LECCI

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LECCIÓN 4MECANISMOS DE DISPERSIÓN DE LOS
PORTADORES

• TIEMPO DE RELAJACIÓN Y PROBABILIDAD DE DISPERSIÓN
• DISPERSIÓN POR IMPUREZAS IONIZADAS
• DISPERSIÓN DE LOS PORTADORES POR LOS FONONES
  ACÚSTICOS

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Probabilidad de dispersión
V(r) origina transiciones entre los estados
estacionarios del sistema con una probabilidad
por unidad de tiempo dada por la regla de oro de
Fermi
funciones de Bloch
Ecuación de balance detallado
Las transiciones originan una variación de f(k).
Para colisiones elásticas se cumple Wkk' Wk'k
y, por tanto,
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Probabilidad de dispersión
Atendiendo a la aproximación del tiempo de
relajación que vimos en el tema anterior
Lo que nos permite calcular el tiempo de
relajación en función de la probabilidad de
dispersión (a su vez calculada de la Regla de Oro
de Fermi)
donde A representaba un campo externo.
Suponiendo colisiones elásticas, que Ag0, y un
tiempo de relajación que sólo dependa de la
energía,
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Probabilidad de dispersión
elegiendo el eje k'z a lo largo del vector k
Sistema de referencia y deducción en J. Singh,
Electronic and optoelectronic properties of
semiconductor structures, Cambridge, 2003.
El factor angular en la expresión del tiempo de
relajación confirma el hecho intuitivo de que
grandes ángulos de dispersión influirían más en
las propiedades de transporte que los ángulos
pequeños.
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Probabilidad de dispersión
Atendiendo a la definición de la sección eficaz
de colisión
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Dispersión por impurezas ionizadas
potencial culombiano
Este tipo de potencial no se corresponde con la
situación típica, en la que existen, además,
portadores libres en el semiconductor. El
potencial culombiano de la impureza cargada
modifica la posición de las bandas y, por tanto,
la distribución de los portadores de carga.
El potencial efectivo será, por tanto, el
asociado a la carga efectiva, solución de una
ecuación de Poisson en coordenadas esféricas
Si definimos la longitud de Debye como
LD(ekT/e2n0)1/2, la ecuación diferencial queda
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Dispersión por impurezas ionizadas
El potencial asociado a la impureza queda
apantallado, tanto más cuanto menor es la
longitud de difusión LD(e2n0/ekT)1/2.
(Z contiene el signo de la impureza)
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Dispersión por impurezas ionizadas
los elementos de matriz de dicho potencial
(hay que recordar que los choques son elásticos
y, en módulo, k k)
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Dispersión por impurezas ionizadas
Para LD grande, esta expresión se reduce a la
fórmula de Rutherford, que daba una sección
eficaz de colisión de partículas a, s(q)cte sin
( q/2)-4. Finalmente, podemos calcular el
tiempo de relajación
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Dispersión por impurezas ionizadas
El tiempo de relajación para la dispersión por
impurezas ionizadas es inversamente proporcional
a Ni , y a E3/2 (en rangos estrechos de T), ya
que el término del denominador varía suavemente
con la energía. Ello indica que este mecanismo
será mas eficaz para menores energías de los
portadores, por lo que su contribución será mas
importante a bajas temperaturas. En efecto, la
movilidad de los portadores, en el caso no
degenerado será
VALORES CALCULADOS
GaAs VALORES EXPERIMENTALES
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Dispersión por fonones acústicos
Una forma de interacción entre portadores de
carga y la red cristalina tiene su origen en el
hecho de que la propagación de cualquier fonón
(vibraciones) a través de la red implica el
desplazamiento de los átomos y, por tanto una
variación de las distancias entre ellos, lo que
conduce necesariamente a una variación de la
energía de las bandas. A este tipo de
interacción se le llama interacción por potencial
de deformación, y es, obviamente de corto
alcance, ya que solo actúa en la zona por la que
se propaga el fonón. En el caso de propagación de
fonones polares, este tipo de interacción suele
ser poco significativo respecto a la interacción
dominante (Fröhlich las vibraciones dan lugar a
ondas de polarización y, por tanto, a campos
eléctricos de largo alcance). Para los fonones
ópticos no polares y para los fonones acústicos,
el potencial de deformación es la única forma
posible de interacción, salvo en los cristales
piezoeléctricos, en los que los fonones acústicos
pueden crear también campos eléctricos.
Cuando se propaga una onda acústica en un
cristal, la oscilación de los átomos vendría dada
por
Ello implica zonas del cristal bajo compresión y
zonas bajo dilatación, o, lo que es lo mismo,
zonas donde la banda prohibida será mayor o
menor.
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Dispersión por fonones acústicos
Si consideramos únicamente los fonones de
longitud de onda larga, para los que la
frecuencia viene dada por w cs q, donde cs es
la velocidad del sonido en el sólido. Una onda
acústica longitudinal produce, al propagarse, una
serie de compresiones y expansiones del cristal,
que conducen a variaciones en la energía de las
bandas. El cambio de energía es proporcional a la
presión en cada punto y, por tanto, a la
divergencia del desplazamiento. A la constante de
proporcionalidad se le llama potencial de
deformación. La variación de la energía de los
electrones, y, por tanto, el hamiltoniano
asociado a la interacción electrón-fonón acústico
longitudinal será
El elemento de matriz sólo es distinto de cero
cuando y valdrá Hkk' i
Dacq.A. La presencia de la delta significa que en
la interacción electrón-fonón se conserva el
cuasi-impulso. Para pasar a una descripción
completamente cuántica hemos de expresar la
amplitud de vibración en función del número de
fonones excitados
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Dispersión por fonones acústicos
FONONES
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Dispersión por fonones acústicos
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Dispersión por fonones acústicos
Absorción
M es la masa de la celda unidad, que puede
ponerse en función de su volumen y de la densidad
del cristal, M r Vc, y NTC es el número total
de celdas.
CUÁNTICAMENTE
Emisión
El elemento de matriz para la interacción
electrón-fonón tendrá pues la siguiente forma
Como para los fonones acústicos la energía es muy
pequeña, hw ltlt kT y el número de ocupación se
reduce a nw kT /hw
Así, la probabilidad de transición será la misma
para ambos procesos (absorción y emisión de
fonones). Por otra parte, al ser la energía de
los fonones acústicos mucho menor que la de los
electrones, el proceso puede considerarse como
elástico y la sección eficaz diferencial resulta
ser independiente de la dirección y energía de
los electrones
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Dispersión por fonones acústicos
La dependencia del tiempo de relajación respecto
a la temperatura y a la energía es de la forma t
cte T-1 E-1/2, lo que indica que la dispersión
de electrones por fonones acústicos es mas eficaz
cuanto mayor es la temperatura y energía de los
electrones. Al promediar en energía, obtenemos
una movilidad tanto menor cuanto mayor es T en la
proporción T-3/2.
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Dispersión por fonones acústicos
Esta es la llamada regla de Mathiessen, que,
obviamente, presupone que cada proceso de
dispersión es independiente, y no se ve afectado
por la presencia de los otros. A bajas
temperaturas, la energía de los electrones es
pequeña y la movilidad se verá limitada por las
impurezas ionizadas. A altas temperaturas, la
energía de los electrones es grande y el tiempo
de relajación por impurezas se hace muy largo,
por lo que es la dispersión por fonones la que
predomina.