciatocnú konfiguráciu buniek podla vyššie
  uvedených pravidiel, pricom pravidlá sa aplikujú
  súcasne na každú bunku. Dalším aplikovaním
  pravidiel vznikajú dalšie generácie buniek.
  Zaciatocné obrazce, tvorené lubovolne zvoleným
  poctom živých buniek, smerujú po niekolkých
  generáciách k jednej z nasledujúcich situácií
• štruktúra po X generáciách zanikne,
• vzniká stabilná štruktúra,
• vzniká cyklicky sa opakujúci obrazec.
• Existuje mnoho volne dostupných programov, ktoré
  simulujú Game of the Life na obrazovke pocítaca.
  K takým patrí aj program Conway, ktorý sme
  použili pri koncipovaní nášho clánku. Pomocou
  neho môžeme pozorovat evolúciu nami zvolenej
  konfigurácie buniek na obrazovke pocítaca.
  Program tiež umožnuje urcovat si vlastné
  podmienky (postuláty) pre rast populácie, vybrat
  vhodné okolie bunky (siet) ciže realizovat aj
  iné typy celulárnych automatov.

16
Periodické konfigurácie
17
Hlavné okno programu Conway
18
Lišta nástrojov
Automatické generovanie dalších generácií
Nastavenia mriežky a prechodovej funkcie
Nové pole
Posun dalšia generácia
Zoom mriežky
19
Volba okolia buniek v programe Conway
20
Dalšie okolia buniek v programe Conway
21
Volba okolia buniek a postulátov Hry na život v
programe Conway
22

• Príklad 1. Podmienky Hry na život aplikujeme na
  jednoduchú zaciatocnú konfiguráciu na Moorovskom
  okolí buniek. Následne simulujeme jej evolúciu
  a registrujeme vznik obrazcov, predstavujúcich
  dalšie generácie. Ako vidiet po jedenástich
  generáciách vzniká v tomto prípade stabilná
  oscilujúca štruktúra.

23

• Príklad 2. Celulárny automat konštruovaný na
  šestuholníkovom okolí buniek s nasledujúcimi
  postulátmi (môžeme ním simulovat rast kryštálov
  vody)
• Pre živú bunku ak má okolo seba práve jednu živú
  bunku, potom bunka prežije do nasledujúcej
  generácie,
• Pre mrtvu bunku ak má bunka v svojom okolí práve
  jednu živú bunku, potom príde k zrodu novej
  bunky, inak zostáva mrtva.
• Vývoj jednotlivých generácií môžeme simulujeme
  programom Conway

24
(No Transcript)
25
(No Transcript)
26
(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
(No Transcript)
30
(No Transcript)
31
(No Transcript)
32
(No Transcript)
33
(No Transcript)
34
(No Transcript)
35
Možnosti využitia celulárnych automatov (CA sú
aplikovatelné v temer každej oblasti vedy)

• Pomocou celulárnych automatov môžeme stvárnovat
   také javy ako sú
• pohyb sypkých materiálov (takých ako kopa
  piesku),
• priepustnost kvapalín cez pórovitý materiál,
• šírenie lesných požiarov,
• tvorenie sa kolón na dialnici,
• rozširovanie sociálnych sietí,
• vznik chemických zlúcenín, kryštalizácia,
• rast nádorov a mnohé dalšie,
• simulácia chemických reakcií (Belousov-Zhabotinsky
  reaction),
• fundamentálne modely fyziky (vesmír na princípe
  CA)

36

• Pokúsili sme sa ukázat na príklade celulárnych
  automatov, aké inšpiratívne a podnetné môže
  byt pre študentov vyucovanie, ktoré spája
  poznatky z viacerých vedných disciplín.
• Formovanie didaktických kompetencií budúcich
  ucitelov v oblasti kontextuálneho vyucovania
  je potenciálom, vdaka ktorému je možné posunút
  hranice poznania, a ktorý výrazne prispieva k
  zefektívneniu a zatraktívneniu
  výchovnovzdelávacieho procesu.

Priemerný ucitel memoruje. Dobrý ucitel
vysvetluje. Výborný ucitel poukazuje na
vzájomné súvislosti. Najlepší ucitel
inšpiruje. W.A.Ward
37
Vdaka za Pozornost