Co

1
Coördinaten Transformaties

2
Matrices

• Een matrix is een rechthoekige set getallen
• We stellen de matrix voor met een hoofdletter A
  in dit geval
• Het element op de i-de rij en j-de kolom geven we
  aan met aij. Merk op dat de index in dit geval
  begint bij 1 (dat is gebruikelijk voor de indices
  i, j en k. Voor a en b gaat de index over 0, 1, 2
  en 3.

3
Matrices Optellen

• Gegeven twee matrices A en B als we B optellen
  bij A (dat is de vorm AB) dan als A is (n?m),
  moet B ook (n?m), anders is AB is niet
  gedefinieerd
• De optelling produceert het resultaat , C AB,
  met elementen

4
Matrices Vermenigvuldigen

• Gegeven twee matrices A en B als we B
  vermenigvuldigen met A (dat is de vorm AB) dan
  als A (n?m) is, moet B (m?p) zijn, d.w.z. het
  aantal kolommen van A moet gelijk zijn aan het
  aantal rijen van B. Anders is AB niet
  gedefinieerd.
• De vermenigvuldiging produceert het resultaat C
  AB, met elementen
• (In feite vermenigvuldigen we de eerste rij van
  A met de eerste kolom van B en stoppen het
  resultaat in element c11 van C. Enzovoort...).

5
Matrices Vermenigvuldigen (voorbeelden)
2?6 6?3 7?244
Undefined! 2x2 x 3x2 2!3
2x2 x 2x4 x 4x4 is toegestaan. Resultaat is een
2x4 matrix
6
Matrices Opmerkingen

• Er geldt AB ? BA
• Matrix vermenigvuldiging is additief
• A(BC) AB AC
• Eenheidsmatrix voor vermenigvuldiging is I.
• De getransponeerde van een matrix A wordt
  aangegeven met AT en wordt verkrijgen door
  omwisselen van rijen en kolommen van A

7
2D Geometrische Transformaties
8
Translatie van vectoren
Stel we hebben vector en willen een translatie
uitvoeren met vector . De nieuwe vector wordt
gevonden uit de som
In matrixvorm
9
Schalen van een vector
We kunnen een vector schalen met sx langs de x as
en met sy langs de y met matrixvermenigvuldiging
Hierbij kunnen we schaalfactoren gebruiken Om
de grootte van de vector te verdubbelen hebben we
schaalfactor 2, om te halveren gebruiken we
schaalfactor 0,5
y
sy? y
x
sx? x
Definieer , dan krijgen we
10
Rotatie van vectoren
We draaien een vector over een hoek ?
P(x,y)
P(x,y)
y
l
y
?
?
x
x
O
Componenten transformeren
Als we van stelsel O naar O transformeren, is
dit ook hoe de eenheidsvectoren transformeren
11
Voorbeeld coördinatentransformatie
We roteren het coördinatenstelsel over een hoek ?

basisvectoren transformeren
12
Poolcoördinaten
13
Poolcoördinaten