a1,1x1 a1,2x2

1
? ? ? ?

• ?????????????????
• ?????????(??)
• 2004?12?

2
??? ?????? ??? ?????? ??? ?????? ???
???????? ???? ???????
3
??? ???????? 10.1 ????????? 10.2
????????? 10.3 ?????????? 10.4
??????????
4
10.1 ????????? 10.1.1 ???? 10.1.2
?????????
5
????

• ???????????
• a1,1x1 a1,2x2 a1,nxn
  b1
• a2,1x1 a2,1x2 a2,nxn
  b2
• an,1x1 an,1x2 an,nxn
  bn
• ?? AXb

6
10.1 ????????? 10.1.1 ???? 10.1.2
?????????
7
?????????

• ??????????????
• (1)SISD??????
• Begin
• (1)for in downto 1 do
• (1.1)xibi/aii
• (1.2)for j1 to i-1 do
• bjbj-ajixi
• aji0
• endfor
• endfor
• End

????
8
?????????

• ??????????????
• (2)SIMD-CREW????????
• - ?? p???????????
• - ??
• Begin
• for in downto 1 do
• xibi/aii
• for all Pj, where 1jp do
• for kj to i-1 step p do
• bkbk-akixi
• aki0
• endfor
• endfor
• endfor
• End // p(n)n, t(n)n

9
??? ???????? 10.1 ????????? 10.2
????????? 10.3 ?????????? 10.4
??????????
10
10.2 ????????? 10.2.1 ????? 10.2.2 ?????

11
????????????

• Gauss???(?????)
• ???
• ???
• ???????
• ???????,
• ???????
• ??,????
• ?????,?
• ??????

12
10.2 ????????? 10.2.1 ????? 10.2.2 ?????

13
????????????

• ???????(????)
• ?????????????
• fixi-1gixihixi1bi
  i1n
• f1hn0
• ??????
• ???????????????????????
• f2i-1x2i-2g2i-1x2i-1h2i-1x2i
  
  b2i-1
• f2ix2i-1
  g2ix2i h2ix2i1
  b2i
• 
  f2i1x2i g2i1x2i1h2i1x2i2 b2i1
• 2i-1?????????2i????f2ix2i-1?,
  2i1???????
• ??2i????h2ix2i1?, ?2i????
• aix2i-2ßix2i?ix2i2?i
  i1,2,,n/2

14
????????????

• ????????
• case 1
  case 2
• g1x1h1x2
  b1
  .
• f2x1g2x2h2x3 b2
  .
• f3x2 g3x3h3x4b3
  .
• f4x3 g4x4 b4
  .
• ??????
• g1x1h1x2 b1
  ? g1x1h1x2 b1
• f2x1g2x2 b2
  f2x1g2x2h2x3 b2
• 
  f3x2g3x3 b3
• ?? x1,x2 ? x1, x2, x3
• ?????x
• ????? ?????????????
• ??????????

15
??? ???????? 10.1 ????????? 10.2
????????? 10.3 ?????????? 10.4
??????????
16
10.3 ?????????? 10.3.1 ????????? 10.3.2
??????-??? 10.3.3 ???????-????
17
?????????

• ??????
• ???????????????,????????A??????T,???TXc???????
• ??????????????,???????????
• ????????

18
?????????

• ?????
• ???????????
• ?????????
• ?????????????????

19
10.3 ?????????? 10.3.1 ????????? 10.3.2
??????-??? 10.3.3 ???????-????
20
??????-???

• ??????
• ??? ???????,?(A,b)????????,
• (????, ?b?A??n1?)
• ??? xjaj,n1/ajj

21
??????-???

• SIMD-CREW??????
• (1)??? n2n????, ???????n(n1)???,
• ??????Pik, i1n, k1n1
• (2)?????
• ??????? // O(n)
• for j1 to n-1, each Pik Par-do
  //?j???
• Pij(iltgtj) aij lt 0
• Pik(iltgtj, kj1n1) aik lt
  aik-ajk(aij/ajj)
• end for
• ??? for each Pjj(j1n) Par-do xj lt
  aj,n1/ajj //O(1)
• (3)???? t(n)O(n), p(n)O(n2), c(n)O(n3)
  ?????

22
??????-???

• ?????
• ??????????? xA-1b
• ?A-1b(????A-1) O(n2)
• ??A-1
• ??A-1?? 2?n/2n/2???? i(n/2)
• 6?n/2n/2????
  m(n/2)
• 2?n/2n/2????
  a(n/2)
• i(n)i(n/2)6m(n/2)2a(n/2)
• a(n/2)n2/2, m(n/2)O((n/2)x)
  2ltxlt2.5
• gt i(n)O(nx) ??,??????????O(nx)
  2ltxlt2.5

23
10.3 ?????????? 10.3.1 ????????? 10.3.2
??????-??? 10.3.3 ???????-????
24
???????-????

• ??????
• ?????k, ????????c?
• ??????????
• ?????
• ????????????????????,????
• ?????????,??????????????

25
???????-????

• MIMD??????
• N????(Nn)??n???, ??????x?????
• ??
• Begin
• (1)oldi ? xi0, newi ? xi0
• (2)????i
• (3)??i
• repeat
• (i) oldi ? newi
• (ii)newi ?
  (bi-?kltiaikoldk-?kgtiaikoldk)/aii
• until ?i1n oldi - newi
  ltc
• xi ? newi
• End

26
??? ???????? 10.1 ????????? 10.2
????????? 10.3 ?????????? 10.4
??????????
27
10.4 ?????????? 10.4.1 ??????????? 10.4.2
???????????? 10.4.3 ??-??????????
28
????????????

• ??????????????
• ????A???
• dense Gaussian elimination, etc
• Sparse iterative method
• triangular substitution, odd-even
  reduction
• certain PDEs multigrid, etc
• ??????
• Gaussian elimination more accurate, more
  expensive
• Conjugate gradients less accurate, less
  expensive
• ??????
• architecture, available languages, compiler
  quality
• libraries?

29
????????????

• ????????
• (1)????????(?????????)
• - Gauss???(??????Gauss???)
• - Gauss-Jordan???
• - LU???
• (2)???????(????????????)
• - Jacobi
• - Gauss-Seidel(??????)
• - Jacobi OverRelaxation(JOR)
• - Gauss-Seidel OverRelaxation(SOR)
• - Conjugate Gradient

30
10.4 ?????????? 10.4.1 ??????????? 10.4.2
???????????? 10.4.3 ??-??????????
31
?????????????

• ????

32
10.4 ?????????? 10.4.1 ??????????? 10.4.2
???????????? 10.4.3 ??-??????????
33
??-??????????

• ?PDE????????????
• (1)Laplace??

34
??-??????????

• (2)?????????(??g(x,y)0)

35
??-??????????

• A??????????

36
??-??????????

• Gauss-Seidel????????
• (1)????????????????
• ??1
  ??2
• ? ??1???????2????????

37
??-??????????

• (2) ????????
• ??????????
• ??????????
• ??????????????