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Itérations de fonctions non linéaires
1. Introduction 2. Itération de fonctions
quadratiques dans les complexes 2.1 f(z) z2, z
?C 2.2 f(z) z2 c, z ?C et lensemble de
Mandelbrot 2.3 Génération densembles de Julia et
de Mandelbrot 2.4 Dautres exemples de fonctions
non linéaires
3. Itération de fonctions quadratiques dans les
quaternions ------------------------------------
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1. INTRODUCTION
Au lieu de tenter de modéliser des phénomènes
naturels, nous voulons représenter certains
phénomènes mathématiques.
Ce sont les mathématiques expérimentales
lordinateur est utilisé pour simuler
des problèmes non linéaires inaccessibles par des
méthodes analytiques.
Les images générées permettront une compréhension
plus intuitive de ces phénomènes.
Un pont reliant les sciences et les arts mettant
en évidence la  beauté  des mathématiques.
Nous allons considérer des problèmes dans
lesquels la même opération est appliquée de façon
répétitive.
Le résultat dune itération devient lopérande de
la suivante.
Obtenir des figures fractales très esthétiques.
BUT
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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES
COMPLEXES2.1 f(z) z2, z?? C
Un nombre complexe X est habituellement
représenté sous lune des formes  X a b
i ou (a, b) X r (cos ? i sin ?) ou (r,
?) X r ei? ou (r, ?).
Un nombre X est donc un élément de ?2. On appelle
r la norme de X ( r X).
Exemple Soit f(z) z2, z ? C ? ?2, (a b
i)2 a2 b2 2 ab i (a2 b2, 2ab) r (cos
? i sin ?)2 r2 (cos 2? i sin 2?) (r2,
2?) r ei?2 r2 e2i? (r2, 2?).
un nombre complexe élevé au carré aura sa norme
élevée au carré et son angle multiplié par 2.
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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES
COMPLEXES2.1 f(z) z2, z?? C
Il est clair que nous aurons les 3 cas suivants
pour les itérations de f sur z  si z gt 1, les
points divergent vers linfini. si z lt 1, les
points convergent vers (0, 0). si z 1, les
points demeurent sur le cercle de rayon 1. Nous
disons dans ce cas que les points (0, 0) et
linfini sont des pôles dattraction de f(z)
z2. Le domaine dattraction de (0, 0) est
lintérieur du cercle de rayon 1 et celui de
linfini lextérieur du cercle. Le cercle de
rayon 1 est une zone frontière. Le disque de
rayon 1 représente le comportement de litération
de f(z) z2. Cependant, en faisant intervenir un
paramètre complexe dans cette fonction,
nous pourrons obtenir des formes beaucoup plus
mystérieuses qui seront des fractales.
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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES
COMPLEXES2.2 f(z) z2 c, z, c?? C
Pour certaines valeurs de c, le seul pôle
dattraction est linfini.
Posons M l ensemble de Mandelbrot c ?? C
f(z) z2 c ne tend pas vers l infini
Pour générer une image de M, fixons une valeur
pour linfini (INF) posons c P Q i. Il
s agit alors d associer à chaque pixel une
valeur de c.
Un nombre maximum ditérations N est fixé si
nous navons pas atteint INF après N itérations,
c ? M et le point correspondant est affiché.
où cette grille représente la mémoire dentretien.
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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES
COMPLEXES2.2 f(z) z2 c, z, c?? C
Ensemble de Mandelbrot
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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES
COMPLEXES2.3 Génération densembles de Julia et
de Mandelbrot
Ensemble de Mandelbrot
Ces ensembles sont ceux où la valeur de z est
fixée à (0, 0) et où lon étudie le comportement
de litération pour des valeurs de c P Q i.
Ensemble de Julia
Ces ensembles sont ceux où la valeur de c est
fixée et où lon étudie le comportement de
litération pour des valeurs de z P Q i.
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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES
COMPLEXES2.2 f(z) z2 c, z, c?? C
Ensemble de Julia
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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES
COMPLEXES2.2 f(z) z2 c, z, c?? C
Ensemble de Julia
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3. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES
QUATERNIONS
Litération de fonctions dans les complexes nous
donne des objets 2D.
Pour obtenir des objets 3D, on considère des
hypercomplexes de la forme A0 A1 E1 A2 E2
An En, avec n champs complexes. Les
hypercomplexes les plus intéressants sont ceux où
Z a un conjugué unique Z la norme de Z notée
Z Z Z est un scalaire le conjugué de Z
est Z.
Avec ces restrictions, il sera possible de
définir les opérations math. usuelles. Il a été
démontré que les seuls hypercomplexes
satisfaisant ces conditions sont ceux où le
nombre de champs complexes est soit  1) les
nombres complexes 3) les quaternions 7) les
octaves.
On procède comme précédemment avec les
quaternions en considérant une coupe de la figure
4D i.e. les points ayant une même coordonnée
égale.
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3. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES
QUATERNIONS