Sn

1
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
Úvod do rekonstrukce povrchu.

• Trojúhelníkové síte.
• Generování.
• Redení.
• NURBS.
• Prokládání jednoduchými mat. útvary
• Algebraické prokládání.
• Ortogonální prokládání.
• 3. Zhuštení bodu z digitální fotografie.

2
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
1. Trojúhelníkové síte
Složí k popisu objektu, které nelze vyjádrit jako
geometrická primitiva (rovina, koule, válcová
plocha, kužel, atd.). Požadavky - aby
trojúhelníky byly co nejbližší rovnostranným. Pou
žívají se algoritmy založené na tzv. Delaunayove
triangulaci
3
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
1. Trojúhelníkové síte
Delaunayova triangulace - Boris Delaunay B.
Delaunay, Sur la sphère vide, Izvestia Akademii
Nauk SSSR, Otdelenie Matematicheskikh i
Estestvennykh Nauk, 7793-800, 1934. Princip V
kružnici opsané jakémukoli trojúhelníku nesmí být
žádný další bod. Necht P je množina n bodu v
rovine neležící na prímce a necht k je pocet
bodu, které leží na hranici konvexního obalu bodu
z množiny P. Pak platí - Každá triangulace z P
(tj. i Delaunayho triangulace) má 2n-2-k
trojúhelníku a 3n-3-k hran. - Triangulace je
Delaunayho práve tehdy, když žádná z kružnic
opsaných trojúhelníkum v triangulaci neobsahuje
bod z množiny P ve svém vnitrku.
4
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
1. Trojúhelníkové síte
Delaunayova triangulace - Trinagulace
maximalizuje minimální úhel. - Je základem
naprosté vetšiny automatických algoritmu pro
vytvárení trojúhelníkových sítí, resp. algoritmy
splnují její podmínku. - Geometrický duál oproti
Voronoiovým digramum Algoritmy - incrementální,
on-line - DC (divide and conquer, rozdel a
panuj). - mnoho modifikací.
5
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
1. Trojúhelníkové síte
Delaunayova triangulace
6
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
1. Trojúhelníkové síte

• Inkrementální algoritmus (U) postupné pridávání
  jednotlivých bodu. Nejprve se vytvorí tzv.
  supertrojúhelník (supertriangle), který musí
  obsahovat všechny body, dále se pridávají body po
  jednom a kontroluje se splnení podmínky a mení a
  vytvárejí se trojúhelníky.
• Urcení supertrojúhelníku.
• Po jedno se pridávají body, kde pro každý se
  provede následující
• Zkontroluje se, zda podmínka platí ve všech
  existujících trojúhelnících.
• Ty trojúhelníky, pro které neplatí, se rozloží na
  jednotlivé hrany.
• Duplicitne popsané hrany jsou hranami vnitrními a
  zruší se.
• Ze zbylých hran a vkládaného bodu se vytvorí nové
  trojúhelníky.
• Odstraní se všechny trojúhelníky, které obsahují
  body puvodního supertrojúhelníku.
• další podmínky, napr. maximální délka strany,
  definice povinných hran apod.

7
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
1. Trojúhelníkové síte
Redení trojúhleníkových sítí (redukce,
decimace) - Produktem laserového skenování je
mracno bodu, které je pro vystižení povrchu
objektu s reálnou presností odpovídající
presnosti skeneru obvykle nadbytecne husté. Ruzné
oblasti objektu mají ruznou krivost a tedy pro
vystižení povrchu objektu s danou (konstantní)
presností je vhodné použít ruznou hustotu bodu,
ta je pri merení nezávisle na tvaru objektu
konstantní. Zároven práce s rozsáhlejší
trojúhelníkovou sítí zbytecne zatežuje PC a
zpomaluje práci. Je proto vhodné množství bodu
zredukovat tak, aby model objektu minimálne
ztratil na presnosti. Pracuje se zde
s polygonálními modely, tj. s trojúhelníkovými
sítemi, nikoli prímo s body
8
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
1. Trojúhelníkové síte

• Redení trojúhleníkových sítí (redukce, decimace)
• Základním principem decimace je odstranení
  (eliminace) urcitého prvku síte (bod, hrana,
  atd.), a triangulace vzniklé díry. Vetšinou
  algoritmus pracuje lokálne a to tak, že se
  prochází celá sít a zjištuje se, jak je daný
  element duležitý pro presnosti ve svém okolí
  anebo vuci puvodnímu modelu.
• decimace vrcholu,
• decimace hran,
• decimace trojúhelníku (oblastí).

9
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
1. Trojúhelníkové síte
Decimace vrcholu (Schroederuv algoritmus
) V každé iteraci je vybrán jeden vrchol
síte (na základe ohodnocení jeho duležitosti),
který je spolu se všemi prilehlými trojúhelníky
odstranen a hrany, které zustanou, je treba
doplnit na trojúhelníky místní triangulací
10
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
1. Trojúhelníkové síte
Decimace hran Metody jsou založeny na
nahrazení hran tak, že jeden vrchol nahrazuje oba
koncové body hrany. Prilehlé trojúhelníky, které
degenerují na hrany, jsou odstraneny. Decimace
hran je také casto nazývána postupná kontrakce
hran (iterative edge contraction). Decimace
oblastí odstraní se v jednom kroku trojúheuník
nebo i jejich skupina a trianguluje se vzniklá
díra.
11
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
1. Trojúhelníkové síte
Decimace hran Metody jsou založeny na
nahrazení hran tak, že jeden vrchol nahrazuje oba
koncové body hrany. Prilehlé trojúhelníky, které
degenerují na hrany, jsou odstraneny. Decimace
hran je také casto nazývána postupná kontrakce
hran (iterative edge contraction). Decimace
oblastí odstraní se v jednom kroku trojúheuník
nebo i jejich skupina a trianguluje se vzniklá
díra.
12
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
1. Trojúhelníkové síte

• Posouzení chyby aproximace
• Hausdorffova vzdálenost
• maximální odchylka dv mezi dvema modely dané
  minimální vzdáleností mezi body obou modelu,
• - prumerná ctvercová vzdálenost,
• - hodnota pomeru obsahu povrchu aproximovaného
  modelu a hodnoty obsahu puvodního.

13
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary
Fitting primitives - prokládání jednoduchými
geometrickými útvary - tento postup modelování
skutecnosti z merených mracen bodu je možné a
vhodné využít tehdy, pokud modelovaný objekt byl
vytvoren ci má být blízky nejakému geometrickému
útvaru. Príkladem muže být stena rovina,
mostní oblouk cást válce ci eliptického válce,
sloup válec a podobne. Výsledkem takto
provedeného zpracování je CAD model složený z
geometricky definovaných teles nebo
ploch. (Prímka, rovina, koule, válec, eliptický
válec, kužel, eliptický kužel, anuloid,).
14
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary
Algoritmy se využívají v zásade dva, rozdíl je
v tom, jaká funkce se minimalizuje pro nalezení
nejlepšího rešení. Výpocty se obvykle provádí za
využití MNC, pro kouli nebo rovinu není celkem
problém sestavit výpocet. Složitejší prípad
nastává, když se do výpoctu pridají nejen
tvarové, ale také transformacní
parametry. Algebraické prokládání Minimalizuje
objem telesa procházejícího daným bodem, pro
kouli Ortogonální prokládání Minimalizuje
vzdálenost bodu od telesa, pro kouli
15
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary
Vzhledem k množství bodu, se kterými se pocítá
v mracnu bodu je nutné, aby matematické metody
výpoctu byly - robustní, - rychle
konvergující, - mely nízkou výpocetní a pametovou
nárocnost. Pro výpocet je k dispozici ne vždy
ideální vzorek dat, které by popisovaly povrch
geometrického útvaru. Proto se obvykle výpocet
nedostane k správnému výsledku, avšak ve vetšine
prípadu stací k tomu, aby výsledek dostatecne
verne popsal tu cást objektu, která je body
pokryta. Výpocet jen splní matematické podmínky.
16
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary
Koule, 11 tis. bodu
17
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary
Válec, 130 tis. bodu
18
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary
Možnosti ortogonálního prokládání jsou
rozmanité. Existuje mnoho algoritmu, které
umožnují realizovat tuto úlohu, naprostá vetšina
používá vyrovnání metodou nejmenších ctvercu.
Existující algoritmy lze je delit podle tvaru
funkce prokládaného geometrického útvaru -
explicitní tvar Z f(a, X, Y), - implicitní
tvar f(a, X) 0, - parametrický tvar X
f(a, u), kde a je sloupcový vektor neznámých
modelových parametru, X je sloupcový vektor
souradnic bodu. u je vektor parametru
(parametrického popisu geometrického útvaru),
obsahuje jak parametry popisující tvar a velikost
objektu, tak transformacní parametry.
19
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary
Algoritmy lze také delit podle minimalizované
funkce na délkový algoritmus, který pracuje
s funkcí s02 dTP d, kde P je váhová
matice a d je vektor ortogonálních vzdáleností.
Je zrejmé, že váhy mohou být prideleny pouze
jednotlivým bodum a nikoliv souradnicím. Stejne
tak mohou být zavedeny korelace pouze mezi
jednotlivými body a ne mezi souradnicemi. Krome
toho je znám také souradnicový algoritmus, který
pracuje s funkcí s02  (X X)T P (X X),
kde (X X) je rozdíl vyrovnaných a merených
souradnic.
20
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary
Vyrovnání bodu do prímky a je smerový
vektor, b bod, kterým prímka prochází a t je
parametr urcující vzdálenost bodu na prímce od
bodu b v násobcích velikosti vektoru a. Neznámé
pak jsou vektor a, bod b, a parametr ti pro každý
bod zvlášt, a tedy je neznámých celkem 6 n.
21
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary

• Vyrovnání
• Výpocet približných hodnot
• Vyrovnání MNC.
• Približné hodnoty
• Za bod b0 lze zvolit libovolný merený bod,
  približnou hodnotu vektoru a0 pak je vhodné urcit
  z dvou nejvzdálenejších bodu i a j

22
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary
Vyrovnání
23
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary
Systém je singulární, bez vlivu na urcení prímky
velikost vektoru a muže být libovolná a umístení
bodu b na prímce také. Je nutno urcit velikost
vektoru a (rovnu jedné) a urcit umístení bodu b
(napr. v rovine kolmé na prímku, normálový vektor
roviny je opet totožný se smerovým vektorem
prímky, procházející puvodním približným bodem
b0. Tvar podmínek
24
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary
Normální rovnice Kde k je vektor korelát
(doplnující neznámé pro výpocet pomocí
Lagrangeových multiplikátoru.
25
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary
Vyrovnání bodu do prímky dvoukrokový
algoritmus
26
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
3. Zhuštení bodu z digitální fotografie.
V prípade, že je k dispozici mracno bodu
s vytvoreným modelem s použitím trojúhelníkové
síte s tím, že povrch má prevážne rovinný
charakter (resp. jeho cásti), lze na základe
digitální fotografie zhustit mracno bodu
promítnutím pixelu snímku na jednotlivé rovinné
plošky reprezentující povrch objektu. Je vhodné
upozornit na to, že tato technika není rovnocenná
merení bodu v prostoru skenováním, jedná se o
doplnení bodu s významnou barevnou informací do
mracna, a tím možnost vektorového vyhodnocení
napr. drobných reliéfu nebo maleb. Je tak možné
významne zkrátit dobu merení, protože skener merí
tisíce až statisíce bodu za sekundu, bežne
dostupná digitální zrcadlovka dvanáct milionu. Je
možné tak zamerit libovolné detaily a zobrazit je
do prostoru pomocí kostry urcené merením
skeneru.
27
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
3. Zhuštení bodu z digitální fotografie.
Obecne lze problém rešit nejen pro
trojúhelníkovou sít, ale pro libovolný
matematicky definovanou plochu (napr. válcové
sloupy apod.).
28
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
3. Zhuštení bodu z digitální fotografie.
DLT Koeficienty L1 až L11 a snímkové
souradnice x, y jsou známy, promennými jsou
pouze souradnice X, Y, Z. Distorzi není treba
v odvození uvažovat, snímkové souradnice lze o
její vliv opravit nezávisle. Rovnice lze upravit
do tvaru obecné rovnice roviny
29
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
3. Zhuštení bodu z digitální fotografie.
Obecná rovnice roviny trojúhelníku Proj
ektivní transformace obdobne
30
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
3. Zhuštení bodu z digitální fotografie.
Projektivní transformace obdobne
31
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
3. Zhuštení bodu z digitální fotografie.
Urcení, zda je bod v trojúhelníku
plocha Porovnání plochy trojúhelníka
ABC a souctu ploch trí trojúhelníku ABP, BCP, CAP.
32
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
3. Zhuštení bodu z digitální fotografie.
Urcení, zda je bod v trojúhelníku
úhel Úhel se vždy vypocte v rozsahu 0
p rad. Je zrejmé, že pokud je bod P uvnitr
trojúhelníka, soucet vypocítaných úhlu a, b, g je
2p rad. Pokud je bod mimo trojúhelník, soucet
úhlu je menší než 2p rad.
33
Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD.,
(154LSK_pred_3)
KONEC