5. M

1
5. Méthodologie de l'homogénéisation
5.1 Représentation (définition du VER)
2
5.1 Représentation (définition du VER)
Hypothèse VER représente globalement tous les
volumes élémentaires

• A priori, faux pour les aciers, céramiques,
  polymères, ...

mais pour nous

• Quasiment vérifié pour les structures ordonnées
  (composites à fibres longues,tissus, )
• VER gt une cellule élémentaire de larrangement
  périodique

3
1/ Choix échelle microscopique description
statistique topologique

• Caractéristiques géométriques et distribution
  spatiale (VE tous différents)
• géométrie des phases (ellipsoïdes, sphères,)
• répartition
• fraction volumique

2/ Identification mécanique
Comportement mécanique des phases
Définition du VER ? Recherche, étude et
description des constituants homogènes
mais description complète impossible (sauf cas
périodiques)
Estimations ou un encadrement des
caractéristiques effectives du Milieu Homogène
Equivalent
4
5. Méthodologie de l'homogénéisation
5.2 Localisation
5
5.2 Localisation
VER modèle de matériau hétérogène
Analyse mécanique ? Problème de calcul de
structures (computational mechanics) mais pas
complètement défini

• Sollicitations
• Description statistique (fonctionnelle Y(x,t))

6
Sollicitations
Sollicitations sur le VER ? Efforts au point
macroscopique correspondant
relations de moyennes
Il faut revenir à un problème avec Conditions aux
Limites classique
? ? ? ?
7
Solution (quand cest possible) contraintes ou
déformations homogènes au contour
Formulation dun problème avec conditions sur la
frontière ?W
pas forcément connu ? Imposé
On définit
8
Conditions homogènes au contour justifiées
quand l gtgt d
eij(x),sij(x)
9
Conditions homogènes au contour Remarques

• Contraintes homogènes ? déformations homogènes

Comportement homogénéisés ? si l gtgt d
d ? l

• Pour les milieux périodiques

Conditions homogènes au contour

• Conditions de déplacement périodiques
• Contraintes anti-périodiques
• contraintes S.A.

10
Conditions en déformations périodiques
Par exemple, on impose E11 seul
11
Encadrements et estimations
Conditions de moyenne sur le VER description
statistique
Non-unicité de la solution
1/ Hypothèses supplémentaires solution unique
mais sens physique des hypothèses ? cadre de
validité des ESTIMATIONS (modèle) 2/
Similaire aux approches variationnelles champ de
contraintes et de déformations admissibles
(contraintes S.A., déformations
compatibles) Localisation ? relier ces  champs
dapproche  aux grandeurs macroscopiques
imposées et paramètres de description
Principe
ENCADREMENT (méthodes des bornes)
Encadrement optimal
12
Considérons le problème de localisation résolu
complètement
13
5. Méthodologie de l'homogénéisation
5.3 Homogénéisation
14
5.3 Homogénéisation Détermination du comportement
effectif à partir du comportement local
relations de localisation
relations de moyennes (ltgt)
Comportement du Matériau Homogène Équivalent
15
De manière formelle pour les contraintes
En utilisant la loi de comportement locale et
lexpression de la fonctionnelle de localisation
correspondante
Soit finalement la loi de comportement
équivalente (quon suppose pouvoir sécrire
formellement)
16
De manière formelle pour les déformations
En utilisant la loi de comportement locale et
lexpression de la fonctionnelle de localisation
correspondante
Soit finalement la loi de comportement
équivalente (quon suppose pouvoir sécrire
formellement)
17

• Remarques
• On rappelle que les fonctionnelles homogénéisées
  LH et MH dépendent en toute rigueur du type de
  conditions au contour considérées,
• de plus, rien ne garantit que ces 2
  fonctionnelles soient, au contraire des
  fonctionnelles locales, inverses lune de lautre

Pour tester ce dernier point, on peut utiliser le
Lemme de Hill
Ce théorème sera également utilisé dans les
estimations des bornes d encadrement
18
Lemme de Hill (condition de macrohomogénéité de
Hill ou condition de Hill-Mandel) Si s est un
champ de contrainte S.A. et e un champ de
déformation compatible
soit en contraintes homogènes au contour
soit en déformations homogènes au contour
En conditions homogènes au contour et en
homogénéisation périodique, on a égalité du
travail macroscopique et de la moyenne spatiale
du travail microscopique
19
5. Méthodologie de l'homogénéisation

• 5.4 Remarques et conclusion
• Lhomogénéisation peut être une étape
  intermédiaire dans le calcul de réponses de
  matériaux
• comportement macroscopique très sensible aux
  comportements microscopiques (endommagement,
  rupture, ...).
• dans le cadre de grandes transformations

s,e
VER (Y(x,t))
LH (MH)

• Pour la suite élasticité linéaire et
  déformations infinitésimales

20
5.5 Synthèse de la démarche
Y(x,t)
MH-S
LH-E
Eh
Sh
Homogénéisation
lte(x)gt E
lts(x)gt S
Localisation
s(x)
e(x)
Comportement local
s(x)
e(x)