Autronica

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Autronica

• LEZIONE N 14
• ALGEBRA BOOLEANA
• Postulati
• Principio di dualità
• Teoremi fondamentali
• insieme funzionalmente completo NAND e NOR
• Funzione XOR
• Reti logiche combinatorie e sequenziali
• Simboli
• Concetto di ciclo
• Concetto di minimizzazione (funzione costo)
• Realizzazioni diverse della stessa funzione
• Half Adder e Full Adder
• Sommatori di due word di n bit

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Richiami

• Insieme di elementi
• Variabili, costanti
• Insieme di operazioni
• Insieme di postulati
• Espressioni algebriche
• Tabella di verità

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Postulati di HUNTINGTON

• Algebra Booleana

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Osservazioni

• Alcune proprietà dellalgebra booleana sono vere
  anche nellalgebra normalmente usata
• Proprietà commutativa
• Proprietà distributiva del prodotto logico
• Altre proprietà non sono vere
• Proprietà distributiva della somma logica
• Loperazione complemento logico esiste solo
  nellalgebra booleana
• La sottrazione e la divisione non esistono
  nellalgebra booleana

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Principio di DUALITÀ

• Da unosservazione dei postulati precedenti si
  osserva che quelli b si ottengono da a
• Scambiando i due operatori binari fra loro, ()
  con () e () con ()
• Scambiando fra loro i due elementi identità, 1
  con 0 e 0 con 1

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TEOREMI FONDAMENTALI

• Tecniche di dimostrazione dei teoremi
• Impiego dei postulati fondamentali
• Uso di teoremi precedentemente dimostrati
• Dimostrazione per assurdo
• (si ipotizza verificata lipotesi opposta a
  quella desiderata e si conclude che non è
  possibile che sia vera)
• Dimostrazione per induzione
• (se una ipotesi è vera per k variabili e per k1
  variabili allora è vera per qualunque n)

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Osservazione

• La tabella di verità consente di provare la
  veridicità di una relazione logica, poiché
  verifica se la relazione è vera per TUTTE le
  possibili combinazioni dei valori delle variabili
• Tale metodo prende il nome di
• Metodo dellINDUZIONE PERFETTE

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TEOREMI

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Esempio di dimostrazione

• Teorema di De Morgan (8a e 8b)

x y x y x y (x y) x y
0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0
c.v.d.
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Osservazioni

1. I teoremi di destra si possono ottenere da quelli
   di sinistra scambiando OR con AND e 0 con 1
2. Principio di dualità
3. Molti dei teoremi visti sono veri anche
   nellalgebra che conosciamo
4. Particolarmente significativi sono i teoremi di
   De Morgan e la proprietà distributiva
5. Molti teoremi, in particolare quelli di De
   Morgan, sono veri anche per n variabili

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Esempio 1

• Semplificare la seguente espressione
• In base ai teoremi visti si ha

P 4b
P 5b
P 2a
12
Esempio 1

• Per altra via posto
• si ha

P 4b
P 4a
P 3b
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Premessa 1

• Osservazioni
• le funzioni AND, OR e NOT costituiscono un
  insieme funzionalmente completo di operatori
  logici
• In base al teorema di De Morgan si ha
• ovvero la funzione OR si può realizzare con le
  funzioni AND e NOT quindi
• le funzioni AND e NOT costituiscono un insieme
  funzionalmente completo di operatori logici

14
Premessa 2

• Osservazioni
• Sempre in base al teorema di De Morgan si ha
• ovvero la funzione AND si può realizzare con le
  funzioni OR e NOT quindi
• le funzioni OR e NOT costituiscono un insieme
  funzionalmente completo di operatori logici
• le funzioni OR e AND non costituiscono un
  insieme funzionalmente completo di operatori
  logici perché non è possibile realizzare la
  funzione NOT

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Definizione

• Le funzioni NAND e NOR sono definite dalle
  seguenti tabelle di verità

x y u
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
x y u
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
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Osservazioni

• NAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-OR
• la funzione NAND costituisce un insieme
  funzionalmente completo di operatori logici
• la funzione NOR costituisce un insieme
  funzionalmente completo di operatori logici

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Funzioni complesse 1

• Loperatore XOR, OR ESCLUSIVO è
• Definizione

x y u
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Funzioni complesse 2

• Loperatore XNOR, NOR ESCLUSIVO è
• Definizione

x y u
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
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Reti Logiche

• Sistema elettronico che ha in ingresso segnali
  digitali e fornisce in uscita segnali digitali
  secondo leggi descrivibili con lalgebra Booleana
• R.L. è unidirezionale

a
x
R. L.
b
y


n
w
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Tipi di reti

• Reti COMBINATORIE
• In qualunque istante le uscite sono funzione del
  valore che gli ingressi hanno in quellistante
• Il comportamento (uscite in funzione degli
  ingressi) è descritto da una tabella
• Reti SEQUENZIALI
• In un determinato istante le uscite sono funzione
  del valore che gli ingressi hanno in
  quellistante e i valori che hanno assunto
  precedentemente
• La descrizione è più complessa
• Stati Interni
• Reti dotate di MEMORIA

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Simboli

• Rete Logica gtscomponibile in blocchi
• Blocchi base simboli degli operatori elementari
• Rappresentazione delle funzioni logiche mediante
  schemi
• RAPPRESENTAZIONE SCHEMATICA

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Porte logiche

• Rappresentazione circuitale delle funzioni
  logiche
• AND
• OR
• NOT

X1
X2
Y
X3
X1
Y
X2
X
Y
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Esempio

• Schema simbolico della funzione
• RETE LOGICA

X1
RETE LOGICA
X2
U f(X1, X2,., Xn)
Xn
X1
X2
U
X3
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Altre porte logiche

• NAND
• NOR

X Z Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
X Z Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
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Proprietà della porta NAND (NOR)

• Utilizzando solamente porte NAND (NOR) è
  possibile realizzare qualunque rete logica
• NOT
• AND
• OR

Y X
X
X
Y XZ
Z
X
Y XZ
Z
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OR Esclusivo

• Realizzazione dellOR Esclusivo

X Y U
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
X
U
Y
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Ciclo

• Definizione
• Ciclo Percorso chiuso che attraversa k blocchi
  (k 1) tutti nella loro direzione di
  funzionamento
• Osservazioni
• Tutte le reti viste sono prive di cicli
• I blocchi base combinatori sono privi di cicli
• Le funzioni descrivibili dalle tabelle di verità
  sono tutte prive di cicli (le uscite sono
  funzione dei solo ingressi)
• Conclusione
• Tutte le reti logiche composte di blocchi
  combinatori e prive di cicli sono rei combinatorie

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Sintesi di reti combinatorie

• Sintesi
• data la descrizione ai terminali di una rete
  combinatoria
• ottenere la struttura in blocchi logici e le
  relative interconnessioni
• Osservazioni
• il funzionamento della rete deve essere possibile
  descriverlo mediante una tabella di verità
• non esiste una sola realizzazione
• per poter scegliere fra le varie soluzioni è
  necessario definire il parametro da ottimizzare
• Funzione COSTO
• (numero di blocchi base, ritardo ingresso uscita,
  uso di particolari blocchi, ..)
• VEDERE ESEMPI SUCCESSIVI

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Esempio di funzione

• Data la funzione definita dalla Tabella di Verità

Si ha
a b c z
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
30
Schemi relativi 1

a
b
c
z
a a b b c c
31
Schemi relativi 2

a
b
z
c
32
Schemi relativi 3

a
b
z
c
33
Schemi relativi 4

a
z
b
c
a
b
z
c
34
Half Adder

• Somma di due bit

ai bi si ci1
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
si
ai
bi
ci1
ai
si
H A
bi
ci1
35
Full Adder 1

• Somma di due bit compreso il Carry

ci ai bi si ci1
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
ai ,bi
ci
00 01 11 10
0 1 1
1 1 1
si
ai ,bi
ci
00 01 11 10
0 1
1 1 1 1
ci1
36
Full Adder 2

• Lo schema risulta

ai
F A
si
bi
ci1
ai
ci
bi
si
ci
ai
si
F A
bi
ci1
ci1
ci
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Sommatore a riporto seriale(Ripple-Carry Adder)

• Somma di due parole di 4 bit in C. 2

b0
a0
b1
a1
b2
a2
b3
a3
c0
ci1
ci1
c4
s0
s1
s3
s2
38
Proprietà dello XOR

• Lo XOR può essere visto come un inverter
  programmabile

S in out
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
in
out
S
39
Considerazioni sulla sottrazione

• Si ricorda che
• Operando in complemento a 2 si ha
• Quindi

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Sommatore/Sottrattore

• In base alle proprietà dello XOR e come si può
  eseguire la differenza (A B) in C. 2 si ha

a0
b0
a1
b1
a2
b2
a3
b3
k
AB K1
AB k0
ci
bi
ai
ci
bi
ai
ci
bi
ai
ci
bi
ai
FA
FA
FA
FA
si
si
si
si
ci1
ci1
ci1
ci1
c4
s0
s1
s3
s2
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Conclusioni

• Postulati
• Principio di dualità
• Teoremi fondamentali
• insieme funzionalmente completo NAND e NOR
• Funzione XOR
• Reti logiche combinatorie e sequenziali
• Simboli
• Concetto di ciclo
• Concetto di minimizzazione (funzione costo)
• Realizzazioni diverse della stessa funzione
• Half Adder e Full Adder
• Sommatori di due word di n bit