,,

1
,,Învatând matematica, înveti sa gândesti.
Grigore Moisil
,,Învatând matematica, înveti sa gândesti.

Grigore
Moisil ,,Geometria este cea mai buna si mai
simpla dintre toate logicile, cea mai potrivita
sa dea inflexibilitate judecatii si ratiunii.
Denis Diderot

• ,,Geometria este cea mai buna si mai simpla
  dintre toate logicile, cea mai potrivita sa dea
  inflexibilitate judecatii si ratiunii.
  Denis Diderot

2
Relatii metrice in triunghiul dreptunghic

• Din Istoria Matematicii

3
2.1. Proiectii ortogonale pe o dreapta
2.3. Elemente de trigonometrie
2.2. Relatii metrice în triunghiul dreptunghic
Cap. II RELATII METRICE ÎN TRIUNGHIUL
DREPTUNGHIC
2.5. Aplicatii teoretice
2.4. Câteva proprietati ale functiilor
trigonometrice
2.6. Aplicatii practice
4
A privit figurile geometrice dezgolite de materie
A descoperit relatii între elementele triunghiului
A stabilit adevaruri geometrice prin cerecetarea
figurilor geometrice
Thales
GEOMETRIA
A ridicat geometria la rang de disciplina
independenta
Figuri formate din - linii (imagini ale razelor
de lumina) - cercuri (drumul descris de astre pe
bolta cereasca)
Prima încercare de ordonare a teoremelor astfel
încât sa se deduca logic unele din altele
marea teorema record de demonstratii (2000,
din care 8 apartin unor profesori români)
Pitagora
Scoala pitagorica
5
Teorema lui Pitagora ,,În orice triunghi
dreptunghic, patratul lungimii ipotenuzei este
egal cu suma patratelor lungimilor catetelor
6
1. Demonstratia folosind teorema catetei
A

? ABC, m(?A)90º, AD ? BC conf. T.C gt
AB² BC BD
C
B
D
AC² BC CD , adunând membru cu
membru
obtinem
AB² AC² BC ( BD DC)
BC BC BC²
Deci, BC² AB² AC² c.c.t.d.
7
2. Demonstratia pe baza triunghiurilor asemenea
A
?ABC ?DBA (conf. caz UU) gt
1
b
c
x / c c / a gt c² ax (1)
x
a-x
1
B
C
a
D
?ABC ?DAC (conf. caz UU) gt
TFP
(a-x) / b b / a gt b² a(a-x)a²- ax
(2) Adunând membru cu mebru (1) (2) obtinem
b²c² a²ax ax
Deci, a² b² c² c.c.t.d
8
3. Demonstratia pe baza de arii ale patratelor
K
J
Aria patratului ABFJ c² 3²u.a. 9 u.a.
c
L
A
F
Aria patratului ACLK b² 4²u.a. 16 u.a.
c
b
b
B
a
C
Aria patratului BCDE a² 5² u.a. 25 u.a.
a
Observam ca 5² 4² 3², deci Aria BCDE Aria
ACLK Aria ABFJ
E
D
În concluzie a² b² c² c.c.t.d.
9

• Numai dreptunghic daca este
• Un biet triunghi, nu e poveste,
• Ci-n totdeauna este adevarat
• Ipotenuza la patrat
• Egala este, neaparat,
• Cu o cateta la patrat
• Ce adunata trebuie-ndat
• Cu cealalta la patrat

10
Stiati ca

• Egiptenii realizau unghiuri drepte cu ajutorul
  funiei cu 12 noduri! Echidistant dispuse pe o
  funie, cele 12 noduri permiteau transformarea
  funiei cu ajutorul unor tarusi intr-un triunghi
  dreptunghic cu laturile de 3,4,5.
• Se utiliza astfel reciproca Teoremei lui Pitagora

11
TEOREMA LUI PITAGORA ESTE PARTE COMPONENTA A
UNITATII DE ÎNVATARE RELATII METRICE ÎN
TRIUNGHI DREPTUNGHIC. EA COMPLETEAZA
CUNOSTINTELE NECESAREPENTRU REZOLVAREA
TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC SI ARE LA BAZA TEOREMA
CATETEI SI TEOREMA ÎNALTIMII ÎNVATATE ÎN
LECTIILE PRECEDENTE. ACEASTA TEOREMA SE ATRIBUIE
FILOZOFULUI SI MATEMATICIANULUI GREC PITAGORA.

• Pitagora (c. 580 î.Hr. - c.500 î.Hr.) a
  fost originar din insula Samos, întemeietorul
  pitagorismului, care punea la baza întregii
  realitati obiective si subiective
  teoria numerelor si a armoniei. Traditia îi
  atribuie descoperirea teoremei geometrice si a
  tablei de înmultire, care îi poarta numele. Din
  studiul numerelor, pitagorienii au conceput
  numerele figurative, numerele perfecte,
  numerele amiabile, au definit numere pare si
  impare, au studiat media aritmetica,
  geometrica si armonica, au descoperit
  irationalitatea utilizând teorema ce-i poarta
  numele, cunosteau cele cinci poliedre
  regulate, tabla înmultirii, sistemul zecimal.

Vechii constructori egipteni foloseau
pentru constructia unghiului drept o funie
cu 12 noduri echidistante, legata sub forma de
inel si fixata cu 3 tarusi si obtineau un
triunghi dreptunghic cu laturile de (3 4 5),
utilizând astfel reciproca teoremei lui
Pitagora. Teorema fac parte din
categoria teoremelor la care s-au
înregistrat în decursul timpului recordul
demonstratiilor (se presupune peste 400).
Pentru mai multe detalii despre Pitagora
http//ro.wikipedia.org/wiki/Pitagora
12
NUMERE PITAGORICE
13
Lampas Poesis (candela poeziei) Ne îndeamna sa
simtim poezia matematicii pentru a putea
profesa poeziafrumusete
Lampas Utilitas Nu putem împartati matematica
decât oprindu-ne asupra utilitatii ei,
imaginându-ne ce s-ar întâmpla omenirii fara
stiinta matematica
Lampas Misteri Nu de putine ori - matematica
este misterioasa si provocatoare
Lampas Decoris (lampa frumusetii) Predarea
matematicii este posibila numai atunci cand pe
lânga utilitate, îi vedem frumusetea
Lampas Imaginationis Aceasta candela raspunde la
întrebarea Ce ar fi matematica fara
imaginatia devotatilor ei?
14
Nu ce spun zeii, regii e adevar curat, Ci doar
ceea ce poate sa fie demonstrat, Când scoatem
adevarul, ce nu-i un simplu joc, Demagogie,
mituri, nu-si au aicea loc. Cu-aceste-nvatamint
e, ce stau ca ideal Valabil peste secoli, ramâi
universal, Sporit-ai patrimoniul întregii
omeniri, Asigurându-ti nimbul supremei
Nemuriri


Ion Grigore
15
I
2
Maths