Pr

1
Plan DUNE formation Calcul mental et TICE
Nombres et calcul Enseignement ,
apprentissage et place du calcul mental
Jean-Jacques Calmelet
http//cms.ac-martinique.fr/structure/polemathemat
iques/
2
Evaluation PISA 2000
Estimez laire de lAntarctique en utilisant
léchelle de la carte.
3
PISA 2003
Lors dune émission télévisée, un journaliste
montre ce graphique et dit Ce graphique
montre quil y a eu une très forte augmentation
du nombre de cambriolages entre 1998 et 1999.
Considérez-vous que laffirmation du journaliste
est une interprétation correcte?Justifiez votre
réponse par une explication.
4
2,40m
0,60m
2,50m
2,473m
1,60m
5
PISA

• La Culture mathématique
• Cest laptitude dun individu à identifier et
  comprendre le rôle des mathématiques dans le
  monde, à porter des jugements fondés à leur
  propos et à sengager dans des activités
  mathématiques en fonction des exigences de sa vie
  en tant que citoyen constructif, impliqué et
  réfléchi

6
Pas de hiérarchie Calcul / Problèmes Mécanisme
/ Automatisme / Compréhension Connaissances /
Capacité à les utiliser
7
Paradoxe de lautomatisation calculer 45 17
Apprendre le calcul mental des procédures

• 4517 4510755762
• 4517 405107501262

• 1
• 45
• 17
• 62

4517 45512501262 4517
4515260262 4517 2431726062

• 4517 4520-365-362

• Connaissances mobilisées
• Coût en mémoire
• Coût en calcul ??
• Algorithme écrit Algorithme mental
•  Poser dans sa tête  / apprendre des
  procédures spécifiques
• Calculer par la droite / calculer par la gauche

• Quel automatisme ?
• Recours à un ensemble de procédures installées en
  mémoire
• Mobilisation quasi systématique dune seule
  procédure

8
 Lacquisition des mécanismes en mathématiques
est toujours associée à une intelligence de leur
signification 
Programmes 2008 CP, CE1, CE2, CM1, CM2
9
Doubles Tables daddition Tables de
multiplication Compléments à 10
Passage à la dizaine supérieure Distributivité Cal
cul par la gauche
12 10 2 12 2 x 6 12 2 x 2 x 3 9 10
1 25 100 / 4
10
Le niveau expert ?
11
Niveau expert ?

• Ce nest pas un  saut naturel 
• dépasser lusage de la comptine, recomptage du
  tout, surcomptage, décomptage
• mémorisation progressive
• appui sur la numération (décomposition, passage
  à dix)
• utilisation de nouveaux outils ligne
  numérique, tableau de nombres,

Du dénombrement au calcul

• 37 x 8

• 37 8

• 37 x 2 x 2 x 2
• (on double trois fois de suite)
• 30 x 8 7 x 8

• 37 3 5
• 30 7 8

25 x 12
50 x 12

• 25 x 4 x 3
• 25 x 10 25 x 2

• 50 x 2 x 6
• 50 x 10 50 x 2

12
Mémoriser les  faits numériques 
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9
2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8
3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7
4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6
5 1 5 2 5 3 5 4 5 5
13
2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 5 6 7 8 9 10 11
3 5 6 7 8 9 10 11 12
4 6 7 8 9 10 11 12 13
5 7 8 9 10 11 12 13 14
6 8 9 10 11 12 13 14 15
7 9 10 11 12 13 14 15 16
8 10 11 12 13 14 15 16 17
9 11 12 13 14 15 16 17 18
14
2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 5 6 7 8 9 10 11
3 5 6 7 8 9 10 11 12
4 6 7 8 9 10 11 12 13
5 7 8 9 10 11 12 13 14
6 8 9 10 11 12 13 14 15
7 9 10 11 12 13 14 15 16
8 10 11 12 13 14 15 16 17
9 11 12 13 14 15 16 17 18
15
2 3 4 5 6 7 8 9
2 4
3 5 6
4 6 7 8
5 7 8 9 10
6 8 9 10 11 12
7 9 10 11 12 13 14
8 10 11 12 13 14 15 16
9 11 12 13 14 15 16 17 18
16
Exemple dun outil délève table en cours
dapprentissage au CP ou CE1 (seul les résultats
 résistants  apparaissent)
2 3 4 5 6 7 8 9
2 4
3 5 6
4 6 7 8
5 7 8 9 10 12 13 14
6 8 9 10 11 12 13 14 15
7 9 10 11 12 13 14 15 16
8 10 11 12 13 14 15 16 17
9 11 12 13 14 15 16 17 18
17
Enseigner les tables !
Doubles 2 x 3 6 4 x 3 12 8 x 3 24
Triples 3 x 3 9 9 x 3 27 2 x 3 6 6 x 3
18

• 2 x 3 6
• 3 x 3 9
• 4 x 3 12
• 5 x 3 15
• 6 x 3 18
• 7 x 3 21
• 8 x 3 24
• 9 x 3 27
• 10 x 3 30

2 x 3 6 3 x 3 9 4 x 3 12 5 x 3 15 6 x 3
18 7 x 3 21 8 x 3 24 9 x 3 27 10 x 3 30
30 x 3 90
10 x 3 30 20 x 3 60
18
Interroger sur les tables (addition)
Alterner
Oral (sans écrit)
Ecrit (sans oral)

• 6 7

• ? 7 13 et ? 6 13

• 13 - 6 et 13 - 7

• 13 - ? 7 et 13 - ? 6

• Combien manque-t-il à 6 (ou 7) pour aller à 13

• Complète 6 (ou 7) pour arriver à 13

Enseigner les analogies

• 6 7 16 7 26 7 36 7

• 6 7 6 17 6 27 6 37

• 6 7 60 70 600 700

19
Interroger sur les tables (multiplication)
Oral (sans écrit)
Ecrit (sans oral)
Alterner

• 2 x 7

• ? x 7 14 et 2 x ? 14

• 14 2 (dès le CE1) et 14 7

• En 14 combien de fois 2 (de fois 7)

• 20 x 7 2 x 70
• 140 2

• Suite des nombres de en (croissante,
  décroissante)

• QCM 2 x 7 9 ? 14 ? 5 ?

20
mathématiques Prog 2002 Prog 2008
HORAIRES 5h / 27h 5h / 24h
retrait du temps de récréation 5/27 x 2h15 soit 25 min 5/24 x 2h soit 25 min
Temps effectif de math hebdomadaire 4h35 4h35
NOMBRE de séances hebdomadaires ? 5 séances / une par jour 4 séances de 50min 4 séances de 15min
21
Denis BUTLEN Le paradoxe de lautomatisme 

•   lorsque les connaissances de lélève sont
  plus limitées, il va se réfugier dans les
  procédures apparemment plus sûres, mais beaucoup
  plus coûteuses et conduisant souvent à léchec. 
• CALCUL
• Le paradoxe de lautomatisme (transposition des
  techniques opératoires au calcul mental)
• Les repères des procédures de calcul mental (p19)
• NOMBRES
• échanges / groupements
• point de vue algorithmique
• oral /écrit

22
Enseigner les procédures (1)
Ex. Calculer mentalement
45 17

• 4517 4510755762

• Décomposition du 2nd nombre

4517 45512501262 4517
4515260262 4517 2431726062
Passage à la dizaine supérieure

• 4517 405107501262

• Décomposition des 2 nombres

• 4517 4520-365-362

• Ajout de dizaine et soustraction

23
Enseigner les procédures (2)

• Une semaine sur la procédure 1

• Une semaine sur la procédure 2

Décomposition du 2nd nombre
Passage à la dizaine supérieure

• Une semaine sur la procédure 3

• ADAPTATION
• Une semaine où lélève a le choix de
  lutilisation

Ajout de dizaine et soustraction
24
Enseigner les procédures (3)

• La construction de   procédures personnelles 
  est la combinaison
• dune procédure apprise
• dune mémoire réactive des faits numériques
• dune habileté à utiliser une décomposition
  pertinente des nombres

• Une semaine sur la procédure 1

• Une semaine sur la procédure 2

Décomposition du 2nd nombre
Passage à la dizaine supérieure

• Une semaine sur la procédure 3

• ADAPTATION
• Une semaine où lélève a le choix de
  lutilisation

Ajout de dizaine et soustraction
25

• Une séquence denseignement du calcul mental
• exemple complément à 100
• semaine 1  automatiser le passage par la dizaine
  supérieure dans l'addition
• semaine 2 automatiser la décomposition dans la
  soustraction 
• Semaine 3 choix des procédures

Semaines 1 et 2 une séance longue (on découvre,
on repère, on formalise) trois séances courtes,
on entraîne sous des formes variées
Consigne calculer lécart entre 48 et 100
semaine 1
Modélisation sous forme décriture
symbolique  50 48 2 50
100 52

semaine 2
100 48 100 40 8 soit 100 40 60
60 8 52
semaine 3 choix entre une ou lautre des
procédures

• On pourra montrer que
• la soustraction plus pratiques pour retirer des
   petits nombres 
• le complément (procédure additive) est plus
  indiqué avec les plus grands nombres

Étapes suivantes Écart 90 / 129 Ecart 87 /
126
EDUSCOL aide personnalisée CE1-mathématiques
26
Repères pour le calcul mental  Le nombre au
cycle 2 

• Compléter à 10 à la dizaine supérieure
• Compléter à 100 à la centaine supérieure
• Trouver le complément quand il sagit de 10,
  multiples de 10, 100
• Ajouter, retirer 10, 100
• Calculer des additions en ligne
• Décomposition additive dun nombre
• Exprimer un nombre en faisant intervenir la
  dizaine ou centaine supérieure
• Compléter des égalités de type 37 18 47

27

28
Aide personnalisée en mathématiques

• http//eduscol.education.fr/cid57169/articuler-aid
  e-personnalisee-et-temps-de-classe-en-mathematique
  s-en-ce1.html

29
Quelques repères - rappels

• Séances courtes / séance longue
• Emploi du temps
• Reprises régulières
• Entraînement variété brassage
• Ecrits formalisés (procédures)
• Interrogations (orales/ écrites)
• Ardoise ou cahier
• Corrections ? Mises en commun ?
• Une technique opératoire durable

30

• Investir  lintelligence du calcul 
• Enseignement de la numération
• - décomposition, familiarité
• Deux apprentissages / deux enseignements
• Faits numériques
• Procédures
• Estimation / approximation
• Utilisation dans des problèmes de la vie courante
•  On ne comprend pas les nombres si on ne connaît
  pas le calcul 
• Michele Artigue.